1、第三节等比数列及其前n项和,总纲目录,教材研读,1.等比数列的定义,考点突破,2.等比数列的通项公式,3.等比中项,考点二等比数列的性质及其应用,考点一等比数列的基本运算,4.等比数列的常用性质,5.等比数列的前n项和公式,6.等比数列前n项和的性质,考点三等比数列的判定与证明,1.等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为?=q(nN*).,教材研读,2.等比数列的通项公式等比数列an的通项公式为an=a1qn-1.,3.等比中项若G2=ab(ab0),那么G叫做a与b的等
2、比中项.,4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*).(2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),?,?,anbn,?仍是等比数列.,5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=?=?.,6.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为?qn.,与等比数列有关的结论(1)an=amqn-m,an+m=anqm=a
3、mqn(m,nN*).(2)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN*).(3)若等比数列的项数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则?=q.(4)三个数成等比数列,通常设为?,x,xq;四个数成等比数列,通常设为?,?,xq,xq3.,1.已知an是等比数列,a2=2,a5=?,则公比q=()A.-?B.-2C.2D.,答案D由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=?,由得q3=?,解得q=?.故选D.,D,2.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=?()A.4?B.4?C.4?D.4,答案B由
4、题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q=?,则an=4?.,B,3.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=?()A.10B.25C.50D.75,答案Ba7a12=5,a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.,4.(2016北京丰台一模)已知等比数列an中a1=1,且?=8,那么S5的值是?()A.15B.31C.63D.64,答案B?=?=?=q3=8,q=2.又a1=1,S5=?=31.,B,B,5.(2017北京海淀一模)已知等比数列an中,a2a4=a5,a4=8,则公比q=,其前4
5、项和S4=.,答案2;15,解析设等比数列an的公比为q.a2a4=a5,a4=8,8a2=a2q3,q=2.a1=1,S4=?=15.,6.(2017北京朝阳期中)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若a3=2,S4=5S2,则a1的值为,S4的值为.,答案?;,解析当等比数列的公比等于1时,由a3=2,得S4=4a3=42=8,5S2=52a3=522=20,与题意不符.设各项均为正数的等比数列的公比为q(q0且q1),由a3=2,S4=5S2,得?整理得?解得?或?(舍).则S4=?=?.,典例1(2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2
6、+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.,考点一等比数列的基本运算,考点突破,解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算求解能力.(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=?.,方法指导解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q
7、,an,Sn,一般可以“知三求二”.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn=?=?.,1-1(2016北京西城期末)已知数列an是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=a2n,记Sn为数列bn的前n项和,证明:Sn?.,典例2(1)(2015北京海淀期中)若等比数列an满足a1+a3=5,且公比q=2,则a3+a5=?()A.10B.13C.20D.25(2)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1
8、+ln a2+ln a20=.(3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=.,考点二等比数列的性质及其应用,答案(1)C(2)50(3)34,解析(1)a3+a5=a1q2+a3q2=(a1+a3)q2=522=20.(2)因为等比数列an中,a10a11=a9a12,所以由a10a11+a9a12=2e5,可得a10a11=e5.所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.(3)由题意可知q-1,故由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S
9、3)2=S3(S9-S6),将S6=?S3代入可得?=?.,易错警示(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用.,2-1已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为?()A.-3B.3C.-3?D.3,答案C由题意知y2=3,y=?,又y与-1,-3符号相同,y=-?,又y2=xz,所以xyz=y3=-3?.,C,2-2记等比数列an的前n项
10、积为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为?()A.4B.7C.10D.12,答案A因为an是等比数列,所以am-1am+1=?,故由am-1am+1-2am=0,可知am=2(am=0舍去).由等比数列的性质可知前(2m-1)项积T2m-1=?,22m-1=128,故m=4.,A,典例3(2016北京西城二模)已知数列an的前n项和Sn满足4an-3Sn=2,其中nN*.(1)求证:数列an为等比数列;(2)设bn=?an-4n,求数列bn的前n项和Tn.,考点三等比数列的判定与证明,方法技巧证明数列an(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义
11、法,证明?=q(n2,q为非零常数);二是等比中项法,证明?=an-1an+1(n2).若判定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法.,3-1(2017北京朝阳一模)已知数列an满足a1=1,an+1=?an,设bn=?,nN*.(1)证明:bn是等比数列;(2)求数列log2bn的前n项和Tn.,解析(1)证明:由an+1=?an,得?=2?.因为bn=?,所以bn+1=2bn,即?=2.又因为b1=?=1,所以数列bn是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)可知bn=12n-1=2n-1,所以log2bn=log22n-1=n-1.则数列log2bn的前n项和Tn=0+1+2+3+(n-1)=?.,
