1、2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1（4分）已知z1+i（其中i为虚数单位），则2z= 2（4分）双曲线x29-y21的实轴长为 3（4分）函数f（x）cos2xsin2x+1的周期为 4（4分）已知aR，行列式a132的值与行列式a041的值相等，则a 5（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9，则圆柱的侧面积为 6（4分）xy0，x+y10，求zx+2y的最小值 7（5分）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n 8（5分）若函数f（x）=a2x-1x0x+ax00x=0，为奇函数，求参数a的值为
2、9（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 10（5分）已知等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，若S50，则Si（i0，1，2，100）中不同的数值有 个11（5分）若平面向量|a|b|c|，且满足ab=0，ac=2，bc=1，则 12（5分）设函数f（x）满足f（x）f（1x+1），定义域为D0，+），值域为A，若集合y|yf（x），x0，a可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13（5分）若集合A1，2），BZ，则AB（
3、）A2，1，0，1B1，0，1C1，0D114（5分）若实数a、b满足ab0，下列不等式中恒成立的是（）Aa+b2abBa+b2abCa2+2b2abDa2+2b2ab15（5分）如图正方体ABCDAB1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（）A点PB点BC点RD点Q16（5分）设集合（x，y）|（xk）2+（yk2）24|k|，kZ存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；存在直线l，使得集合中存在无数点在l上；（）A成立
4、成立B成立不成立C不成立成立D不成立不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O为AC边中点，且PO底面ABC，APAC2（1）求三棱锥体积VPABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小18（14分）f（x）log3（a+x）+log3（6x）（1）若将函数f（x）图像向下移m（m0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值（2）若a3且a0，求解不等式f（x）f（6x）19（14分）在如图所示的五边形中，ADBC6，AB20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角DABABC120，P，Q关于OM对称；（
5、1）若点P与点C重合，求POB的大小；（2）P在何位置，求五边形面积S的最大值20（16分）设有椭圆方程：x2a2+y2b2=1（ab0），直线l：x+y42=0，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（-2，0）、F2（2，0）（1）a2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在ABM中有一内角余弦值为35，求b；（3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d6，随a的变化，求d的最小值21（18分）数列an对任意nN*且n2，均存在正整数i1，n1，满足an+12anai，a11，a23（1）求a4可能值；（2）命题p：若
6、a1，a2，a8成等差数列，则a930，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；（3）若a2m3m，（mN*）成立，求数列an的通项公式2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1（4分）已知z1+i（其中i为虚数单位），则2z=22i【解答】解：z1+i，则z=1i，所以2z=22i故答案为：22i2（4分）双曲线x29-y21的实轴长为 6【解答】解：由双曲线x29-y21，可知：a3，所以双曲线的实轴长2a6故答案为：63（4分）函数f（x）cos2xsin2x+1的周期为 【解答
7、】解：f（x）cos2xsin2x+1cos2xsin2x+cos2x+sin2x2cos2xcos2x+1，T=22=故答案为：4（4分）已知aR，行列式a132的值与行列式a041的值相等，则a3【解答】解：因为a132=2a3，a041=a，所以2a3a，解得a3故答案为：35（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9，则圆柱的侧面积为 24【解答】解：因为圆柱的底面积为9，即R29，所以R3，所以S侧2Rh24故答案为：246（4分）xy0，x+y10，求zx+2y的最小值 32【解答】解：如图所示：由xy0，x+y10，可知行域为直线xy0的左上方和x+y10的右上方的公共部分，联立x-y
8、=0x+y-1=0，可得x=12y=12，即图中点A（12，12），当目标函数zx+2y沿着与正方向向量a=（1，2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数zx+2y过点A（12，12）时，取最小值：12+212=32故答案为：327（5分）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n10【解答】解：二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，即Cn23n25Cn03n，即 n(n-1)2=59，n10，故答案为：108（5分）若函数f（x）=a2x-1x0x+ax00x=0，为奇函数，求参数a的值为 1【解答】解：函数f（x）=a2x-1x0x+ax
9、00x=0，为奇函数，f（x）f（x），f（1）f（1），a21（a+1），即 a（a1）0，求得a0或a1当a0时，f（x）=-1，x00，x=0x，x0，不是奇函数，故a0；当a1时，f（x）=x-1，x00，x=0x+1，x0，是奇函数，故满足条件，综上，a1，故答案为：19（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 37【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C11C31C42+C11C32C41 种，而所有的抽取方法共有C84种，故每
