1、2020年中考数学一轮复习：几何变换综合大题专项练习题1如图1，在ABC和ADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：BADCAE（2）在第（1）问的条件下，求证：BDCE；（3）将ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由2如果两个角之差的绝对值等于45，则称这两个角互为“半余角”，即若|45，则称、互为半余角（注：本题中的角是指大于0且小于180的角）（1）若A80，则A的半余角的度数为 ；（2）如图1，将一长方形纸片ABCD沿着MN折叠（点M在线段AD上
2、，点N在线段CD上）使点D落在点D处，若AMD与DMN互为“半余角”，求DMN的度数；（3）在（2）的条件下，再将纸片沿着PM折叠（点P在线段BC上），点A、B分别落在点A、B处，如图2若AMP比DMN大5，求AMD的度数3知识背景我们在第十一章三角形中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章全等三角形中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章轴对称中学习了等腰三角形的性质和判定在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题问题：如图1，ABC是等腰三角形，BAC90，D是BC的中点，以AD为腰作等腰ADE，且满足DAE90，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关
3、系发现：（1）BC与CF之间的数量关系为 探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF的形状4已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AOB的顶点A的坐标为（0，4），顶点B在x轴上（点B在点O的右侧），点C在AB上，连接OC，且BCOC（1）如图1，求点C的纵坐标；（2）如图2，点D在x轴上（点D在点O的左侧），点F在AC上，连接DF交OA于点E，若ACO+DEO2AFE，求证，DE2EO；（3）如图3，在（2）的条件下，AG是AOB
4、的角平分线，点M与点B关于y轴对称，过点M作MPAG，MP分别交AO，AC于点N，P，若DEAB，ENPC，求点E的坐标5如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点以AC为边作等腰直角三角形ACD，ACD90，点D在第一象限内连接BD，交x轴于点F（1）如果OAC38，求DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由6综合与探究：（1）操作发现：如图1，在RtABC中，ACB90，以点C为中心，把ABC顺时针旋转90，得到A1B1C；再以点
5、A为中心，把ABC逆时针旋转90，得到AB2C1连接A1C1则A1C1与AC的位置关系为平行；（2）探究证明：如图2，当ABC是锐角三角形，ACBa（a60）时，将ABC按照（1）中的方式，以点C为中心，把ABC顺时针旋转a，得到A1B1C；再以点A为中心，把ABC逆时针旋转a，得到AB2C1连接A1C1，探究AC1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；探究A1C1与AC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明7在平面直角坐标系中，已知AOAB5，B（6，0）（1）如图1，求sinAOB的值；（2）把OAB绕着点B顺时针旋转，点O、A旋转后对应的点分别为M、N当M恰好落在BA的延长线
6、上时，如图2，求出点M、N的坐标；若点C是OB的中点，点P是线段MN上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写出线段CP长的取值范围8已知，如图1，在ABC中，ABBC，AB2，AC10，若D为AC的中点，DGAC交BC与点G（1）求CG的长；（2）如图2，E点为射线BA上一动点，连接DE，线段DE绕点D顺时针旋转90交直线BC与点F；若AE时，求CF的长；如图3，连接EF交直线DG与点M，当EDM为等腰三角形时，求GF的长9已知：在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（2，3）（1）在图中的y轴上求作点P，使得PA+PB的值最小；（2）若ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐
