1、第三章第三章 导数应用导数应用3.2 3.2 最大值、最小值问题最大值、最小值问题一、一、【教学目标】：【教学目标】：1 1 知识与技能：知识与技能：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念 2 2 过程与方法：过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最大值与最小值。3 3 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、二、【教学重点教学重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法三、三、【教学难点教学难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系熟练计算函数最值的步骤3xyoxyo0 x0 x 函数极
2、值与导数函数极值与导数函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法函数极值的求法求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极值点，求极值点，3.列表，列表，4.求极值求极值（一）、知识回顾（一）、知识回顾:4xyoaby=f(x)xxbf(x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减f(a)f(b)xxaf(x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增函数极值的判定定理函数极值的判定定理观察图像：你能说出函数的极大值点与极观察图像：你能
3、说出函数的极大值点与极小值点吗？小值点吗？6结合课本练习思考结合课本练习思考 极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念结论：不一定结论：不一定极大值极大值极小值极小值极极小小值值一一.最值的概念最值的概念(最大值与最小值最大值与最小值)（二）、新（二）、新 课课 引入引入 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使使得对任意的得对任意的xxI,总有总有f(x)f(xf(x)f(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值
4、最大值.最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的.)(xfba,1.1.在定义域内在定义域内,最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一;注意注意:2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.oxyab)(xfy最小值是最小值是f(b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上上最大值是最大值是f(a),图110问：最大值与最小值可能在何处取得？问：最大值与最小值可能在何处取得？怎样求函数怎样求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值？上的最大值与最小值？观察下列图像，你能找出极值点与最值点吗？观察下列图像，你能找出极值点与最值点吗
5、？oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x图2（三）、如何求函数的最值（三）、如何求函数的最值?1.1.利用函数的单调性利用函数的单调性;2.2.利用函数的图象利用函数的图象;3.3.利用函数的导数利用函数的导数.如如:求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的最值.如如:求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值.例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值2425y xx 2,2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1,0,1 x1345413y+00+02(1,2
6、)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy,从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4y 例例2 2 求函数y=x2-4x+3在区间-1，4上的最大值和最小值 解解:y=2x-4令令y=0y=0，即，即2x4=02x4=0，得得x=2x=2x x-1-1（-1,2-1,2）2 2（2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函数y在区间-1，4内的最大值为8，最小值为-1 yy146060解解:设箱底边长为设箱底边长为x cm，箱子容积为箱子容积为V=x2 h例例3 在边长为在边长为60cm的正
7、方形铁皮的四角切去相等的正方形，的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？则箱高则箱高260 xh 26032xx xxV =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40,x=0(舍去舍去)得得V(40)=16000答：当答：当箱底边长为箱底边长为x=40时时,箱子容积最大，箱子容积最大，最大值为最大值为16000cm3)600(x;0()40,0(）时，时，当当xVx.0()60,40(）时，时，当当xVx。为极
8、大值，且为最大值为极大值，且为最大值)40(V15hR例例4.要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？底面半径比为多少？解解:设桶底面半径为设桶底面半径为R,2RVh 则桶高为则桶高为,2222)(222RVRRVRRRS 桶的用料为桶的用料为,24)(2RVRRS ,024)(2 RVRRS 令令2VR 解得2322 VVRVh此时，此时，224VVRh2即因为因为S(R)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值。所以
9、它是最小值。答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。16练习练习1求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最内的极值与最值值。故函数故函数f(x)在区间在区间1，5内有极小值为内有极小值为2，最大值为，最大值为11，最小值为最小值为2。解、解、y=y=2x-4令令y y=0，即，即2x-4=0，得得x=2。x1（1，2）2（2，5）50-+3112yy求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。543(1)()551,1,2f xxxx3(2)()395,-2,1f xxx4,1,71862
10、)()3(23xxxxf答 案最大值最大值 f(2)=153，最小值，最小值 f(-1)=0最大值最大值 f(-1)=11，最小值，最小值 f(2)=f(1)=-1 最大值最大值 f(1)=29，最小值，最小值 f(3)=61练习练习2：求函数求函数 在在 内的极值；内的极值；)(xf),(ba1.求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:)(xf,ba求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值；)(xf)()(bfaf、将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值)(xf)()(b
11、faf、回顾总结回顾总结2 2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：.是利用函数性质；是利用函数性质；.是利用函数图像；是利用函数图像；.是利用导数是利用导数19xO y yf(x)abxO y yf(x)ab 如果函数如果函数 f(x)在在a,b上单调增加上单调增加(减少减少)，则则 f(a)是是 f(x)在在a,b上的最小值上的最小值(最大值最大值)，f(b)是是 f(x)在在a,b上的最大值上的最大值(最小值最小值)。函数的最值一般有两种情况：函数的最值一般有两种情况：（1）20 xO y f(x0)yf(x)ax0bxO y f(x0)yf(x)ax0b （3）如果函数在区间）如果函数在区间(a,b)内有且仅有一个极大内有且仅有一个极大(小小)值，值，而没有极小而没有极小(大大)值，则此极大值，则此极大(小小)值就是函数在区间值就是函数在区间a,b上的最大上的最大(小小)值。值。函数的最值一般分为两种情况：函数的最值一般分为两种情况：(2)如果函数在区间如果函数在区间(a,b)内有极值内有极值,将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值小值.作业作业 复习题三复习题三 2 课后交流反思课后交流反思
