1、推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同22000,|0U Mx yxxyy集合 称为点 的空心邻域邻域邻域,|,oU ax xa axx(2)二元函数中，的取值：平面上的邻域22000,|U Mx yxxyy000,Mx y集合 称为 的 空心邻域a集合 称为点 的邻域x),(yx,|U ax axx集合 称为 的 邻域a第一节第一节 多元函数多元函数000,Mx y(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(
2、P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,第一节第一节 多元函数多元函数E(2)若对任意给定的 ,点P 的去心(,)U P邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.所有聚点所成的点集称为 E 的导集导集.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 E 的边界点)22,|12 3Ex yyx，集合221xy内点：；边界点：以及点 聚点：221xy221xy2 3，E第一节第一节 多元函数多元函数D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意
3、两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;第一节第一节 多元函数多元函数第一节第一节 多元函数多元函数n 元有序数组),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,),(21nxxxn 维空间中的每一个元素称为空间中的,nR记作即nRRRRnkxxxxkn,2,1,R),(21kx数称为该点的第 k 个坐标坐标.一个点点,nR当所有坐标时，0kx称该元素为 中的零元,记作 O.第一节第一节 多元函数多元函数2222211)()()(),(nnyxyxyxyx),(21n
4、yyyy与点(,)R,(,)nU ax xx a的距离距离记作,),(yxyx或规定为 与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元.ax 记作中点 a 的 邻域邻域为nR第一节第一节 多元函数多元函数nR12(,)nxx xx中的点nR12(,)nxx xx中的点 长方体的体积 定量理想气体的压强大气污染指数的运算模型,abcV,(为常数）RTRPV 0,0,0),(cbacba0,0),(TTVTV0,0),(yxyx2242xyxyxPxy其中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，y表示单位体积空气中气体污染物的数量.第一节第一
5、节 多元函数多元函数设非空点集,RnD DPPfu,)(或点集 D 称为函数的定义域定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n=3 时,有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作),(21nxxxfu第一节第一节 多元函数多元函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0定义定义 设 n 元函数,R),(nDPPfP0 是 D 的聚记作，时的极限当0)(PPPfAy
6、xfyyxx),(lim00点,若存在常数 A,对一对任意正数 ,总存在正数,0(,),PDU P(),f PA则称 A 为函数都有切第一节第一节 多元函数多元函数一元函数的极限元函数的极限时，有当AxfxxAxfxx)(0,0,0)(limoooo(-0)(0)f xf xAo()(lim0)xxf xA00lim()()0(,),()()0 xxf xAU xf x ()00f xA()00f xA00()kknnax ax()knf aA第一节第一节 多元函数多元函数二元函数的极限二元函数的极限00(1)lim(,)0,0,xxyyf x yA 22000 xxyy当时，有,x y以任何
7、方式趋于 时00 xy，有,f x yA,fx yA00(2)lim lim(,)xxyyf x y00(,)(,)x yxy1fA00lim lim(,)yy xxf x y00(,)(,)x yxy2fA一般地，12AA第一节第一节 多元函数多元函数第一节第一节 多元函数多元函数（1）两边夹法则两边夹法则0(,)(,)0f x yx y求二元函数极限的方法求二元函数极限的方法（2）换元法换元法,xryr xx tyy t或或cossinxryr例如0,00 xyr20000sincoslimlimlim sincos0 xrryrfrr因此第一节第一节 多元函数多元函数第一节第一节 多元函
8、数多元函数证明二元函数极限不存在的方法证明二元函数极限不存在的方法（1）找出两条不同的路径使得点M沿这两条路径 趋向于0M时，f(x,y)极限不相等（2）找一条特殊的路径（y=k x)使得f(x,y)的极限不存在即：011()yx00(,)(,)x yxy沿 有1fA沿 有2()yx2fA12AA00 lim(,)xxyyf x y不存在02(,)yx k沿 有00 lim(,)xxyyf x y不存在00 lim(,)xxyyf x y不存在第一节第一节 多元函数多元函数设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),则有222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx21kk
9、k 值不同极限不同值不同极限不同!),(yxf故在(0,0)点极限不存在.2例例 讨论函数 在 点的极限.22(,)xyf x yxy0 0，解解 0001 lim lim(,)lim 00 xyxf x y000limlim(,)lim00yxyf x y第一节第一节 多元函数多元函数仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但它在(0,0
10、)点二重极限不存在.第一节第一节 多元函数多元函数 定义定义 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处各点处都连续,则称此函数在在 D 上上连续连续.,0DP 聚点如果存在否则称为不连续不连续,0P此时称为间断点间断点.则称 n 元函数连续连续,定义定义 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数多元初等函数.第一节第一节 多元函数多元函数多元函数的连续性多元函数的连续性第一节第一节 多元函数多元函数,0)1(K)()2(Pf,Mm*(4)f(P
11、)必在D 上一致连续.;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的性质闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的性质(证明略)第一节第一节 多元函数多元函数第一节第一节 多元函数多元函数1.平面点集、平面点集、n维空间维空间第一节第一节 多元函数多元函数2.多元函数3.极限求极限两边夹换元证明极限不存在4.连续(2)(,)zfx y：偏 导 数00000()()d(1)()limdxf xxf xyf xxxxx：导数0000000(,)(,)(,)limx
12、xf xx yf xyfxyx 0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy 0(,)(,)(,)limxxf xx yf x yfx yx 第二节第二节 偏导数偏导数偏导数的概念及计算偏导数的概念及计算0000000(,)(,)(1)(,)limxxf xx yf xyfxyx 存在(2).对一个变量求偏导,相当于将其他变量当作常数 时的导数(3),.可导连续 偏导连续000(4),(,),0f xy分子后一项为分子中某一自变量差 为分母.注：注：00000(,)(,)limxf xx yf xyx 第二节第二节 偏导数偏导数第二节第二节 偏导数偏导数第二节第二节 偏