7、标；（3）如图，在ABC中，ABC90，ABBC，点D（不与点A重合）是x轴上一个动点，点E是AD中点，连结BE，把BE绕着点E顺时针旋转90得到FE（即BEF90，BEFE），连结BF、CF、CD，试猜想FCD的度数，并给出证明10如图，MON（090），A为OM上一点（不与O重合），点A关于直线ON的对称点为B，AB与ON交于点C，P为直线ON上一点（不与O，C重合）将射线PB绕点P顺时针旋转角，其中2+180，所得到的射线与直线OM交于点Q（1）如图1，当45时，此时90，若点P在线段OC的延长线上依题意补全图形连接PA，求证PAPQ；（2）如图2，当60，点P在线段CO的延长线上时，设
8、POpOC，QAqOC，求|pq|的值11如图，在RtABC中，C90，ACBC，点O是斜边AB的中点，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度（090），记三角板的两直角边与RtABC的两腰AC、BC的交点分别为E、D，四边形CEOD是旋转过程中三角板与ABC的重叠部分（如图所示）那么，在上述旋转过程中：（1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（2）当三角尺旋转角度为 时，四边形CEOD是矩形；（3）若三角尺继续旋转，当旋转角度（90180）时，三角尺的两边与等腰RtABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D
9、、E（如图所示）那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由12在ABC中，ABAC，在ABC的外部作等边三角形ABD，E为AB的中点，连接DE并延长交BC于点F（1）如图1，若BAC90，连接CD，求证：CD平分ADF；（2）如图2，过点A折叠CAD，使点C与点D重合，折痕AM交EF于点M，若点M正好在ABC的平分线上，连接BM并延长交AC于点N，课堂上两个学习小组分别得出如下两个结论：BAC的度数是一个定值，为100；线段MN与NC一定相等请你选择其中一个结论，判断是否正确？若正确，给予证明：若不正确，说明理由13如图1，ABC和DEF是两块可以完全重合的三
10、角板，BACEDF90，ABCDEF30在图1所示的状态下，DEF固定不动，将ABC沿直线n向左平移（1）当ABC移到图2位置时，连接AF、DC，求证：AFDC；（2）如图3，在上述平移过程中，当点C与EF的中点重合时，直线n与AD有什么位置关系，请写出证明过程14“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”乔治波利亚（1）观察猜想如图1，在ABC中，CACB，ACB90点D在AC上，点E在BC上，且CDCE则BE与AD的数量关系是 ，直线BE与直线AD的位置关系是 ；（2）拓展探究如图2，在ABC和CDE中，CACB，CDCE，ACBDCE90则BE与AD的数量
11、关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由；（3）解决问题如图3，在ABC中，CACB，ACB90，BD是ABC的角平分线，点M是AB的中点点P在射线BD上，连接PM，以点M为中心，将PM逆时针旋转90，得到线段MN，请直接写出点A，P，N在同一条直线上时CPM的值15如图，RtABC中，C90，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，EDAC（1）当sinB时，求证：BE2CD；当ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45CAD90）BE2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立请说明理由（2）当sinB时，将ADE绕点A旋转到DEB90，若AC10，AD2，求线
