1、斜率型定值型问题-2023 年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）斜率型定值型问题-2023 年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）一、斜率问题一、斜率问题1已知，椭圆 过点(1,32)，两个焦点为(1,0),(1,0).（）求椭圆 的方程；（）,是椭圆 上的两个动点，如果直线 的斜率与 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值2已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 =(0，2)，且长轴长与短轴长的比是 2：1 （）求椭圆 C 的方程；（）若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA，PB 分别交椭圆 C
2、 于另外两点 A，B，求证：直线 AB 的斜率为定值；（）在（）的条件下，求PAB 面积的最大值3如图，已知点(2，2)是抛物线 ：2=2 上一点，过点 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于 、两点，直线 的斜率为(0).（）若直线 、恰好为圆(2)2+2=1 的切线，求直线 的斜率；（）求证：直线 的斜率为定值.并求出当 为直角三角形时，的面积.二、斜率之和问题二、斜率之和问题4已知椭圆：22+22=1(0)的离心率=13，且椭圆经过点(1，83)（1）求椭圆的方程（2）不过点的直线：=+3与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为1，2，试判断1+2是否为定值若是，求出该定值：若不是，请说明理
3、由5已知抛物线：2=2(0)，点(2，2 2)在抛物线上.（1）求抛物线的准线方程；（2）过点(2，0)的直线与抛物线交于，两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线，的斜率分别为1，2，求证：1+2为定值.6如图，椭圆:22+22=1(0)经过点(0,1)，且离心率为 22.(I)求椭圆 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点,（均异于点 ），问：直线 与 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由7已知椭圆 ：22+22=1(0)的上顶点 与下顶点 在直线 ：2+1=0 的两侧，且点 到 的距离是 到 的距离的 3 倍 （）求 的值；（）设 与 交于
4、 ，两点，求证：直线 与 的斜率之和为定值8已知圆 和 轴相切于点(0，2)，与 轴的正半轴交于 、两点（在 的左侧），且 =3.（）求圆 的方程；（）过点 任作一条直线与圆 ：2+2=4 相交于点 、，连接 和 ，记 和 的斜率分别为 1，2，求证：1+2 为定值.9椭圆 C:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 1,2，离心率为 32，过焦点 2 且垂直于x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 （）求椭圆 C 的方程；（）已知点 M（0，-1），直线 l 经过点 N（2，1）且与椭圆 C 相交于 A,B 两点（异于点 M），记直线 MA 的斜率为 1，直线 MB 的斜率为 2，证
5、明 1+2 为定值，并求出该定值.10已知：点(1，2)是离心率为 22 的椭圆 ：22+22=1(0)上的一点斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合 （）求椭圆 C 的方程；（）ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求证：直线 AB、AD 的斜率之和为定值11已知椭圆 22+22=1（0）的焦距为 2，离心率为 22，右顶点为 .（I）求该椭圆的方程；（II）过点(2,2)作直线 交椭圆于两个不同点、，求证：直线 ，的斜率之和为定值.三、斜率之差问题三、斜率之差问题12椭圆 C：22+22=1(0)的离心率
6、=32，+=3（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 MN 的斜率为 m，BP 的斜率为 n，证明：2为定值四、斜率之积问题四、斜率之积问题13已知椭圆：22+22=1(0)的离心率为 12，点(1，32)在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的右顶点为 B，直线 l 过定点(3，0)，且交椭圆 于 P，Q 两点（异于点B），试探究直线 与 的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 14如图，在直角坐标系 中，圆 :2+
