1、 高三下学期数学5月三模试卷一、单选题1设集合A=x|x1，B=x|0x2，则AB=（）Ax|x1Bx|x2Cx|0x1Dx|0x22已知双曲线x2y2=1的右焦点和抛物线y2=2px的焦点重合，则p的值等于（）A2B2C22D43某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A2cm3B3cm3C73cm3D83cm34Sn是数列an的前n项和，则“数列an为常数列”是“数列Sn为等差数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知a，b，c，dR，2a=3b=log12c=log13d=2，则（）Aab，cdBadCab，cb，cd6已
2、知随机变量X，Y的分布列如下：X10Y2-1P0.50.5P0.50.5则（）AD(X)=3D(Y)BD(Y)=3D(X)CD(X)=9D(Y)DD(Y)=9D(X)7已知函数y=f(x)，x，的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能是（）Af(x)=sinx+12sin2x+13sin3xBf(x)=cosx+12cos2x+13cos3xCf(x)=sin2x+12sinx+13sin3xDf(x)=cos2x+12cosx+13cos3x8如图，在正四面体ABCD中，点E，F分别是棱BC，BD上的点（不含端点），BE=BC，记二面角AEFC的大小为，在点F从点B运动到点D的过程中，
3、下列结论正确的是（）A若=14，则先增大后减小B若=14，则先减小后增大C若=34，则先增大后减小D若=34，则先减小后增大9已知平面向量a，b，c满足ab=bc=ca=1，|a|=1，|b|2，若c=xa+yb，x，yR，则x+y的取值范围是（）A74，1)B73，1)C74，0)D73，0)10设集合X=a1，a2，a3，a4N，定义：集合Y=ai+aj|ai，ajX，i，jN，ij，集合S=xy|x，yY，xy，集合T=xy|x，yY，xy，分别用|S|，|T|表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）A|S|=6B|S|=16C|T|=9D|T|=16二、填空题11已知AR
4、，复数z=a+i1i（i是虚数单位），若zR，则a= ，|z+i|= .12不等式组2xy2xy0y4，表示的可行域的面积等于 ，z=|x|+|y|的最大值是 .13设(x+2)2(x+3)3=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5= ，a5= .14已知函数f(x)=sin(2x+)(212x6，x1 若ff(a)=0，则实数a的值等于 .16勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专
5、家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有 种.（用数字作答）17如图，椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1b10)和C2：x2a22+y2b22=1在相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，B为椭圆C1的上顶点，F2PF1B，且垂足P在椭圆C2上，则e1e2的最大值是 .三、解答题18在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a=1，b=2.（1）若B=4，求角A的大小；（2）求cosAcos(A+6)的取值范围.19如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面ABCD是正方形，M是CD的中点，AD=AE=
6、DE=CG=2，BF=1，EMBD.（1）证明：平面EMG平面ABCD；（2）求直线EF与平面EMG所成角的正弦值.20数列an满足an+1=an，a1=12，nN.（1）证明：0an+12an214；（2）若数列bn满足bn=an+1ananan+1，设数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn34.21如图，已知椭圆：x24+y2=1和圆C：(x4t)2+(y3t)2=25t2(0t12)，直线l：x=4t交圆于上下两点A，B，点P为椭圆的右顶点，PA，PB，PC分别交椭圆于E，F，G，记PA，PB的斜率分别为k1，k2.（1）求k1k2的值；（2）记PFG和PEG的面积分别为S1，S2，若S1
7、=4S2，求t的值.22已知tR，函数f(x)=etxex，g(x)=lnxtx+1.（1）若f(x)0恒成立，求t的取值范围；（2）若方程f(x)=g(x)有两个正实数根x1，x2(x10.（注：e=2.71828是自然对数的底数）答案解析部分1【答案】B2【答案】C3【答案】C4【答案】A5【答案】D6【答案】D7【答案】A8【答案】B9【答案】B10【答案】D11【答案】-1；212【答案】1；813【答案】108；114【答案】3；415【答案】3216【答案】24017【答案】1+2218【答案】（1）解：由正弦定理得：sinA=asinBb=12，0A，所以A=56舍去，所以A=6
8、.（2）解：cosAcos(A+6)=cosA(32cosA12sinA)=34(1+cos2A)14sin2A=34+12(32cos2A12sin2A)=12sin(2A3)+34（或者用积化和差公式一步得到12cos(2A+6)+34）ab，A0)，BD=(2，2，0)，ME=(x1，y2，0)，由|AE|=x2+y2+z2=2|DE|=x2+(y2)2+z2=2BDME=2(x1)+2(y2)=0，得E(0，1，3)，又BF=12AE=(0，12，32)，所以F(2，12，32)，所以EF=(2，12，32)，又BD=(2，2，0)是平面EMG的法向量，所以sin=|cosBD，EF|
