1、2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）入学数学试卷一、单选题（每小题4分，共32分）1（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD2（4分）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（）A平均数是2B众数是1C中位数是3D方差是1.63（4分）函数y的自变量x的取值范围是（）Ax2Bx2且x0Cx0Dx0且x24（4分）如图，一块等腰直角三角形三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，使A、C、B三点共线，那么旋转角的大小是（）A45B90C135D1805（4分）如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线AC与BD相交于点O，
2、且AC6AECD于点E，则AE的长是（）A4BCD56（4分）关于x的一元二次方程x2+mxm20的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D实数根的个数由m的值确定7（4分）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵若这个百分数为x则由题意可列方程为（）A300（1+x）22100B300+300（1+x）22100C300（1+x）+300（1+x）22100D300+300（1+x）+300（1+x）221008（4分）如图抛物线yax2+bx+c（a0）经过点（
3、3，0）且对称轴为直线x1有四个结论：ac0；b24ac0；ab+c0；若mn0，则x1m时的函数值小于x1+n时的函数值，其中正确的结论个数是（）A1B2C3D4二、填空题（每小题4分，共16分）9（4分）与直线y2x3平行，且经过点（2，7）的直线解析式是 10（4分）若将抛物线y2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为 11（4分）已知关于x的方程x2+（2k1）x+k210有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2+x1+x23，求k的值为 12（4分）如图，在ABC中，AC4，A60，B45，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长
4、为 三、解答题（13，14各6分，15题8分，16，17题10分，18题12分，共52分）13（6分）计算：21+（3）0+|14（6分）先化简：，再从2、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值15（8分）如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处（1）求证：AEDF；（2）若BE1，BC3，求CD的长16（10分）某大型文具超市销售的A型画笔和B型画笔都很受消费者的欢迎，其中A型画笔售价24元/支，B型画笔售价16元/支第一周A型画笔的销量比B型画笔多200支，且这两种画笔的总销售额为12800元（1）第一周A型画笔、B型画笔的销量为多少
5、支？（2）由于第一周B型画笔销量较低，该文具超市第二周对B型画笔进行降价促销，经调查发现，若B型画笔每支降价1元，销量可增加40支，在保证B型画笔销量最大的情况下，当B型画笔每支降价多少元时，B型画笔销售额可达到4400元？17（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：yax25ax+c过点M（4，4）（1）求c与a的关系；（2）当c225时，平移抛物线C得到新的抛物线C，使得抛物线C仍然过点M，并且对于C上任意的两点T（x1，y1），S（x2，y2），当x1x20时，总有0，当x2x10时，总有0求抛物线C的解析式；若A，B是抛物线C上两个不同的点，记直线AM：yk1x+b1，直线B
6、M：yk2x+b2，直线AB：ykx+b，当k1+k20时，求证：k为定值18（12分）如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C已知C（0，4），顶点D的横坐标为，B（1，0）对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90得到线段PM（1）求抛物线的解析式；（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ与对称轴交于点N当QPN的面积等于QBC面积的一半时，求点Q的横坐标参考答案与试题解析一、单选题（每小题4分，共32分）1（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD
7、【分析】把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心【解答】解：A是中心对称图形，故此选项符合题意；B不是中心对称图形，故此选项不合题意；C不是中心对称图形，故此选项不合题意；D不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A2（4分）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（）A平均数是2B众数是1C中位数是3D方差是1.6【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可【解答】解：将这组数据重新排列为1，1，1，3，4，所以这组数据的平均数为（1+1+1+3+4）2，中位数为1，众数为1，
8、方差为3（12）2+（32）2+（42）21.6，故选：C3（4分）函数y的自变量x的取值范围是（）Ax2Bx2且x0Cx0Dx0且x2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解【解答】解：由题意得，x+20且x0，解得x2且x0，故选：B4（4分）如图，一块等腰直角三角形三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，使A、C、B三点共线，那么旋转角的大小是（）A45B90C135D180【分析】由等腰直角三角形的性质得ACB45，再根据旋转的性质得ACBACB45，ACA等于旋转角，由于点A、C、B三点共线，则ACB180，即可得出ACA180ACB135
