1、对数函数ylog2x的图象和性质【学习目标】通过对数函数ylog2x的图象研究函数的性质，培养直观想象素养。【学习重难点】会画具体对数函数的图象。【学习过程】一、预习提问思考：(1)指数函数y2x与对数函数xlog2y的图象有什么关系？(2)指数函数y2x的图象与对数函数ylog2x的图象有什么关系？提示(1)重合。(2)关于直线yx对称。二、合作探究4函数ylog2x的图象和性质完成下列问题。图象特征函数性质过点(1，0)当x1时，y0在y轴的右侧定义域是(0，)向上、向下无限延伸值域是R在直线x1右侧，图象位于x轴上方；在直线x1左侧，图象位于x轴下方若x1，则y0；若0x1，则y0函数图
2、象从左到右是上升的在(0，)上是增函数1函数ylogax的图象如图所示，则a的值可以是( )A B2Ce D102函数ylog2(x2)的定义域是_。3函数ylog2(x21)的值域是_。4对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)_。【答案】1A ylogax的图象是下降的，故a可以是。故选A2(2，) 由x20，得x2，所以其定义域是(2，)。30，) 由x211，得y0，所以，其值域是0，)。41 设f(x)logax(a0，且a1)，因为对数函数f(x)的图象经过点，所以floga2所以a2。所以a。所以f(x)logx。所以f(3)log3log1对数函数的概念【例1】 下列函数中，哪
3、些是对数函数？(1)yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2；(3)y8log2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x。【答案】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。(3)中真数为x1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。1若函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_。【答案】1 由a2a11，解得a0或a1又底数a10，且a11，所以a1求函数的反函数【例2】 求下列函数的反
4、函数。(1)y10x； (2)yx；(3)ylogx； (4)ylog2x。【答案】(1)由y10x，得xlg y，其反函数为ylg x；(2)由yx，得xlogy，其反函数为ylogx；(3)由ylogx，得xy，其反函数为yx；(4)由ylog2x，得x2y，其反函数为y2x。2(1)已知函数yg(x)的图象与函数ylog3x的图象关于直线yx对称，则g(2)的值为( )A9 BC Dlog32(2)若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)( )Alog2x BlogxC2x Dx2【答案】(1)A (2)B (1)yg(x)与ylog3x互为
5、反函数，故g(x)3x，故g(2)329(2)由题意知(a，)在yax上，可得aaa，即a。因为yx的反函数为ylogx，所以f(x)logx。函数ylog2x的图象与性质探究问题1求函数ylog2|x|的定义域，并画出它的图象。2画出函数y|log2x|的图象，并写出它的单调区间。【例3】 根据函数f(x)log2x的图象和性质求解以下问题：(1)若f(x1)f(1)，求x的取值范围；(2)求ylog2(2x1)在 x上的最值。1提示：函数的定义域为x|x0，xR。函数解析式可化为y其图象如图所示。(其特征是关于y轴对称)。2提示：y|log2x|其图象如图所示，增区间为1，)，减区间为(0
6、，1)。例3 思路探究 可依据ylog2x的图象，借助函数的单调性解不等式，求最值。解 作出函数ylog2x的图象如图。(1)由图象知ylog2x在(0，)上是增函数。因为f(x1)f(1)，所以x11，解得x2，所以x的取值范围是(2，)。(2)x，2x14，log2log2(2x1)log24，所以1log2(2x1)2，故函数ylog2(2x1)在x上的最小值为1，最大值为2【母体探究】1(变结论)将例题中的条件不变，试比较log2与log2的大小。2(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2x)0.【答案】1 解 函数f(x)log2x在(0，)上为增函数，又，log2log2
7、。2解 log2(2x)0，即log2(2x)log21，函数ylog2x为增函数，2x1，x0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图象关于直线yx对称。3应注意数形结合思想在解题中的应用。1思考辨析(1)函数y2log2x是对数函数。( )(2)函数y3x的反函数是yx。( )(3) 对数函数ylog2x在(0，)上是增函数。( )2函数f(x)lg(23x)的定义域是_。3函数ylogx的反函数是_。4求函数ylog2(32xx2)的定义域和值域。【答案】1 (1) (2) (3)2 由23x0，得x0，得x22x30，1x3，其定义域为(1，3)u32xx24(x1)24，又ylog2u是增函数。ylog242，其值域为(，2。