7、2=4 与 轴负半轴交于点 ，过点 的直线 ,分别与圆 交于 ,两点 （）若=2,=12，求 的面积；（）若直线 过点 (1,0)，证明：为定值，并求此定值15设(,)是椭圆 225+216=1 上的点且 的纵坐标 0，点(5,0)、(5,0)，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由16设(,)是椭圆 225+216=1 上的点且 的纵坐标 0，点(5,0)、(5,0)，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由五、斜率之商问题五、斜率之商问题17如图，已知椭圆：24+2=1和圆：(4)2+(3)2=252(0 0，0)的左、右焦点分别为1，2，
8、点为线段1的中点，过2的直线与的右支交于(1，1)，(2，2)两点，延长，分别与交于点，两点，若的离心率为 2，(3，7)为上一点.（1）求证：1221=2(21)；（2）已知直线和直线的斜率都存在，分别记为1，2，1 0，判断21是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.19已知椭圆：22+22=1(0)的右焦点为 F，长轴长为 4，离心率为12过点(4，0)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为1，2(2 0)，求证：12为定值20在平面直角坐标系中，1，2两点的坐标分别为(2，0)，(2，0)，直线1，2相交于点M 且它们的斜率
9、之积是34，记动点 M 的轨迹为曲线 E过点(1，0)作直线 l 交曲线 E 于 P，Q 两点，且点 P 位于 x 轴上方记直线1，2的斜率分别为1，2（1）证明：12为定值：（2）设点 Q 关于 x 轴的对称点为1，求 1面积的最大值21已知椭圆 :22+22=1(0)的长轴长为 4，焦距为 2 2（）求椭圆 的方程；（）过动点(0,)(0)的直线交 轴与点 ，交 于点,(在第一象限)，且 是线段 的中点.过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，延长 交 于点 .（）设直线,的斜率分别为 1,2，证明 21 为定值；（）求直线 的斜率的最小值.六、斜率综合问题六、斜率综合问题22如图.矩形 ABC
10、D 的长=2 3，宽=12，以 AB 为左右焦点的椭圆：22+22=1恰好过 CD 两点，点 P 为椭圆 M 上的动点.（1）求椭圆 M 的方程，并求 的取值范围；（2）若过点 B 且斜率为 k 的直线交椭圆于 MN 两点（点 C 与 MN 两点不重合），且直线 CMCN 的斜率分别为1、2，试证明1+22为定值.23已知椭圆：22+22=1(0)的离心率为32，(2，1)为椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程.（2）若过点(2，0)且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，记直线，的斜率分别为1，2，试问1+22是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】解：（
11、）由题意 =1，设椭圆方程为 21+2+22=1，因为点(1,32)在椭圆上，所以 11+2+942=1，解得 2=3，2=34 舍去所求椭圆方程为 24+23=1（）设直线 方程为 =(1)+32，代入 24+23=1 得(3+42)2=4(32)+42123=0设(,)，(,)，点(1,32)在直线 上则=421233+42，=(1)+32；直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，在上式中用 代替 得=42+1233+42，=(1)+32，直线 的斜率=(+)+2=12所以直线 的斜率为定值2【答案】解：（）设椭圆 C 的方程为 22+22=1(0)由题意 2=2+2：=2：1=2，解得 a
12、24，b22所以，椭圆 C 的方程为 24+22=1 故点 P(1，2)（）由题意知，两直线 PA，PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 k，则 PB 的直线方程为 2=(1)由 2=(1)24+22=1 得，(2+2)2+2(2)+(2)24=0 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则=1 =22 222+2，同理可得=2+2 222+2则=4 22+2，=(1)(1)=82+2.所以直线 AB 的斜率=2 为定值（）设 AB 的直线方程为 =2+，由 =2+，24+22=1.得 42+2 2+24=0.由 =(2 2)216(24)0，得 2 0)，由直线 与圆(2)2+2=1 相切