9、【解答】解：三角板ABC为等腰直角三角形，ACB45，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，使A、C、B三点共线，ACBACB45，ACA等于旋转角，点A、C、B三点共线，ACB180，ACA180ACB135，即旋转角为135故选：C5（4分）如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线AC与BD相交于点O，且AC6AECD于点E，则AE的长是（）A4BCD5【分析】根据菱形的性质得到AOAC63，OBBD，ACBD，根据勾股定理得到BO4，求得BD8，根据菱形的面积公式即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是菱形，AOAC63，OBBD，ACBD，AB5，BO4，BD8，S菱形ABC
10、DACBDCDAE，685AE，AE，故选：C6（4分）关于x的一元二次方程x2+mxm20的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D实数根的个数由m的值确定【分析】先计算判别式的值，再配方得到（m+2）2+40，从而可判断方程根的情况【解答】解：m24（m2）m2+4m+8（m+2）2+40，方程有两个不相等的实数根故选：A7（4分）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵若这个百分数为x则由题意可列方程为（）A300（1+x）22100B300+300（1+x）
11、22100C300（1+x）+300（1+x）22100D300+300（1+x）+300（1+x）22100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）22100，故选：D8（4分）如图抛物线yax2+bx+c（a0）经过点（3，0）且对称轴为直线x1有四个结论：ac0；b24ac0；ab+c0；若mn0，则x1m时的函数值小于x1+n时的函数值，其中正确的结论个数是（）A1B2C3D4【分析】利由抛物线的位置可对进行判断；利用抛物线与x轴的交点有两个对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的
12、一个交点坐标为（1，0），代入解析式则可对进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对进行判断【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线交y轴的正半轴，c0，ac0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故错误；抛物线的对称轴为直线x1，而点（3，0）关于直线x1的对称点的坐标为（1，0），ab+c0，故正确；抛物线开口向下，对称轴为直线x1，横坐标是1m的点的对称点的横坐标为1+m，若mn0，1+m1+n，x1m时的函数值小于x1+n时的函数值，故正确故选：C二、填空题（每小题4分，共16分）9（4分）与直线y2x3平行，且经过点（2，7）的直线解析式是 y2x+3【分析】所求直线与
13、直线y2x3平行，可得k2，再将点（2，7）代入即可求解【解答】解：设所求直线方程为：ykx+b，ykx+b与直线y2x3平行，k2，又ykx+b经过点（2，7），所以有722+b，解得b3，所求直线为：y2x+3，故答案为y2x+310（4分）若将抛物线y2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为y2（x5）2+2【分析】根据平移规律，可得答案【解答】解：y2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为y2（x5）2+2，故答案是：y2（x5）2+211（4分）已知关于x的方程x2+（2k1）x+k210有两个实数根x1，x2，若x1，x2
14、满足x1x2+x1+x23，求k的值为 1【分析】计算根的判别式，由题意得关于k的不等式，求解得出k的取值范围；利用根与系数的关系，用含k的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于k的方程，求解即可【解答】解：关于x的方程x2+（2k1）x+k210有两个实数根x1，x2（2k1）24（k21）4k+50，解得kx1+x212k，x1x2k21，x1x2+x1+x23，k21+12k3，即k22k30，k11，k23，k，k1，故答案为112（4分）如图，在ABC中，AC4，A60，B45，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 2+2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到
15、DBDC，根据三角形的外角性质得到ADC90，根据含30角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB【解答】解：DE是BC的垂直平分线，DBDC，DCBB45，ADCDCB+B90，A60，ACD30，ADAC2，由勾股定理得：DC2，DBDC2，ABAD+DB2+2，故答案为：2+2三、解答题（13，14各6分，15题8分，16，17题10分，18题12分，共52分）13（6分）计算：21+（3）0+|【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：21+（3）0+|+41+3+14（6分）先化简：，再从2、0