13、导数偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，22()(,);x xzzfx yxxx)(yzx)(xzy 22()(,)y yzzfx yyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:yxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy()()x yyxfx,yfx,yD若和都在区域连续,则(,)(,)x yy xfx yfx y第二节第二节 偏导数偏导数高阶偏导数高阶偏导数第二节第二节 偏导数偏导数00(0,)(0,0)(0,0lim1)limxxyyx yfyfyyyf 42
14、2422222224,0(,)()0,0yxx yyxxyfx yxyxy422422222224,0(,)()0,0 xxx yyyxyfx yxyxy00(,0)(0,0)(0,0)limlim1yyy xxxfxfxfxx22222222(0,0),(0,0(,).0,0,0)xyyxxyx yxyf x yxyxffy，求，第二节第二节 偏导数偏导数解解例例222222,.,.,zzzzxx yyy x 定义 偏导存在的充要条件偏导数的计算(定义,公式).偏导偏导 极限 连续三者的关系高阶偏导第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分定义定义 如果函数 z=f (x,y)在定
15、义域 D 的内点(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于 x,y仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分全微分,记作yBxAfzdd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.A xB y 若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点偏导数yzxz,dzzzxyxy 必存在,且有(,)(,)xzf xx yf x y xz同样可证,Byzyyzxxzzd证证 由全增量公式,)(oyBxAz,0y令)(xoxA得到对 x 的偏增量因
16、此有 xzxx0limA注注:偏导数存在函数不一定可微!第三节第三节 全微分全微分第三节第三节 全微分全微分(,)(,)zf xx yyf x y)()(lim0oyBxA 函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则函数在该点连续.00lim(,)(,)xyfxx yyfx y zyx00lim0即证证 第三节第三节 全微分全微分例例 讨论函数因此,函数在点(0,0)不可微.)(o)0,0()0,0(yfxfzyx22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0),(yxf2222,0,xyxyxy0,022 yx在点（0,0）的可微性.00(,0)(0,0)(1)(0,0)l
17、im0(0,)(0,0)(0,0)lim0 xxyxf xffxfyffy解解(2)第三节第三节 全微分全微分注：在函数可微分的条件下，各偏导数未必连续注：在函数可微分的条件下，各偏导数未必连续.222222221()sin,0,(,)0,0(0,0)xyxyxyzf x yxy讨论在点处,连续,可微,偏导及偏导连续性.例例22001sin(,0)(0,0)(1)(0,0)limlim0(0,0)0 xxxyxf xfxfxxf解解2200(2)0(,)0,(0,0)lim(,)0(0,0)xyf x yxyxyf x yf第三节第三节 全微分全微分22220000(0,0)(0,0)(,)(
18、0,0)(3)limlimxyxxyyzfxfyfxyfxyxy222222222111(4)2 sin()cos(2)()zxxyxxxyxyxy222222001()sinlim0 xyxyxyxy2222221212 sincosxxxyxyxy2222000021lim0limcosxxyyzxyxxxyxy沿不存在,即不连续.第三节第三节 全微分全微分证证),(),(yxfyyxxfz)1,0(21yyyxfy),(2xyyxxfx),(1 ),(yyxxf),(yyxf),(yxf),(yyxf 若函数yzxz,),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.xyx
19、fx),(yyxfy),(0lim00yx,0lim00yx第三节第三节 全微分全微分zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz),(yxyx在点可微.0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o第三节第三节 全微分全微分)(),(ttfz定理定理 若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztzdddddd则复合函数且有链式法则zvutt证证 设 t 取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o有增量u,v,则相应中间变量1.中间变量为一元函数第四节第四节 多元复合
20、函数的微分法多元复合函数的微分法 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则,0t令,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分微分法法 若中间变量多于两个.例如(,)zf u v wtzddtuuzddtvvzddtwwzddzwvuttt2222222ddddd()dddddzzuzvuzututu vttut 二阶导数：22222dddd()ddddzvzvvzvv ut
21、vttvt 2111212dddd()dddduvuuffftttt2212222dddd()ddddvvvvffftttt第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 2.中间变量为多元函数zvuyxyx:(,),(,),(,)zz u vuu x yvv x y若xzyzxuuzxvvzyuuzyvvz222222222222()()zzuzvuzuxuxu vxxuxzuzvvzvv uxvxxvx 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 zvuxyxzxuuzxvvzyzyuuz3.特殊型(,),(,),()zz u vuu x yvv x例 若:(,),(,
22、),(,),(,)zz u v w uu x y vv x y ww x y若zzuzvzwyuyvywyzzuzvzwxuxvxwx第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 多元复合函数全微分
23、多元复合函数全微分第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的微分法微分法 ddxyFyxF(隐函数求导公式)具有连续的偏导数;则方程00),(xyxF在点的某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足定理定理 设函数),(00yxP),(yxF在点;0),(00yxF0),(00yxFy单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续满足条件导数第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法一个方程的情形一个方程的情形定理证明从略，求导公式推导如下0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的