13、，可得|20+22|1+2=1，解 =3.（）设(，)，(，).联立直线 与抛物线方程 2=(2)2=2，消去 可得：22+44=0，=44，=22，(2(1)22，22).用 代替 可得：=2+2，(2(1+)22，22).因此，=222=2+=12.即直线 的斜率为定值 12.1 当 =90 时，由 =1 得 =2，此时(2，2)，(12，1)，(92，3)，求得|=325，|=2 5，=12|=12325 2 5=152.2 当 =90 时，可得 =1，此时(2，2)，(0，0)，(8，4)，求得|=2 2，|=6 2，=12|=12 2 2 6 2=12.3 当 =90 时，无解.综上
14、所述，当 为直角三角形时，的面积为 152 或 12.4【答案】（1）解：根据题意得：=1322=212+6492=12=92=82=1，故椭圆的标准方程为29+28=1（2）解：因为直线不过点(1，83)，且直线，的斜率存在，所以 173设(1，1)，(2，2)，联立方程组=+329+28=1，得(8+92)2+54+9=0，则1+2=548+92，12=98+92.由=(54)236(8+92)0，得219且 173因为1+2=1+831+1+2+832+1=1+1731+1+2+1732+1=212+(+173)(1+2)+34312+(1+2)+1，所以1+2=188+9254(+17
15、3)8+92+34398+92548+92+1=163(9254+17)9254+17=163.即1+2为定值，且1+2=163.5【答案】（1）解：将(2，2 2)代入：2=2，解得=2，：2=4的准线方程为=1.（2）解：设(1，1)，(2，2)，直线：=2，(0，3)，(0，4)，联立2=4=2，整理得24+8=0，由题意，=(4)24 8 0，即 2或 0，设(11),(22)，12 0则 1+2=4(1)1+22,12=2(2)1+22，从而直线 与 的斜率之和+=1+11+2+12=1+21+2+21=2+(2)(11+12)=2+(2)1+212=2+(2)4(1)2(2)=2(
16、21)=2.7【答案】（）由椭圆的方程可得(0，)，(0，)，由题意可得|2+1|5=3|2+1|5，解得 =1 或 =14 当 =14 时，点 ，都在直线 的下方，不符合题意，故 =1（）联立 22+2=1，2+1=0，消去 可得(4+2)2+2232=0，设(1，1)，(2，2)，则 1+2=224+2，12=324+2 直线 与 的斜率之和+=1+11+2+12=121+321+122+322=1+32(11+12)=1+321+212=1+32224+2324+2=2 因此直线 与 的斜率之和为定值 28【答案】解：（）依题意可设圆心 的坐标为(，2)(0)，则圆 的半径为 .又|=3
17、，2=22+(32)2=254，解得 =52.圆 的方程为(52)2+(2)2=254.（）由(52)2+(2)2=254，令 y=0 得 1=1，2=4，所以(1，0)，(4，0).当直线 的斜率为 0 时，可知 1=2=0，即 1+2=0；当直线 的斜率不为 0 时，设直线 ：=1+，将 =1+代入 2+2=4，整理得(2+1)2+23=0，=42+12(2+1)0.设(1，1)，(2，2)，1+2=22+1，12=32+1.1+2=1014+2024=113+223，=2123(1+2)(13)(23)=62+1+62+1(13)(23)=0.综上可知，1+2=0 为定值.9【答案】解：
18、（）将 =代入 22+22=1 中，由 22=2 可得 2=42，所以弦长为 22，故有 22=1=322=2+2，解得 =2=1，所以椭圆 的方程为：24+2=1 （）若直线 l 的斜率不存在，即直线的方程为 x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。设直线 l 的斜率为 k，若 k=0，直线 l 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故 k0.所以直线 l 的方程为 1=(2)，即 =2+1，直线 l 的方程与椭圆的标准方程联立得：24+2=1,=2+1 消去 y 得:(1+42)28(21)+16216=0,设(1,1),(2,2)，则 1+2=8(21)1+42,12=162161+42，1=