12、段CD的长参考答案1解：（1）BACDAE90BAC+CADDAE+CAD即BADCAEABAC，ADAE，BADCAE（SAS）；（2）由（1）知，BADCAE，ABDACE，BAC90，ABD+AFB90，AFBCFD，ACE+CFD90，CDF90，BDCE；（3）BDCE仍然成立，理由：如图2，延长BD交CE于点M，交AC于点F，BACDAE90，BACCADDAECAD，即BADCAE，ABAC，ADAE，BADCAE（SAS），ABDACE，BAC90ABD+AFB90，AFBCFM，CMF90，BDCE2解：（1）设A的半余角的度数为为，根据互为半余角的定义得，|80|45，35
13、或125，故答案为35或125；（2）由折叠知，DMNDMN，AMD与DMN互为“半余角”，|AMDDMN|45，AMDDMN45，当AMDDMN45时，AMDDMN+45，AMD+DMN+DMN180，DMN+45+DMN+DMN180，DMN45，当AMDDMN45时，AMDDMN45，AMD+DMN+DMN180，DMN45+DMN+DMN180，DMN75；（3）由（2）知，DMN45或75，AMP比DMN大5，AMP45+550或75+580，由折叠知，AMPAMP50或80，AMA100或160，由（2）知，DMN45或75，AMD18024590或18027530，AMD10或1
14、60301303解：（1）BCCF理由：ABC是等腰三角形，且BAC90，ABAC，BACB45DAE90，DAEBAC，DAEDACBACDAC，BADCAEADE是以AD为腰的等腰三角形，ADAE在ABD与ACE中，ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS），ACEB45ACB45，BCFACB+ACE90，B+F90，F45，BF，BCCF故答案为：BCCF；（2）BCCF理由：ABC是等腰三角形，且BAC90，ABAC，BACB45DAE90，DAEBAC，DAEDACBACDAC，BADCAEADE是以AD为腰的等腰三角形，ADAE在ABD与ACE中，ABAC，BADC
15、AE，ADAE，ABDACE（SAS），ACEB45ACB45，BCFACB+ACE90，B+F90，F45，BF，BCCF（3）BCF是等腰直角三角形理由：如备用图，ABC是等腰三角形，BAC90，ABAC，BACB45DAE90，DAEBAC，DAE+DACBAC+DAC，BADCAEADE是以AD为腰的等腰三角形，ADAE在ABD与ACE中，ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS），ACEB45ACB45，BCFACB+ACE90，B+BFC90，BFC45，BBFC，BCF是等腰三角形，BCF90，BCF是等腰直角三角形4解：（1）如图1，过点C作CKOA于K，BCOC
16、，BOCCBO，AOC+BOC90，OAC+CBO90，AOCOAC，ACOC，OKAKOA2，点C的纵坐标为2；（2）如图2，在y轴负半轴上取一点R，使OROE，连接DR，ACO+DEO2AFE，BOC+CBO+DEO2（CBO+ODE），DEO2ODE，DEO+ODE90，DEO60，OROE，ODER，DEDR，DER是等边三角形，DEER2OE；（3）如图3，连接BN，过点B作BTPN交y轴于T，DEAB，DE2OE，AB2AC，OEAC，ENPC，APONANP+NAG90，APN+PAG90，NAGPAG，ANPAPN，ANAP，ANONOA2，点M与点B关于y轴对称，MNBN，N
17、OBM，BNOMNOANP，BTPN，BTNANPBNO，ABTAPN，ABTBTN，ABAT，BNBT，BONT，OTON2，AT6，ABDE6，由（2）知，DE2OE，OE3，点E在y轴上，且在点O上方，E（0，3）5解：（1）AOC90，OAC+ACO90，ACD90，DCF+ACO90，DCFOAC，OAC38，DCF38；（2）如图，过点D作DHx轴于H，CHD90AOCCHD90，等腰直角三角形ACD，ACD90ACCD，由（1）知，DCFOAC，AOCCHD（AAS），OCDHn，AOCH3，点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：点A（0，3）与点B关于x轴对称，AOB
