1、函数的奇偶性【学习目标】(1)理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质;(2)能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性;(3)能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【学习重难点】(1)函数奇偶性的概念、图象特征和性质;(2)根据定义和图像判断简单函数的奇偶性;(3)用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【学习过程】一、知识引入在日常生活中,我们经常会看到一些具有对称性的图片,如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。思考讨论:(1)上列各图,分别是怎样的对称图形?(2)在我们学习的函数中,有些函数的图象也具有对称性,请举出几个这样的函数;例1.画出函数fx=x3的图象,并观察它的对称性.(3
2、)上例函数的图象是关于原点中心对称的,你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗?二、新知识一般地,设函数y=fx定义域为A.如果当xA时,有-xA,且f-x=-f(x),那么就称函数y=fx为奇函数;如果当xA时,有-xA,且f-x=f(x),那么就称函数y=fx为偶函数。如:函数fx=x2、fx=2x等等注意:当函数y=fx是奇函数或偶函数时,称函数fx具有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称,反之亦然;偶函数图象关于y轴对称,反之亦然。函数具有奇偶性的前提是:定义域关于原点对称;若奇函数y=fx是在x=0处有定义,则有f0=0;如果已知了一个函数的奇偶性,那么在研究它的性质时,可以先研究其在
3、非负区间0,+)上的性质,然后利用对称性可得在y轴另一侧函数的性质.例2.根据定义,判断下列函数的奇偶性:(1)fx=-2x5;(2)gx=x4+2;(3)hx=1x2;(4)mx=1x+2.思考讨论(综合练习)(1)根据定义,判断下列函数的奇偶性:fx=1-x2+x2-1fx=x2+xx0-x2+xx0fx=1-x2x+2-2fx=x2+1+x-1x2+1+x+1(2)已知函数fx是定义在R上的奇函数,且当x0时,fx=-x2+2x+1.求函数fx的解析式;若函数在-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.注意:奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法,某些函数,如果不易直接看出f-x与fx的关系,可以通过验证f-x+fx=0或f-x-fx=0来判断函数的奇偶性;奇函数如果在x=0处有定义,必有f0=0;函数fx在定义域内,如果满足fa+x=f(a-x),则函数图象关于直线x=a对称;如果满足,则函数图象关于直线x=a+b2对称.