19、1+11,2=2+12,1+2=1+11+2+12=(1+1)2+(2+1)112=(12+1+1)2+(22+1+1)112=212+(2 2)2+(2 2)112=2(22)(1+2)12 把 1+2=8(21)1+42,12=162161+42 代入上式，得 1+2=2(22)8(21)16216=1，命题得证.10【答案】解：（）=22=，12+22=1，2=2+2 =2，=2，=222+24=1（）设直线 BD 的方程为 =2+=2+22+2=442+2 2+24=0 =82+64 02 2 0，解得 0，解得 2 0得2 4设(1，1)，(2，2)，则有1+2=2432+4，1 2
20、=3632+4，易知(1，0)，12=111212=11+32+32=12+3112+32=12+3(1+2)3212+32=3632+43 2432+4323632+4+32=363 2432(32+4)36+32(32+4)=1所以12为定值-120【答案】（1）证明：设(，)，由题可知+22=34，所以24+23=1（2）设直线 l 的方程为=+1，(1，1)，(2，2)，联立=+124+23=1，得(32+4)2+69=0，所以1+2=632+4，12=932+4，所以1=11+2，2=222，所以12=11+2222=(22)1(1+2)2=12112+32=932+4(632+42
21、)932+4+32=3+(32+4)29+3(32+4)2=13，所以12为定值（2）解：设1(1，1)，由椭圆的对称性，不妨设 0，1=12(21)(21)=1121，1=12(11)(21)=111，而1=11=(1121)(111)=1(2+1)1=12=932+4=93+492 12=3 34，当2=43，即=2 33时，等号成立，此时 1的面积最大值为3 3421【答案】解：（）设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2=4,2=2 2，所以 =2,=22=2.所以椭圆 C 的方程为 24+22=1.（）（）设(0,0)(0 0,0 0)，由 M(0,m)，可得(0,2),(0,2).所以直
22、线 PM 的斜率 =20=0，直线 QM 的斜率=20=30.此时=3.所以 为定值3.（）设(1,1),(2,2).直线 PA 的方程为 y=kx+m，直线 QB 的方程为 y=3kx+m.联立 =+,24+22=1,整理得(22+1)2+4+224=0.由 01=22422+1，可得 1=2(22)(22+1)0，所以 1=1+=2(22)(22+1)0+.同理 2=2(22)(182+1)0,2=6(22)(182+1)0+.所以 21=2(22)(182+1)02(22)(22+1)0=322(22)(182+1)(22+1)0，21=6(22)(182+1)0+2(22)(22+1)
23、0=8(62+1)(22)(182+1)(22+1)0，所以=2121=62+14=14(6+1).由 0,0 0，可知 k0，所以 6+1 2 6，等号当且仅当 =66 时取得.此时 482=66，即 =147，符号题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为 62.22【答案】（1）解：由题意得=3.又点(3，12)在椭圆：22+22=1上，所以32+142=1，且22=3，所以=2，=1，故椭圆的方程为24+2=1.设点(，)，由(3，0)，(3，0)得=23+2=23+124=3242.又 2，2，所以 2，1（2）解：设过点且斜率为的直线方程为=(3)，联立椭圆方程得(1+42)28 32
24、+1224=0.设两点 M(1，1)N(2，2)，故1+2=8 321+42，12=12241+42.因为1+2=1121 3+2122 3=(12+12)3(1+2)12(1+2)+312 3(1+2)+3，其中12+12=212 3(1+2)=81+42，1+2=2 31+42，故1+2=81+42+61+424 321+42+312241+422421+42+3=2 3所以1+22=3为定值23【答案】（1）解：设椭圆的焦距为2，则42+12=12=2+2=32，解得2=82=22=6故椭圆的方程为28+22=1.（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线：=(2)，(1，1)，(2，2).联立28+22=1，=(2)，整理得(42+1)2162+1628=0，则1+2=16242+1，12=162842+1.因为(2，1)，所以1=1112，2=2122，则1+22=1112+21222=12112+221222=112122=1+24122(1+2)+4=16242+14162842+132242+1+4=1.故1+22为定值-1.
