1、第六章 数 列6.1 数列的概念和表示方法,高考数学,考点数列的概念和表示方法1.数列的定义按一定次序排成的一列数叫做数列,即a1,a2,a3,an,简记为数列an.其中,a1称为数列的首项,an称为数列的第n项,实际上,数列可以看成是以正整数集N*或它的有限子集1,2,n为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的分类 按项分类:?按an的增减性分类:,知识清单,3.数列的表示方法(1)列表法;(2)图象法:数列可用一群孤立的点表示;(3)解析法(公式法):通项公式或递推公式.4.通项公式如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式
2、子来表示,那么这个公式就叫做数列的通项公式,可以记为an=f(n)(nN*).,5.数列的前n项和数列an的前n项之和叫做数列的前n项和,常用Sn表示.6.Sn与an的基本关系an=?Sn=a1+a2+an.7.数列的一般性质由于数列可以看作一个关于n(nN*)的函数,因此它具备函数的某些性质:(1)单调性若an+1an,则an为递增数列;若an+1an,则an为递减数列.否则为摆动数列或常数列.(2)周期性若an+k=an(k为非零常数),则an为周期数列,k为an,的一个周期.8.数列an(an0)的前n项积Tn与an之间的关系an=,递推数列求通项公式的解题策略递推数列求通项公式有以下几
3、种基本类型:(1)利用an=?相互转化,特别要注意检验n=1的情形.(2)若an=an-1+f(n)(n2),则用叠加法:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=a1+f(2)+f(3)+f(n),有时还要检验n=1的情形.(3)若an=an-1f(n)(n2),则用累乘法:an=a1?=a1f(2)f(3)f(n),有时还要检验n=1的情形.(4)若an+1=pan+q(p0,1),则用待定系数法:an+1+x=p(an+x),其中x=?.构造等比数列?.,方法技巧,(5)若an+1=pan+f(n)(p0,1),则用构造新数列法:?=?+?,然后用叠加法,求出数列?
4、的通项,再求数列an的通项.(6)若an+1=?(p0,1,q0),则取倒数?=q?+p,若q=1,则构造新数列?,此数列为等差数列;若q1,则用待定系数法:?+x=q?,其中x=?,构造等比数列?.其他类型的递推数列通过合理转化都可化为以上的一种.例1已知数列an中,a1=1,且an+1+an=2n+1(nN*),则数列an的通项公式,an= .,解析解法一:由an+1+an=2n+1,得an+1=-an+2n+1.设有常数,使得an+1+2n+1=-(an+2n),即有an+1=-an-32n,令-32n=2n+1,得=-?.故有an+1-?=-?,而a1-?=-?0,故?是首项为-?,公
5、比为-1的等比数列,则an-?=-?(-1)n-1=?(-1)n,故an=?+?.解法二:由an+1+an=2n+1,得?=-?+1.,设有常数,使得?+=-?,即有?=-?-?,令-?=1,得=-?.故有?-?=-?,而?-?=-?0,故?是首项为-?,公比为-?的等比数列,则?-?=-?=?,故an=?+?.,答案?+,例2(2017浙江嘉兴基础测试,17)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=tan-?,其中nN*. (1)求实数t的值和数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log3a2n,求数列?的前n项和Tn.,解题导引(1)利用a1=S1得t的值利用n2时,an=Sn-Sn-1得n2时的通项公式,检验a1是否满足(2)利用裂项求和法得结论.,解析(1)当n=1时,a1=S1=ta1-?,得t=?,Sn=?an-?,n2时,an=Sn-Sn-1=?-?=?(an-an-1),故an=3an-1,n2,又a1=1,数列an为以1为首项,公比为3的等比数列,an=3n-1,nN*.(2)由(1)得a2n=32n-1,bn=2n-1,?=?=?,得Tn=?=?=?.,