16、、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案【解答】解：原式，由分式的有意义的条件可知：a不能取2，1，0，a2，原式215（8分）如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处（1）求证：AEDF；（2）若BE1，BC3，求CD的长【分析】（1）由“AAS”可证ADEFCD，可得AEDF；（2）利用勾股定理可求CD的长【解答】解：（1）四边形ABCD是长方形，ADBC，A90，ABCD，AEDCDF，由折叠可知：ADBCCF，在ADE和FCD中，ADEFCD（AAS），AEDF；（2）设CDx
17、，则AEx1，由折叠得：ADCFBC3，ADEFCD，EDCDx，RtAED中，AE2+AD2ED2，（x1）2+32x2，x5，CD516（10分）某大型文具超市销售的A型画笔和B型画笔都很受消费者的欢迎，其中A型画笔售价24元/支，B型画笔售价16元/支第一周A型画笔的销量比B型画笔多200支，且这两种画笔的总销售额为12800元（1）第一周A型画笔、B型画笔的销量为多少支？（2）由于第一周B型画笔销量较低，该文具超市第二周对B型画笔进行降价促销，经调查发现，若B型画笔每支降价1元，销量可增加40支，在保证B型画笔销量最大的情况下，当B型画笔每支降价多少元时，B型画笔销售额可达到4400元
18、？【分析】（1）设第一周A型画笔的销量为x支，B型画笔的销量为y支，根据总价单价数量结合“第一周A型画笔的销量比B型画笔多200支，且这两种画笔的总销售额为12800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设B型画笔每支降价m元，则第二周B型画笔的售价为（16m）元/支，销售量为（200+40m）支，根据销售总额销售单价销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合B型画笔销量要大，即可确定m的值【解答】解：（1）设第一周A型画笔的销量为x支，B型画笔的销量为y支，依题意得：，解得：答：第一周A型画笔的销量为400支，B型画笔的销量为200支（2）
19、设B型画笔每支降价m元，则第二周B型画笔的售价为（16m）元/支，销售量为（200+40m）支，依题意得：（16m）（200+40m）4400，整理得：m211m+300，解得：m15，m26当m5时，200+40m200+405400；当m6时，200+40m200+406440400440，m6答：当B型画笔每支降价6元时，B型画笔销售额可达到4400元17（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：yax25ax+c过点M（4，4）（1）求c与a的关系；（2）当c225时，平移抛物线C得到新的抛物线C，使得抛物线C仍然过点M，并且对于C上任意的两点T（x1，y1），S（x2，y2）
20、，当x1x20时，总有0，当x2x10时，总有0求抛物线C的解析式；若A，B是抛物线C上两个不同的点，记直线AM：yk1x+b1，直线BM：yk2x+b2，直线AB：ykx+b，当k1+k20时，求证：k为定值【分析】（1）将M点坐标代入抛物线的解析式；（2）判断C的对称轴是直线x0，a0，进而求得；设A、B两点的坐标，表示出k1，k2，从而由k1+k20，求出横坐标的数量关系，进而得出k的值【解答】解：（1）把x4，y4代入yax25ax+c得，16a20a+c4，c4a+4；（2）由题意得，c5或5，当c5时，4a+45，a，当c5时，4a+45，a，C的对称轴是直线x0，a0，a，设C的
21、解析式是y+b，+b4，b0，y；设A（m，m2），B（n，），k1，k（m+n），同理类比可得：k2（n+4），k1+k20，m+n8，k（8）2，即k为定值218（12分）如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C已知C（0，4），顶点D的横坐标为，B（1，0）对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90得到线段PM（1）求抛物线的解析式；（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ与对称轴交于点N当QPN的面积等于QBC面积的一半时，求点Q的横坐标【分析】（1）由
22、顶点D的横坐标为，可以设二次函数的顶点式ya，代入点B和C点坐标，得到一个关于a和c的方程组，求解方程组，即可解决；（2）因为线段PA绕着点P顺时针方向旋转90得到线段PM，所以PAPM，APM90，过M作MFPD于F，可以证明APEPMF，设出P点坐标，可以得到M点坐标，将M点坐标代入到抛物线解析式中，即可求出参数，求得M点坐标；（3）设出点Q点坐标，由Q和B点坐标，利用待定系数法求出直线BQ的解析式，得到P点和直线BQ与y轴交点G的坐标，同理，得到CQ的解析式，求出N和C的坐标，用参数表示出线段PN的长度，求出PNQ的面积表达式，同理，得到QBC的面积表达式，利用QPN的面积等于QBC面积
23、的一半，列出方程，即可求解【解答】解：（1）顶点D的横坐标为，设抛物线解析式为：，代入点C和点B的坐标可得，解得，抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为直线x，与x轴的一个交点坐标B为（1，0），抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为（4，0），且E的坐标为（，0），线段PA绕着点P顺时针方向旋转90得到线段PM，PAPM，APM90，过M作MFDE于F，如图1，AEPPFM90，APE+MPFAPE+PAE90，PAEMPF，在APE与PMF中，APEPMF（AAS），AEFP，PEMF，设P（，n），则PEMFn，点M落在抛物线上，或，M（1，0）或（3，4）；（3）x23x+4，可设Q（m，m23m+4），设直线BQ为：yk（x1），代入点Q得，k（m1）m23m+4，km4，直线BQ为：y（m4）x+m+4，同理，直线CQ为：y（m+3）x+4，令x，则y（m4）x+m+4，P（，），同理，N（，），PNm，SQPN，设直线BQ与y轴交于G点，如图2，令x0，则y（m4）x+m+4m+4，G（0，m+4），CG4m4m，SBCQSBCG+SQCG，sQPN，m，Q点的横坐标为18 / 18
