1、第一章 推理与证明 4 4 数学归纳法数学归纳法举例说明举例说明：一个数列的通项公式是：一个数列的通项公式是：an=(n25n+5)2请算出请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测猜测an?由于由于a525 1，所以猜测是不正确的，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论所以由归纳法得到的结论不一定可靠不一定可靠 1111猜测是否正确呢？猜测是否正确呢？1)55(22nnaNnn，都有对一切课题引入课题引入不完全归不完全归纳法纳法,1,1,11nnnnaaaaa 已已知知观观察察数数列列,212 a,313 a,414 anan1:猜想归纳通项公式猜想归纳通项公式 如 何 通 过有限个步骤的推
2、理，证明n取所有正整数都成立？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？下的条件是什么？多米诺骨牌（多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨）是一种用木制、骨制或制或塑料塑料制成的长方形制成的长方形骨牌骨牌。玩时将骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌
3、组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。先从多米诺骨牌游戏说起先从多米诺骨牌游戏说起 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：牌就能全部倒下：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。一定导致后一块倒下。（依据）（依据）条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系：当）事实上给出了一个递推关系：当第第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
4、块也倒下。思考思考：你认为证明数列的通项公式：你认为证明数列的通项公式 是是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？nan1（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下；（基础）多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。根据（根据（1）和）和 （2），），可知不论有多少块骨牌，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。
5、（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）若当）若当n=k时猜想成立，时猜想成立，即即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根据（根据（1）和（）和（2），可），可知对任意的正整数知对任意的正整数n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1naa,a=1,a=(n),1+a*N已知数列已知数列数学归纳法的概念：数学归纳法的概念：定义：对于某些与正整数定义：对于某些与正整数n有关的命题常有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0(n0 N*)时命题成立时命题成立(归
6、纳奠基归纳奠基）；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立(归纳递推归纳递推）。）。这种证明方法就叫做这种证明方法就叫做_。数学归纳法数学归纳法验证验证n=n0时时命题成立命题成立若若n=k(kn0)时命题成立时命题成立,证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推命题对从命题对从n0开始所有开始所有的正整数的正整数n都成立都成立例例1 1、用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+3+5+1+3+5+(2n-1)n2(2)假设假设nk时，等式成立，即时，等式成立，即(1)n1时，左边
7、时，左边=1，右边，右边=1，等式成立；，等式成立；1+3+5+1+3+5+(2k-1)k2那么当那么当nk+1时，时，由由、可知对任何可知对任何nN*时，等式都成立时，等式都成立需要证明的式子是需要证明的式子是?2)1()12()12(5311 kkkkn：时，需要证明的式子是时，需要证明的式子是当当1+3+5+1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（）（k+1）2这就是说，当这就是说，当n n=k k+1+1时，等式也成立时，等式也成立同样的方法，我们可以用数学归纳法证明首项为同样的方法，我们可以用数学归纳法证明首项为a1，公差为公差为d的等差数列的前的等差数列的前n项和
8、公式项和公式.具体详解请同学具体详解请同学们看本节教材例们看本节教材例1.数学建构数学建构 类比多米诺骨牌游戏证明类比多米诺骨牌游戏证明情境情境1中的猜想中的猜想 的步骤为：的步骤为：(1)证明当证明当n=1时猜想成立时猜想成立(2)证明若当证明若当n=k时命题成立，则时命题成立，则n=k+1时命时命题也成立题也成立.22222(1)(21)1234.6nnnn 完成了这两个步骤以后就可以证明完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜上述猜想想对于所有的正整数对于所有的正整数n都是成立的。都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于第一张牌能倒下相当于使所有骨牌倒下的第相当于使所有骨牌倒下的第2个条件个条
9、件222222(1)(1)12(1)11234(1)6kkkkk目标：证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边,等式显然成立。等式显然成立。例例2 2 证明：证明：递推基础递推基础递推依据递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时,等式也成立。等式也成立。根据根据和和，可知对任何
10、，可知对任何n n N N*等式都成立。等式都成立。证明证明：（1）当当n=1时时，,1a 左边左边,011ada 右边右边等式是成立的等式是成立的（2）假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是,)1(1dkaak 那么那么daakk 1ddka )1(1这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何 都成立都成立Nndka1)1(1 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 公差为公差为 ，那么，那么dnaan)1(1 na1ad对一切对一切 都成立都成立 Nn练习练习1 1试用数学归纳法证明
11、试用数学归纳法证明都成立。何对任时等式都成立，即等式，知道推下去，就时等式也成立，这样递），时等式成立，再根据（也成立。由于时等式），时等式成立，再根据（），：根据（上述结论是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 点评：点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边,等式显然成立。等式显然成立。练习练习2.2.（1 1）用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：*11234(1)().2nn nnN 11 2 3(
12、1)2kk k 123(1)1(1)(1)21(1)(1)12kkk kkkk假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时,等式也成立。等式也成立。根据根据和和，可知对任何，可知对任何n n N N*等式都成立。等式都成立。证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边,等式显然成立。等式显然成立。练习练习2.2.（2 2）用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：21122221.nn211 22221kk 2111 222221 221kkkkk 假设当假设当n=kn=k时等式成立，
13、即时等式成立，即那么那么,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时,等式也成立。等式也成立。根据根据和和，可知对任何，可知对任何n n N N*等式都成立。等式都成立。2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时命题成立等）时命题成立 10 nn0n递推基递推基础础 （2）假设假设 时时命题成立命题成立 证明证明 时命题也成立时命题也成立)N(0nkkkn 且且1 kn递推依据递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从
14、在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始开始 的的所有正整数所有正整数n都成立都成立1.数学归纳法数学归纳法适用范围适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法数学归纳法优点优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论又克服了不完全归纳法结论不可靠不可靠的不足，是一种科学方法，的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。课堂小结课堂小结另外一定要注意：用数学归纳法另外一定要注意：用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是第一步是递推的递推的基础基础，第二步，第二步是是递推的递推的依依据据。缺了第一步递。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。失去依据，因此无法递推下去。
