1、第六章第六章 特征值与特征向量特征值与特征向量第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量及计算一、矩阵的特征值与特征向量及计算定义定义 设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，阶方阵，如果存在数如果存在数 和非和非零的零的 n 维列向量维列向量 ，使得使得A 则称数则称数 为矩阵为矩阵 A 的一个的一个特征值特征值，并且称非零向量并且称非零向量 为矩阵为矩阵 A 属于特征值属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量 显然，一个特征向量只能属于一个特征值，从显然，一个特征向量只能属于一个特征值，从而，特征值由特征向量所唯一决定；但是，特征而，特征值由特征向量所
2、唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的向量却不是由特征值唯一决定的 定义定义2设设 是一个是一个 n 阶方阵，阶方阵，()ijaA将以将以 为未为未知数的多项式知数的多项式 111212122212()nnnnnnaaaaaafaaaAEA称为矩阵称为矩阵 A 的的特征多项式特征多项式，这是一个一元这是一个一元 n 次多次多项式；项式；将将()0fAEA称为矩阵称为矩阵 A 的的特征方程特征方程；将矩阵将矩阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaEA称为矩阵称为矩阵 A 的的特征矩阵特征矩阵 是是 n 阶方阵阶方阵 A 的特征值的充分必要条件为的特征值的充分必要条件
3、为是是 A 的特征多项式的特征多项式()fAEA的根的根求一个方阵的特征值和特征向量的具体步骤：求一个方阵的特征值和特征向量的具体步骤：1）求出方阵）求出方阵 A 的特征多项式的特征多项式()fAEA的全部根，的全部根，即特征方程即特征方程 的全部解，的全部解，()0fA这就是这就是 A 的全部特征值；的全部特征值；2）对于每个特征值）对于每个特征值 ，0求出齐次线性方程求出齐次线性方程组组0()0EA X的所有非零解，的所有非零解，我们只需求出上面方程组的一个基我们只需求出上面方程组的一个基础解系础解系 12,s 从而从而 1122sskkk（不同时为零）不同时为零）12,sk kk即为属于
4、特征值即为属于特征值 的所有特征向量的所有特征向量 0例例1求矩阵求矩阵 2114A的特征值和特征向量的特征值和特征向量例例2求矩阵求矩阵110143031 A例例3求上（下）三角矩阵以及对角矩阵的特征值求上（下）三角矩阵以及对角矩阵的特征值 的特征值和特征向量的特征值和特征向量 二、矩阵的特征值与特征向量的性质二、矩阵的特征值与特征向量的性质 定义定义3设设 n 阶方阵阶方阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA将将 A 的主对角线上元素的和的主对角线上元素的和 11221niinniaaaa称为方阵称为方阵 A 的的迹迹，记为记为 tr(A)定理定理1设设 n 阶方阵阶
5、方阵 A 在复数域内的在复数域内的 n 个特征值分个特征值分别为别为 ，12,n 则有则有1）；12tr()nA2）12|n A推论推论设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，阶方阵，则则 A 是可逆矩阵的是可逆矩阵的充分必要条件是充分必要条件是 A 的特征值均为非零数的特征值均为非零数 定理定理2相似矩阵具有相同的特征值相似矩阵具有相同的特征值 推论推论相似矩阵具有相同的行列式和迹相似矩阵具有相同的行列式和迹定理定理3互为转置的两个矩阵具有相同的特征值互为转置的两个矩阵具有相同的特征值 对一个对一个 n 阶方阵阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多我们也可以定义矩阵的多项式项式 设设 1110()s
6、sssxa xaxa xa是一个以是一个以 x 为未知量的为未知量的 s 次多项式，次多项式，常数，常数，01,sa aa为为且且 0sa 规定矩阵规定矩阵 A 的多项式为的多项式为 1110()ssssaaaaAAAAE显然，显然，一个一个 n 阶方阵阶方阵 A 的多项式仍然为一个的多项式仍然为一个 n 阶方阶方阵阵定理定理4设设 是矩阵是矩阵 A 的特征值，的特征值，是是 A 属于属于 的的 特征向量，特征向量，则有则有 1）对于任意的常数）对于任意的常数 k，是是 A 的特征值，的特征值，k且且 是是 kA 属于属于 的特征向量；的特征向量；k2）对于任意的正整数）对于任意的正整数 m，