10、一类都被抽到的概率为C11C31C42+C11C32C41C84=3070=37，故答案为：3710（5分）已知等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，若S50，则Si（i0，1，2，100）中不同的数值有 98个【解答】解：等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，S50，S5=5a1+542d=0，解得a12d，Snna1+n(n-1)2d=-2nd+n(n-1)2d=d2（n25n），d0，Si（i0，1，2，100）中S0S50，S2S33d，S1S42d，其余各项均不相等，Si（i0，1，2，100）中不同的数值有：101398故答案为：9811（5分）若平面向量|a|b|c|
11、，且满足ab=0，ac=2，bc=1，则45【解答】解：由题意，有ab=0，则ab，设a，c=，ac=2bc=1|a|c|cos=2，|b|c|cos(2-)=1， 则得，tan=12，由同角三角函数的基本关系得：cos=255，则ac=|a|c|cos=255=2，2=5，则=45故答案为：4512（5分）设函数f（x）满足f（x）f（1x+1），定义域为D0，+），值域为A，若集合y|yf（x），x0，a可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 5-12，+）【解答】解：令x=1x+1得，x=5-12或x=-5-12（舍去）；当x5-12时，1x+115-12+1=5-12，故对任意x5-1
12、2，都存在x00，5-12，1x+1=x0，故f（x）f（x0），而当0x5-12时，1x+115-12+1=5-12，故Ay|yf（x），x0，5-12，故当Ay|yf（x），x0，a时，0，5-120，a，故参数a的最小值为5-12，故参数a的取值范围为5-12，+），故答案为：5-12，+）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13（5分）若集合A1，2），BZ，则AB（）A2，1，0，1B1，0，1C1，0D1【解答】解：A1，2），BZ，AB1，0，1，故选：B14（5分）若实数a、b满足ab0，下列不等式中恒成立的是（）Aa+b2abBa+b2a
13、bCa2+2b2abDa2+2b2ab【解答】解：因为ab0，所以a+b2ab，当且仅当ab时取等号，又ab0，所以a+b2ab，故A正确，B错误，a2+2b2a22b=2ab，当且仅当a2=2b，即a4b时取等号，故CD错误，故选：A15（5分）如图正方体ABCDAB1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（）A点PB点BC点RD点Q【解答】解：线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交，因此所求与D1
14、可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交，对A选项，如图，连接A1P、PS、D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点，易证A1D1PS，故A1、D1、P、S四点共面，D1P与A1S相交，A错误；对B、C选项，如图，连接D1B、DB，易证D1、B1、B、D四点共面，故D1B、D1R都与B1D相交，B、C错误；对D选项，连接D1Q，由A选项分析知A1、D1、P、S四点共面记为平面A1D1PS，D1平面A1D1PS，Q平面A1D1PS，且A1S平面A1D1PS，点D1A1S，D1Q与A1S为异面直线，同理由B，C选项的分析知D1、B1、B、D四点共面记为平面D1B1BD，D1平面D1B1BD
15、，Q平面D1B1BD，且B1D平面D1B1BD，点D1B1D，D1Q与B1D为异面直线，故D1Q与A1S，B1D都没有公共点，D选项正确故选：D16（5分）设集合（x，y）|（xk）2+（yk2）24|k|，kZ存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；存在直线l，使得集合中存在无数点在l上；（）A成立成立B成立不成立C不成立成立D不成立不成立【解答】解：当k0时，集合（x，y）|（xk）2+（yk2）24|k|，kZ（0，0），当k0时，集合（x，y）|（xk）2+（yk2）24|k|，kZ，表示圆心为（k，k2），半径为r2k的圆，圆的圆心在直线yx2上，半径rf（k）2k单
16、调递增，相邻两个圆的圆心距d=(k+1-k)2+(k+1)2-k22=4k2+4k+2，相邻两个圆的半径之和为l2k+2k+1，因为dl有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当k0时，同k0的情况，故存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故正确，若直线l斜率不存在，显然不成立，设直线l：ymx+n，若考虑直线l与圆（xk）2+（yk2）24|k|的焦点个数，d=|mk+n-k2|m2+1，r=2|k|，给定m，n，当k足够大时，均有dr，故直线l只与有限个圆相交，错误故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O为AC
17、边中点，且PO底面ABC，APAC2（1）求三棱锥体积VPABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小【解答】解：（1）在三棱锥PABC中，因为PO底面ABC，所以POAC，又O为AC边中点，所以PAC为等腰三角形，又APAC2所以PAC是边长为2的为等边三角形，PO=3，三棱锥体积VPABC=13SABCPO=1334223=1，（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，3），B（3，0，0），C（0，1，0），M（32，12，0），PM=（32，12，-3），平面PAC的法向量OB=（3，0，0），设直线PM与平面PAC所成角为
