1、高三下学期数学二模试卷一、单选题1已知全集U=2,3,4,5,6,7,集合A=4,5,7,B=4,6,则A(UB)=()A1,2B2C2,5D5,72设x,yR,则“x2+y22x2y+10”是“x+y4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数f(x)=x2ln|x|2的大致图象是()ABCD4耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年,传承耀华力量”的知识竞赛,随机抽取了400名学生进行成绩统计,发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,下列说法正确的是()A直方图中x的值为0.
2、004B在被抽取的学生中,成绩在区间70,80)的学生数为30人C估计全校学生的平均成绩为84分D估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分5设m(0,1),若a=lgm,b=lgm2,c=(lgm)2,则()AabcBbcaCcabDcba6已知某圆锥的底面半径为2,母线长为4,该圆锥有一内接圆柱,要使圆柱的体积最大,则圆柱的底面半径应为()A34B43C53D357如图所示的曲线为函数 f(x)=Acos(x) ( A0 , 0 , |0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AAl,垂足为A,若四边形AAPF的面积为14,且cosFAA=35,则抛物
3、线C的方程为()Ay2=xBy2=2xCy2=4xDy2=8x9已知函数f(x)=1|1x|,0x22f(x2),x2,当x0,8时,函数F(x)=f(x)kx恰有六个零点,则实数k的取值范围是()A(45,1)B(23,45)C23,45)D45,1)二、填空题10复数z=a+2i,aR,若zi+13i为实数,则a= 11(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= 12在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2(62m)x4my+5m26m=0,直线l经过点(1,2),若对任意的实数m,直线l被圆C截得的弦长都是定值,则直线l的方程为 .13已知a,b为正实数,且(a+b)(a+
4、2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值为 .14某志愿者召开春季运动会,为了组建一支朝气蓬勃训练有素的赛会志愿者队伍,欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长,则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 ;若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数,则E(X)= .15如图,在ABC中,AB=a,AC=b,D,F分别为BC,AC的中点,P为AD与BF的交点,且AE=2EB.若BP=xa+yb,则x+y= ;若AB=3,AC=4,BAC=3,则BPED= .三、解答题16在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=b
5、+2c2a.(1)求角A的大小;(2)设b=2,c=3.(i)求a的值;(ii)求cos(2BA)的值.17如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为等边三角形,过A1C作平面A1CD平行于BC1,交AB于点D.(1)求证:点D为AB的中点;(2)若四边形BCC1B1是边长为2的正方形,且A1D=5,求平面A1CD与平面A1B1C1所成的锐二面角的余弦值.18已知直线 l1 : x+y+1=0 与直线 l2 : x+y+3=0 的距离为 a ,椭圆 C : x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为 22 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)在(1)的条件下,抛物线 D : y2=2
6、px(p0) 的焦点 F 与点 (18,2) 关于 y 轴上某点对称,且抛物线 D 与椭圆 C 在第四象限交于点 Q ,过点 Q 作抛物线 D 的切线,求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积. 19设数列an的前n项和为Sn,已知S1=1,Sn+1Sn=n+cn(c为常数,c1,nN),且a1,a2,a3成等差数列(1)求c的值;(2)求数列an的通项公式;(3)若数列bn是首项为1,公比为c的等比数列,记An=a1b1+a2b2+anbn,Bn=a1b1a2b2+(1)n1anbn,nN证明:A2n+3B2n=43(14n)20已知f(x)=alnxxlnx,f(x)为f(x)的导
7、函数.(1)求f(x)在(1,f(1)的切线方程;(2)讨论f(x)在定义域内的极值;(3)若f(x)在(0,+)内单调递减,求实数a的取值范围.答案解析部分1【答案】D2【答案】A3【答案】D4【答案】C5【答案】C6【答案】B7【答案】D8【答案】C9【答案】B10【答案】-311【答案】212【答案】2x+y=013【答案】62114【答案】217;9715【答案】13;4316【答案】(1)解:由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R及cosB=b+2c2a,得2sinAcosB=sinB+2sinC=sinB+2sin(A+B),sinB+2cosAsinB=0,sinB0