24、隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法若 的二阶偏导数也都连续,则还有22d()dd()dxxyyFFyxyxFyFx22()xyyy yxxxxyyxyyyxF FF FFF FF FFFF2232xxyx yxyy yxyF FF F FFFF(,)F x y第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法若函数),(000zyxP),(zyxF,yxzzFFzzxFyF 的某邻域内具有连续偏导数,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数 z
25、=f(x,y),满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFxzFzxF yzFzyF 同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFzx00),(000zFzyx的某邻域内在定理证明从略,仅就求导公式推导如下:第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF(,)(,)uu x yvv x y由 F
26、、G 的偏导数组成的行列式(,)(,)uvuvFFF GJGGu v称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法方程组的情形方程组的情形,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏导数；设函数),(0000vuyxP),(,),(vuyxGvuyxF则方程组(,)0,(,)0F x y u vG x y u v),(00yx在点的单值连续函数(,),(,),uu x yvv x y且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG,)
27、,(000yxuu),(000yxvv 第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxFGyyFGxxFGyyFG第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法定理证明略.推导偏导数公式如下:0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxu
28、u设方程组0,uvuvFFJGG在点P 的某邻域内uxvxuxvxxFuFvF0 xGuGvG0故得系数行列式第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法设函数在点(u,v)的某一),(,),(vuyyvuxx0),(),(vuyx(1)证明函数组),(),(vuyyvuxx(x,y)的某一邻域内.),(,),(yxvvyxuu(2)求),(,),(yx
29、vvyxuu解解 (1)令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导,得uy01uxvxuxvxvy则有(,)(,)0,(,)(,)F Gx yJu vu v由前面定理 可知结论(1)成立.(2)求反函数的偏导数.uxvx第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法,0J注意vyvxJ011uxvx,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组
30、解得同理,式两边对 y 求导,可得,1vxJyuuxJyv1第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.过
31、点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停第六节第六节 多元函数微分学在几何多元函数微分学在几何中中的应用的应用空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面:(),(),()xtytztzzzyyyxxx000,t上述方程之分母同除以得令,0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0t:的方程割线MMTMMM第六节第六节 多元函数微分学在几何多元函数微分学在几何中中的应用的应用)(00 xxt此处要求)(,)
32、(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.)()(00yyt0)(00zzt如个别为0,则理解为分子为 0.不全为0,)(,)(,)(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数)(,)(,)()(ttttr,则 为 r(t)的矢端曲线,0t而在处的导向量)(,)(,)()(0000ttttr就是该点的切向量.Mo)(trT第六节第六节 多元函数微分学在几何多元函数微分学在几何中中的应用的应用第六节第六节 多元函数微分学在几何多元函数微分学在几何中中的应用的应用2.2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线(,)0:(,)0F
33、 x y zG x y z当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxM,且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 时,可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100 xxT第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)
34、(0 zzMMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF0)(),(),(0zzMyxGF第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用:(,)0 F x y z 设 有光滑曲面通过其上定
35、点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(,)(,)(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则 在:(),(),(),xtytzt且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.)(,)(,)(000tttT第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线MT在 上,:(),(),()xtytzt0)(,)(,)(tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),(000zyxFx),(00
36、0zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为n法向量的平面上,从而切平面存在.n第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用)(),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)(),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(,),(,),(000000000zyxFz
37、yxFzyxFnzyx第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用)(),(000 xxyxfx曲面时,),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用000(,)xyz有在点,法向量法向量用2211cosyxff将),(,),(0000yxfy