18、，则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin|PMOB|PM|OB|=3232=34，所以PM与面PAC所成角大小为arcsin3418（14分）f（x）log3（a+x）+log3（6x）（1）若将函数f（x）图像向下移m（m0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值（2）若a3且a0，求解不等式f（x）f（6x）【解答】解：（1）因为函数f（x）log3（a+x）+log3（6x），将函数f（x）图像向下移m（m0）后，得yf（x）mlog3（a+x）+log3（6x）m的图像，由函数图像经过点（3，0）和（5，0），所以log3(3+a)+1-m=0log3(5+a)+0
19、-m=0，解得a2，m1（2）a3且a0时，不等式f（x）f（6x）可化为log3（a+x）+log3（6x）log3（a+6x）+log3x，等价于a+x06-x0a+6-x0x0(a+x)(6-x)x(a+6-x)，解得x-ax6xa+6x0a(x-3)0，当3a0时，0a3，3a+66，解不等式得ax3，当a0时，a0，a+66，解不等式得3x6；综上知，3a0时，不等式f（x）f（6x）的解集是（a，3，a0时，不等式f（x）f（6x）的解集是3，6）19（14分）在如图所示的五边形中，ADBC6，AB20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角DABABC120，P，Q关于O
20、M对称；（1）若点P与点C重合，求POB的大小；（2）P在何位置，求五边形面积S的最大值【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB10，BC6，ABC120，由余弦定理可得OP2OB2+BC22OBBCcosABC36+1002610（-12）196，所以OP14，在OBP中，由正弦定理得OPsin120=BPsinPOB，所以1432=6sinPOB，解得sinPOB=3314，所以POB的大小为arcsin3314；（2）如图，设CD与MO相交于点N，由题意知五边形CDQMP关于MN对称，所以S五边形CDQMP2S四边形CPMN2（S四边形OCPMSONC），设COM，结合（1）可知
21、cos=3314，所以sin=1314，且为锐角，因为OCOPOM14，所以CM2OC2+OM22OCOMcos=28(14-33)，故CM=28(14-33)，显然，CMP的底边CM为定值，则P在劣弧CM中点位置时，CM边上的高最大，此时OPCM，故S四边形OCPM=12OPCM=12142814-33=147(14-33)，而SONC=12ONNC=1214cos14sin=3932，故S的最大值为2(147(14-33)-3932)=287(14-33)-393，同理，当P在劣弧DM中点时，S也取得相同的最大值，故P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，五边形CDQMP的面积最大，且为
22、287(14-33)-39320（16分）设有椭圆方程：x2a2+y2b2=1（ab0），直线l：x+y42=0，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（-2，0）、F2（2，0）（1）a2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在ABM中有一内角余弦值为35，求b；（3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d6，随a的变化，求d的最小值【解答】解：（1）由题意可得a=2，b=c=2，：x24+y22=1，A(0，-2)，AM的中点在x轴上，M的纵坐标为2，代入x+y-42=0得M(32，2)（2）由直线方程可知B(0，42
23、)，若cosBAM=35，则tanBAM=43，即tanOAF2=43，OA=34OF2=342，b=342若cosBMA=35，则sinBMA=45，MBA=4，cos(MBA+AMB)=2235-2245=-210，cosBAM=210，tanBAM7即tanOAF27，OA=27，b=27，综上b=342或27（3）设P（acos，bsin），由点到直线距离公式可得|acos+bsin-42|2=6-2a，很明显椭圆在直线的左下方，则-acos+bsin-422=6-2a，即42-a2+b2sin(+)=62-22a，a2b2+2，2a2-2sin(+)=22a-22，据此可得a2-1s
24、in(+)=2a-2，|sin(+)|=|2a-2|a2-11，整理可得（a1）（3a5）0，即1a53，从而d=6-2a6-253=83即d的最小值为8321（18分）数列an对任意nN*且n2，均存在正整数i1，n1，满足an+12anai，a11，a23（1）求a4可能值；（2）命题p：若a1，a2，a8成等差数列，则a930，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；（3）若a2m3m，（mN*）成立，求数列an的通项公式【解答】解：（1）a32a2a15，a42a3a27或a42a3a19（2）a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列，d=2，a
25、n=2n-1(n1，8，nN*)，a92a8ai30ai30逆命题q：若a930，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列是假命题，举例：a11，a23，a35，a47，a59，a611，a713，a82a7a517，a92a8a721（3）因为a2m=3m，a2m+2=3m+1，a2m+2=2a2m+1-ai(i2m)，a2m+12a2maj（j2m1），a2m+24a2m2ajai，2aj+ai=4a2m-a2m+2=43m-3m+1=3m=a2m，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an+1an恒成立：当n1，a2a1明显成立，假设nk时命题成立，即akak1ak1
26、a2a10，则ak+1ak2akaiakakai0，则ak+1ak，命题得证回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1若 j2 m1，则a2m2aj+ai2a2m1+aia2m1ai矛盾，2若 j2 m2，则aj=3m-1，ai=3m-2aj=3m-1，i2m2，此时a2m+1=2a2m-aj=23m-3m-1=53m-1，an=1n=153n-32n=2k+1，kN*3n2n=2k，kN*，3若 j2 m2，则2aj23m-1，ai=3m-2aj3m-1，j2m1，a2m+22a2m+1a2m1（由（2）知对任意m成立），a62a5a3，事实上：a62a5a2矛盾综上可得an=1n=153n-32n=2k+1，kN*3n2n=2k，kN*第16页（共16页）