18、O，又OCAB，x轴是AB垂直平分线，ACBC，BACABC，又ACCD，BCCD，CBDCDB，ACD90，ACB+DCB270，BAC+ABC+CBD+CDB90，ABC+CBD45，BOF90，OFB45，OBFOFB45，OBOF3，OF的长不会变化6（2）解：结论：AC1BC理由如下：由旋转的性质，知CAC1a又ACBa，CAC1ACB，AC1BC；结论：A1C1AC，理由如下：过点A1作A1EAC1交AC于点E如图2所示：则A1ECCAC1a，由旋转的性质得：A1CACAC1a，A1CAC1，A1ECA1CAa，A1EA1C，A1EAC1，四边形AEA1C1是平行四边形，A1C1A
19、C7解：（1）如图1中，作AHOB于HAOAB5，B（6，0），AHOB，OHHB3，AH4，sinAOB（2）如图2中，作MEOB于EAOBABO，sinABOsinAOB，EM，EB，OEOBEB6，M（，），NMBAOBABO，MNOB，MNOA5，N（，）如图3中，连接BP点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN点P为线段MN上的动点点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆C在OB上，且CBOB3当点P在线段OB上时，CPBPBC最短；当点P在线段OB延长线上时，CPBP+BC最如图2，当BPMN时，BP最短SNBMSABO，MNOA5MNBPOByABP，CP最小值3，当点P与
20、M重合时，BP最大，BPBMOB6CP最大值6+39线段CP长的取值范围为CP98解：（1）ABAC，DGAC，BCDG90，ACBGCD，ACBGCD，点D是AC的中点，CDAC5，根据勾股定理得，BC4，CG；（2）、当点E在线段AB上时，AB，AB2，点E是AB的中点，点D是AC的中点，DEBC，ABBC，DEDF，DFBC，BFAB，点D是AC中点，点F是BC的中点，CFBC2；、当点E在BA的延长线上时，如图1，点D是AC的中点，AC10，ADAC5，由（1）知，BACDGC，CGDCAB，DG，FGDEAD，GDAC，EDDF，FDGEDA，FDGEDA，FG，CFCG+FG3；由
21、知，FDGEDA，tanFED，tanACB，FEDACB，DEDF，DGAC，ADGEDF90，MDEFDC，MEDFDC，EDM是等腰三角形，FCD是等腰三角形，、当FDFC时，点E在AB的延长线上，不符合题，舍去，、当CDCF时，CFCD5，GFCGCF5；当CDDF时，DFCD5，DFAC，点F与点B重合，GFBCCG；9解：（1）如图1中，点P即为所求（2）如图2中，满足条件的点C1（1，2），C2（0，1），C3（5，4），C4（6，1）（3）猜想FCD45当点D运动到点A右侧时，如图中，延长FE至G，使EGEF，连结AG，BG，BF在FED和GEA中EFEG，FEDGEA，EDE
22、AFEDGEA（SAS）FDAG，EFDEGABEF90BEEFBEFE，FEEGGBF是等腰直角三角形，BGFBFG45，GBF90，BGBFABC90ABCGBF，即ABG+GBCCBF+GBCABGCBF在ABC和CBF中ABBC，ABGCBF，BGBFABGCBF（SAS）AGCF，AGBCFBFDAGCFFDFDAGCFFDAGBAGEBGEAGBEFD45CFDCFE+EFDGFBBFC+AGE45AGB+AGB+BGE45+4590CFFDCFD是等腰直角三角形，FCD45当点D运动到点A左侧时，同理可证，FCD45综上所述，FCD4510（1）解：图形如图所示：证明：点A，点B
23、关于ON对称PAPB，PBPQ，PAPQ（2）AQ4OC+OP理由如下：在OQ上截取ODOP，连接BO，PD，BQ， MON60，且点A关于直线ON的对称点为B，BONMONPOQ60，AOBO，COAB，BOQ60，CAO30，AO2CO，旋转，BPQ180260，BOQBPQ60，点B，点Q，点P，点O四点共圆，PBQPOQ60，PBOOQP，PBQ是等边三角形，PBPQ，ODOP，QOP60，ODP是等边三角形，ODPDOP60，BOPPDQ120，且BPPQ，OBPOQP，BOPQDP（AAS），DQOB，DQOA2OC，AQAO+OQ2CO+OD+PQ4OC+OP，QAOP4OC，P