38、xfyx,yxff表示法向量的方向角,并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1)参数式情况.():()()xtytzt空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0)(00zzt)(,)(,)(000tttT第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用切线方程法
39、平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线(,)0:(,)0F x y zG x y zMzyGF),(),(切向量2)一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用空间光滑曲面:(,)0 F x y z 曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)(),()(),(00000
40、000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2.2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx法向量法向量第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用空间光滑曲面:(,)zf x y)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx22cos,1xxyfff2)显式情况.方向余弦方向余弦22221cos,cos11yxyxy
41、fffff法向量法向量)1,(yxffn第六节第六节 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用),(zyxPP(,)P xx yy zzxyzxyz222|ppxyz,cosx,cosycosz第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度定义定义 若函数),(zyxff0lim则称lf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:l),(zyxPP记作记作 lf第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数方向导数,)
42、,(),(处可微在点若函数zyxPzyxf则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,coscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证证 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff且有 coscoscoszfyfxf)(o在点 P 可微,得),(zyxPlPflf0lim故coscoscoszfyfxf第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度二元函数,),(yxf为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxxflf特别特别:当 l 与 x 轴同向有时,2,0
43、 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflf向角Plxyolxy第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度梯度梯度,fadrg即同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f(P)在点
44、P 处的梯度fadrgzfyfxf,kzfjyfixf在点处的梯度 G说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度2.梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),(,)zf x yxOyzC在面上的投CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线.,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf)(321ccc设P同样,对应函数,),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为.gradPf,),(yx
45、fz 对函数指向函数增大的方向.第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度曲线0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度1.方向导数方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向
46、 l(方向角为yfxfcossin第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度2.2.梯度梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx3.3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度xyz定义定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yx
47、fyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值二元函数的极值二元函数的极值说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如定理定理(必要条件)函数偏导数,证证 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yx
48、fz 0yy yxz 第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值时,具有极值定理定理(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值第八节第八节 多元函
49、数的极值与最值多元函数的极值与最值第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值1.1.条件极值条件极值:函数满足若干条件(约束方程)的极值.2.2.条件极值的求法条件极值的求法:方法方法(1):化为无条件极值化为无条件极值.例如例如:,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz 求一元函数的无条件极值问题)(,(xxfz)(0),(xyyx 中解出从条件代入(,)zf x y第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法方法方法(2):例如例如:,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz 则问题等价于一元函数可确定隐函数
50、的极值问题,极值点必满足设 记0),(yx,)(xy)(,(xxfz故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值引入辅助函数0 xxxfF0yyyfF0F极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:(,)(,)(,)F x yf x yx y求出F的驻点 ,在进一步判断是否为极值点及其类型.000(,)xy第八节第八节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值推广：多个自变量和多个约束条件的情形推广：多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件