9、=|BDEF|BD|EF|=104法三（几何法）：取AE中点N，连BN，ND，因为BF/NE，BF=NE，所以四边形BFEN是平行四边形，所以EF/BN，于是，问题转化为求BN与平面EMG所成角的正弦值，又因为BD平面EMG，所以NBD（或其补角）就是EG与平面EMG所成角的余角，取AD中点O，连EO，OM，则OM/AC/EG，所以E，G，M，O四点共面，又BD平面EMG，所以BDEO，又EOAD，BDAD=D，所以EO平面ABCD，所以EOAB，又ABAD，EOAD=O，所以AB面EAD，所以ABAE，ND=3，BN=5，BD=22，所以cosNBD=104.所以EF与平面EMG所成角的正弦
10、值为104.20【答案】（1）证明：右边：an+12an2=anan2=(an12)2+1414，左边：法一（数学归纳法）：an+1=an，a1=12，nNa2=12，an0当n=1时，a22a12=1214=140假设当n=k时，ak+12ak2=akak20成立即(ak+ak)(akak)0，即akak0成立则当n=k+1时，ak+22ak+12=ak+1ak+12=akak0an+12an20综上所述，00两边同时取对数得：lgan+1=12lgan数列lgan是以首项为lg12，公比为12的等比数列，lgan=lg12(12)n1an=(12)(12)n1数列单调性证明：思路1：由复合
11、函数的单调性，知an单调递增，an+1an0an+12an20；思路2：an+1an=(12)(12)n(12)(12)n1=(12)(12)n1，an+1an0an+12an20；思路3：an=(12)(12)n1(0，1)，an+12an2=an(1an)0；综上所述，0an20，所以1an21an+120，由（1）知0an+12an214所以bn=(an+1ananan+1)2=(an+12an2)2an+12an2=(an+12an2)(1an21an+12)14(1an21an+12)所以b1+b2+b3+bn14(1a121a22)+(1a221a32)+(1a321a42)+(1
12、an21an+12)=14(41an+12)所以Sn14(1an21an+12)=14(41an+12)，又0an+11，所以0an+121，所以Sn34.法二：放缩到等比bn=(anananan)2=an+1an2，bn+1=an+1+1an+12=an+1an2，所以bn+1bn=an+1an2an+1an2=an+1an2(an+1an)2=2an+1an+214，所以bn12(14)n1，所以b1+b2+b3+bn12(14)0+(14)1+(14)2+(14)n1所以Sn121(14)n114230即可，得etxex，得tx1+lnx，t1+lnxx，令(x)=1+lnxx，(x)=
13、lnxx2，则(x)=0，x=1，函数y=(x)在(0，1)递增，(1，+)递减，又(1e)=0，limx(x)0，所以t(x)max=(1)=1.法二：由题意知，考虑x0即可，f(x)=tetxe，当t0时，f(x)0，f(2)=e2t2e0，矛盾，舍去；当0te时，f(x)=0，得x=1lntt，于是f(x)在(0，1lntt)递减，在(1lntt，+)递增，则f(1lntt)0，得e1lnte1lntt0，lntt0，得1tf(0)=10，所以当te时，所以恒有f(x)0，综上所述，t1.法三：由题意得etxex，考虑x0，过原点作y=etx的切线，设切点(x0，y0)，则k=tetx0
14、，又k=etx0x0，得tetx0=etx0x0，所以tx0=1，得k=ex0=te，又题意知tee，得t1.法四：由题意知，令x=1，则ete0，所以t1.下证：当t1时，etxex0.由于g(t)=etxex在t1递增，所以欲证etxex0，只需证exex0，令G(x)=exex，则G(x)=exe，知G(x)=0，x=1，函数G(x)在(0，1)递减，(1，+)递增，故G(x)G(1)=0，证毕.（2）解：（i）令F(x)=f(x)g(x)有两零点x1，x2，令f(x)g(x)=0，etxexlnx+tx1=0，etx+tx=ex+lnex，etx+tx=elnex+lnex，由y=ex
15、+x在R上递增，则tx=lnex，所以上述等价于tx=1+lnx有两零点x1，x2，于是t=1+lnxx，由（1）知，令(x)=1+lnxx，(x)=lnxx2，则(x)=0，x=1，y=(x)在(0，1)递增，(1，+)递减，又(1e)=0，limx(x)0，所以0t0，由f(x1)=g(x1)，f(x2)=g(x2)，令f(x)=0，得etx=ex，得tx=1+lnx，此时等价于g(x)=0，所以f(x)=0等价于g(x)=0，于是t=1+lnxx，由（1）知，令(x)=1+lnxx，(x)=lnxx2，则(x)=0，x=1，函数y=(x)在(0，1)递增，(1，+)递减，又(1e)=0，
16、limx(x)0，所以0t0，只需证t(etx1+etx2)2e+1x1+1x22t0只需证te(x1+x2)2e+1x1+1x22t0，消t得e(x2+x1x2x1lnx2x12)+1x1+1x22lnx2lnx1x2x10，一方面，下证：x2+x1x2x1lnx2x120，等价于证明x2x1+1x2x11lnx2x120，令=x2x1(1)，则等价于证明+11ln20，等价于证明ln21+10，令F()=ln21+1，则F()=(1)2(+1)20，所以F()在(1，+)递增，所以F()F(1)=0，得证.另一方面，再证1x1+1x22lnx2lnx1x2x10，等价于证1x1+1x22l
17、nx2lnx1x2x1，等价于证x22x12x1x22lnx2x1，等价于证x1x2x2x12lnx2x1，等价于证12ln，等价于证2ln+11)，令G()=2ln+1，G()=(1)220，所以G()在(1，+)递减，所以G()0.法二：一方面，f(x1)+f(x2)=tet1+te22e=t(e1+ex2)2e，因为etx1=ex1，etx2=ex2，则etx2etx1tx2tx1=et0，所以f(x1)+f(x2)0，别一方面，g(x1)+g(x2)=1x1+1x22t，因为lnx1+1=tx1，lnx2+1=tx2，所以lnx2lnx1=tx2tx1，由对均知：x2x1lnx2lnx1=1tx2x1，又易证x2x121x1+1x2，所以1x1+1x22t，所以g(x1)+g(x2)0，综上所述，f(x1)+f(x2)+g(x1)+g(x2)0.