7、是是 的特征值，的特征值，mmA且且 是是 属于属于 的特征向量；的特征向量；mA m3）对于）对于 ，10()ssxa xa xa 是是()()A4）当）当 A 是可逆矩阵时，是可逆矩阵时，的特征值，的特征值，且且 是是 属于属于 的特征向量；的特征向量；()()A 是是 的特征值，的特征值，11A且且 是是 属于属于 的特征向量的特征向量11A 例例4设设 A 是一个是一个 4 阶方阵，阶方阵，且且 2,-1,1,3 为为 A 的的特征值特征值）求）求 A 的伴随矩阵的伴随矩阵 的特征值；的特征值；*A）求）求 的特征值的特征值 3222AAAE定理定理5设设 是矩阵是矩阵 A 的互不相同
8、的的互不相同的 s 个个12,s 特征值，特征值，为分别与之对应的特征向量，为分别与之对应的特征向量，12,s 则则 线性无关线性无关12,s 换句话说，换句话说，属于不同特征值的特征向量线性无属于不同特征值的特征向量线性无关关例例5设设 和和 为矩阵属于不同特征值的特征向量，为矩阵属于不同特征值的特征向量，1 2 则则 不是属于任何特征值的特征向量不是属于任何特征值的特征向量 12 定理定理6（哈密尔顿（哈密尔顿-凯莱定理）凯莱定理）设设 是一个是一个 n()ijaA阶方阵，阶方阵，()fAEA是的特征多项式，是的特征多项式，则有则有()f,AAO右端的右端的 O 为为 n 阶零矩阵阶零矩阵
9、即为即为11122()(1)|nnnnnaaa.AAA EO第二节第二节 线性变换的特征值线性变换的特征值 与特征向量与特征向量一、线性变换的特征值与特征向量及计算一、线性变换的特征值与特征向量及计算 定义定义4设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是 V 上的一个线性变换上的一个线性变换如果存在数域如果存在数域 F 中的一个中的一个数数 与线性空间与线性空间 V 中一个非零向量中一个非零向量 ，则称数则称数 为线性变换为线性变换 的一个的一个特征值特征值，使得使得()并且称非并且称非零向量零向量 为线性变换为线性变换 属于特征值属于特征值 的一个的一个特征特征 向
10、量向量特征值由特征向量所唯一决定；特征值由特征向量所唯一决定；但是，但是，特征特征向量却不是由特征值唯一决定的向量却不是由特征值唯一决定的定理定理7设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，向向量组量组 是是 V 的一组基，的一组基，12,n 是是 V 上的一个线上的一个线性变换，性变换，矩阵矩阵 A 为为 在基在基 下的矩阵表示下的矩阵表示 12,n 则则1）数）数 是线性变换是线性变换 的一个特征值的充分必要的一个特征值的充分必要条件是条件是 是矩阵是矩阵 A 的特征值；的特征值；2）当）当 是是 的一个特征值时，的一个特征值时，为为 属于属于 的的 一个特
11、征向量的充分必要条件是一个特征向量的充分必要条件是 在基在基 12,n 下的坐标向量为下的坐标向量为 A 属于属于 的一个特征向量的一个特征向量线性变换的矩阵表示的特征值与基的选取无关线性变换的矩阵表示的特征值与基的选取无关 于是，于是，通常也将线性变换通常也将线性变换 的矩阵表示的矩阵表示 A 的特征多的特征多项式和特征方程，项式和特征方程，特征方程特征方程称为线性变换称为线性变换 的的特征多项式特征多项式和和求线性空间求线性空间 V 上一个线性变换上一个线性变换 的特征值与特的特征值与特征向量的具体步骤如下：征向量的具体步骤如下：1）在）在 V 中取定一组基中取定一组基 ，12,n 写出写
12、出 在这在这组基下的矩阵表示组基下的矩阵表示 A，即即 A 满足满足 1212(,)(,)nn;A2）求出矩阵）求出矩阵 A 的特征多项式的特征多项式()fAEA在数域在数域 F 中全部根，中全部根，这就是的全部特征值；这就是的全部特征值；3）对于每个特征值）对于每个特征值 ，0求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组 0()0EA X的一个基础解系的一个基础解系 ，12,s 从而从而 1122sskkk（不同时为零）不同时为零）12,sk kk即为矩阵即为矩阵 A 属于特征值属于特征值 的所有特征向量的所有特征向量 0T12(,),iiiniaaa 1,2,.is不妨设不妨设 由于由于 ，12,