24、OpOC，QAqOC，（qp）OC4OC，|pq|411（1）解：结论：CEBD，四边形CEOD的面积不变如图，连接OCACBC，AOBO，ACB90，ACOBCOACB45，OCAB，AB45，OCOB，EOD90，COE+COD90又OCAB，BOD+COD90，BODCOE，在OCE和OBD中，OCEOBD，CEBD，SOCESOBD，S四边形CDOESOCD+SOCESOCD+SOBDSBOCSABC四边形CEOD的面积不变，始终等于RtABC面积的一半（2）当三角尺旋转角度为45时，四边形CEOD是矩形；理由：AOECOEECO45，CEOECDEOD90，四边形CEOD是矩形故答案
25、为45（3）结论：成立证明：如图，连接OCACBC，AOBO，ACB90，ACOBCOACB45，OCAB，AB45，OCOB，OCEOBD135，EOD90，BOD+BOE90，又OCABCOE+BOE90，BODCOE，在OCE和OBD中，OCEOBD，CEBD12证明：（1）ABD是等边三角形，且E为AB的中点，DEAB，ABAD，ABAC，ADAC，ADCACD，BAC90，ACDE，ACDFDC，ADCFDC，CD平分ADF；（2）ABD是等边三角形，且E为AB的中点，DE垂直平分AB，AMBM，MABMBA，BM平分ABC，MBAMBC，设MABMBAMBC，ABAC，ACBABC
26、2，由翻折知，MACMADDAB+MAB60+，在ABC中，ABC+ACB+BAM+MAC2+2+60+180，20，BACBAM+MAC20+60+20100，BAC的度数是一个定值，为100；如图21，连接MC，由知，20，BAC100，ABCACB40，由知，DE垂直平分AB，DADB，ADB60，ADEBDE30，由翻折知，ADMACM，ACMADM30，BCMACBACM10，NMCMBC+MCB20+1030，NMCNCM，MNNC13证明：（1）ABCDEF，ABDE，ABCDEF，BCEF，BCFCEFFC，BFEC，在ABF和DEC中，ABDE，ABFDEC，BFEC，ABF
27、DEC（SAS），AFDC；（2）直线n垂直平分AD理由：如图，连接AD，在RtDEF中，DEF30，点C是EF的中点，DFFC，DFC60，DFC是等边三角形，FCD60，DCDF，ACF60，ACDF，ACFFCD60，ACDC，CO是等腰三角形ACD的角平分线，即CO也是等腰三角形ACD的底边AD上的高和中线，因此直线n垂直平分AD14解：（1）ACBC，CDCE，BEAD，ACB90，ACBC，BEAD（2）BEAD，BEAD，理由如下：延长BE交AD交于点F如图2所示：ACBDCE90，ACDBCE，在BCE和ACD中，BCEACD（SAS），BEADCADCBE，CAF+AFBCB
28、E+ACB，AFBACB90，即BEAD故答案为：BEAD，BEAD；（3）CPM为135或45；理由如下：连接CM，CACB，ACB90，点M是AB的中点，CMABAMBM，CMAB，AMC90；分两种情况：点P在线段BD上时，如图3所示：由旋转的性质得：PMN90，MNMP，CMPAMN，MNP是等腰直角三角形，PNMMPN45，ANM135，在CPM和ANM中，CPMANM（SAS），CPMANM135；点P在线段BD的延长线上时，如图4所示：同得：ANMPNM45，CPMANM（SAS），CPMANM45；综上所述，点A，P，N在同一条直线上时CPM的值为135或4515解：（1）Rt
29、ABC中，C90，sinB，B30，A60，如图1，作EHBC于点H，EDACADEC90，四边形CDEH是矩形，即EHCD，在RtBEH中，B30，BE2EHBE2CD；BE2CD成立，理由：ABC和ADE都是直角三角形，BACEAD60，CADBAE，又，ACDABE，又RtABC中，2，2，即BE2CD；（2）sinB，ABCBACDAE45，EDAD，AEDBAC45，ADDE，ACBC，将ADE绕点A旋转DEB90，分两种情况：如图3所示，过A作AFBE于F，则F90，当DEB90时，ADEDEF90，又ADDE，四边形ADEF是正方形，ADAFEF2，AC10BC，根据勾股定理得，AB10，在RtABF中，BF6，BEBFEF4，又ABC和ADE都是直角三角形，且BACEAD45，CADBAE，ACDABE，即，CD2；如图4所示，过A作AFBE于F，则AFEAFB90，当DEB90，DEBADE90，又ADED，四边形ADEF是正方形，ADEFAF2，又AC10BC，AB10，在RtABF中，BF6，BEBF+EF8，又ACDABE，即，CD4，综上所述，线段CD的长为2或4第 34 页 共 34 页