8、,cosA=12,A(0,),A=23.(2)解:由余弦定理a2=b2+c22bccosA,b=2,c=3,解得a=19.(ii)解:由cosB=b+2c2a,b=2,c=3,所以cosB=41919,sinB=1cos2B=5719,于是sin2B=2sinBcosB=8319,cos2B=2cos2B1=1319,故cos(2BA)=cos(2B23)=cos2Bcos23+sin2Bsin23=1319(12)+831932=113817【答案】(1)证明:连接AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则E为AC1中点,BC1/平面A1CD,BC1平面ABC1,平面A1CD平面ABC
9、1=DE,DE/BC1,D为AB的中点(2)解:因为AD2+A1A2=5=A1D2,所以A1AAD,又B1BBC,B1B/A1A,所以A1ABC,又ADBC=B,所以A1A平面ABC,设BC的中点为O,B1C1的中点为O1,以O为原点,OB所在的直线为x轴,OO1所在的直线为y轴,OA所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.则C(1,0,0),A1(0,2,3),D(12,0,32),B1(1,2,0),C1(1,2,0),即CD=(32,0,32),CA1=(1,2,3),设平面DA1C的法向量为n=(x1,y1,z1),由nCD=0nCA1=0,得32x1+32z1=0x1+2y1+
10、3z1=0,令x1=1,得n=(1,1,3),由题可知,平面A1C1B1的一个法向量为m可以为,m=OO1=(0,2,0)所以,cosn,m=nm|n|m|=225=55所以,平面A1CD与平面A1B1C1所成的锐二面角的余弦值为5518【答案】(1)解:两平行直线间的距离 d=2 ,a2=2 , 离心率 e=ca=22 ,故 c=1 , b=1 ,椭圆 C 的标准方程为 x22+y2=1(2)解:由题意,抛物线 D 焦点为 F(18,0) ,故其方程为 y2=x2 . 联立方程组 y2=x2x22+y2=1 ,解得 x=1 或 x=2 (舍去),Q(1,22) .设抛物线 y2=x2 在 Q
11、(1,22) 点处的切线为 y=k(x1)22 ,联立方程组 y2=x2y=k(x1)22 ,整理得 2ky2y22k=0 ,由 =0 ,解之得 k=24 ,所求的切线方程为 y=24(x1)22 即是 x+22y+1=0 .令 x=0 ,得 y=24 ;令 y=0 ,得 x=1 .故所求三角形的面积为 S=12241=28 .19【答案】(1)解:S1=1,Sn+1Sn=n+cn,an+1=Sn+1Sn=cnSn,a1=S1=1,a2=cS1=c,a3=c2S2=c2(1+c)a1,a2,a3成等差数列,2a2=a1+a3,即2c=1+c(1+c)2,c23c+2=0解得c=2,或c=1(舍
12、去)(2)解:S1=1,Sn+1Sn=n+2n,Sn=S1S2S1SnSn1=13142n+1n1=n(n+1)2(n2),an=SnSn1=n(n+1)2n(n1)2=n(n2),又a1=1,数列an的通项公式是an=n(nN)(3)证明:数列bn是首项为1,公比为c的等比数列,bn=cn1A2n=a1b1+a2b2+a2nb2n,B2n=a1b1a2b2+a2nb2n,A2n+B2n=2(a1b1+a3b3+a2n1b2n1), A2nB2n=2(a2b2+a4b4+a2nb2n), 式两边乘以c得 c(A2n+B2n)=2(a1b2+a3b4+a2n1b2n)由得(1c)A2n(1+c)
13、B2n=A2nB2nc(A2n+B2n)=2(a2a1)b2+(a4a3)b4+(a2na2n1)b2n=2c+c3+c2n1=2c(1c2n)1c2将c=2代入上式,得A2n+3B2n=43(14n)另证: 先用错位相减法求An,Bn,再验证A2n+3B2n=43(14n).数列bn是首项为1,公比为c=2的等比数列,bn=2n1又an=n(nN),所以A2n=120+221+2n22n1B2n=120221+2n22n1将乘以2得: 2A2n=121+222+2n22n得: A2n=20+21+22n12n22n=1(122n)122n22n,整理得: A2n=4n(2n1)+1将乘以2得
14、: 2B2n=121+222+2n22n整理得: 3B2n=2021+22+22n12n22n=1(122n)1(2)2n22n=14n32n4nA2n+3B2n=43(14n)20【答案】(1)解:f(x)=ax1lnx,f(1)=a1,而f(1)=0,故切线方程为:y0=(a1)(x1)即(a1)xy+1a=0.(2)解:设(x)=f(x),其中x0,则(x)=ax21x=x+ax2,当a0时,(x)0,故(x)在(0,+)上为减函数,故f(x)无极值;当a0,故f(x)在(0,a)上为增函数;若x(a,+),则(x)0,则(x)=lnx+2.令(x)0得x(1e2,+),令(x)0得x(0,1e2),故(x)在(0,1e2)单调递减,(1e2,+)单调递增.所以(x)min=(1e2)=1e2,故a1e2.所以a(,1e2.