13、nsF 令令 121212(,)(,)iiinininaaa 1122iininaaa则则 1 122sskkk（不同时为零）不同时为零）12,sk kk即为线性变换即为线性变换 属于特征值属于特征值 的所有特征向量的所有特征向量 0例例6设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，k（任意的数）是任意的数）是 V 上的数乘变换，上的数乘变换，kF即即(),.kkV 试写出试写出 的特征值和特征向量的特征值和特征向量 k例例7设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 3 维线性空间，维线性空间，量量 是是 V 的一组基，的一组基，123,向向 是是 V 上一个
14、线性变上一个线性变换，换，满足满足 1122123323(),()43,()3.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量 则有则有 1）对于任意的常数）对于任意的常数 k，且且 2）对于任意的正整数）对于任意的正整数 m，是是 的特征值，的特征值，mm且且 是是 属于属于 的特征向量；的特征向量；m m3）对于）对于 ，10()ssxa xa xa 是是()()的特征值，的特征值，且且 是是 属于属于 的特征向量；的特征向量；()()定理定理8设设 是线性变换是线性变换 的特征值，的特征值，的特征向量，的特征向量，是是 属于属于 是是 的特征值，的特征值，kk是是 属于属于 的特征向量；的特
15、征向量；kk二、线性变换的特征值与特征向量的性质二、线性变换的特征值与特征向量的性质 是是 的特征值，的特征值，11且且 是是 属于属于 的特征向量的特征向量11 4）当）当 是可逆矩阵时，是可逆矩阵时，s 个特征值，个特征值，为分别与之对应的特征向为分别与之对应的特征向12,s 则则 线性无关线性无关12,s 定理定理9设设 是线性变换是线性变换 的互不相同的的互不相同的12,s 量，量，定理定理10（哈密尔顿凯莱定理）（哈密尔顿凯莱定理）设设 是是 n 维线性空维线性空间间 V 上的一个线性变换，上的一个线性变换，1110()nnnfaaaA是是 的特征多项式，的特征多项式，即为即为 的矩
16、阵表示的矩阵表示 A 的特征多的特征多项式项式 则有则有 1110()0nnnfaaaA右端的右端的 0 为为 V 上的零变换上的零变换 例例8设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，是是 V 上的两个可逆的线性变换上的两个可逆的线性变换,证明：证明：和和 具具有相同的特征值有相同的特征值 第三节第三节 矩阵与线性变换的对角化矩阵与线性变换的对角化一、对角化的条件一、对角化的条件 1矩阵的对角化矩阵的对角化 定义定义5对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，如果如果 A 与一个对角矩阵与一个对角矩阵 12nD相似，相似，即存在一个即存在一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵
17、P，使得使得 1,P APD则称则称 A 是是可对角化可对角化的，的，并称并称 P 是相应于是相应于 A 的的相似变相似变换矩阵换矩阵（10）如果如果 A 是可对角化的，是可对角化的，且与且与 A 相似的对角矩阵相似的对角矩阵 D 如（如（10）所示，）所示，那么，那么，由于相似矩阵具有相同的由于相似矩阵具有相同的特征值，特征值，1122,nn也是也是 A 的全部特征值的全部特征值 若不考虑若不考虑 的顺序，的顺序，12,n D 是唯一确定的是唯一确定的 因此，因此，也称对角矩阵也称对角矩阵 D 为为 A 的的相相似标准形似标准形 根据例根据例3，对角矩阵对角矩阵 D 的特征值即为主对角线的特
18、征值即为主对角线上的元素，上的元素，1122,nn为为 D 的全部特征值的全部特征值 即即 定理定理11设设 A 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵 那么那么 A 是可对角化是可对角化的的充分必要条件是的的充分必要条件是 A 存在存在 n 个线性无关的特征向个线性无关的特征向量量 推论推论设设 A 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵 如果如果 A 存在存在 n 个互不个互不相同的特征值，相同的特征值，那么那么 A 是可对角化的是可对角化的 定理定理12设设 是是 n 阶方阵阶方阵 A 的的 s 个互不相同个互不相同12,s 的特征值，的特征值，无关的特征向量，无关的特征向量，12,iiiir 是是 A
19、 的属于特征值的属于特征值 的线性的线性i12111212122212,;,;,srrsssr 是线性无关的是线性无关的 那么向量组那么向量组 1,2,.is例例9判断矩阵判断矩阵001111100A是否可以对角化；是否可以对角化；如果可以对角化，如果可以对角化，求出与求出与 A 相似相似的对角矩阵的对角矩阵 D 及相似变换矩阵及相似变换矩阵 P 例例10说明例中的矩阵说明例中的矩阵 2114A不可以对角化不可以对角化 2线性变换的对角化线性变换的对角化定义定义6设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是 V上的一个线性变换上的一个线性变换 如果如果 在在 V 的一组
20、基下的矩阵的一组基下的矩阵表示是可对角化的，表示是可对角化的，则称则称 是是可对角化可对角化的的 定义定义6 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是 V上的一个线性变换上的一个线性变换 如果如果 在在 V 的某组基下的矩阵的某组基下的矩阵表示为一个对角矩阵，表示为一个对角矩阵，则称则称 是是可对角化可对角化的的 定理定理13设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是 V上的一个线性变换上的一个线性变换 那么那么 是可对角化的充分必要是可对角化的充分必要条件是条件是 存在个线性无关的特征向量存在个线性无关的特征向量 推论推论设设 V 是数域
21、是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是 V 上上的一个线性变换的一个线性变换 如果如果 存在存在 n 个互不相同的特征个互不相同的特征值，值，那么那么 是可对角化的是可对角化的 的特征值，的特征值，无关的特征向量，无关的特征向量，12111212122212,;,;,srrsssr 是线性无关的是线性无关的 那么向量组那么向量组 1,2,.is定理定理14设设 是线性变换是线性变换 的的 s 个互不相同个互不相同12,s 12,iiiir 是是 的属于特征值的属于特征值 的线性的线性i例例11设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 3 维线性空间，维线性空间，123,是是
22、V 的一组基，的一组基，是是 V 上一个线性变换，上一个线性变换，满足满足 11322313()2,(),()2.判断判断 是否为可对角化的；是否为可对角化的；如果是可对角化的，如果是可对角化的，求相应的基及在此基下的矩阵表示求相应的基及在此基下的矩阵表示 二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化定义定义7如果一个矩阵的元素均为复（实）数，如果一个矩阵的元素均为复（实）数，则则称这个矩阵为称这个矩阵为复复（实实）矩阵矩阵；如果一个向量如果一个向量同样，同样，的分量均为复（实）数，的分量均为复（实）数，则称这个向量为则称这个向量为复复（实实）向量向量 定义定义8设设 是一个复矩阵是一个复矩阵
23、()ijaA将将 称为称为()ijaA A 的的共轭矩阵共轭矩阵，其中其中 是是 的共轭复数的共轭复数 ijaija相应地，相应地，我们称我们称 为为 n 维向量维向量T12(,)na aa T12(,)na aa 的的共轭向量共轭向量，其中其中 是是 的共轭复数的共轭复数 iaia容易验证，容易验证，矩阵的共轭运算满足如下规律：矩阵的共轭运算满足如下规律：1）；kkAA2）；ABAB4）；TTAA5）；TTT()ABB A6）；|AAABAB3）；7）如果）如果 A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，则则 11()AA其中其中 A,B 是任意复矩阵，是任意复矩阵，k 是任意复数是任意复数 性质性质设设
24、 是一个是一个 n 维复向量维复向量 则则 ，T0 并且，并且，只有只有 时，等号才成立时，等号才成立 0 定义定义9设设 和和 是是 n 维维T12(,)na aa T12(,)nb bb 实向量实向量 将将 12T121 122(,)nnnnbba aaaba ba bb 称为向量称为向量 与与 的内积，的内积，记为记为 (,)并且，并且，(,)0 当当时，时，我们称我们称 与与 正交正交 根据定义可以得到实向量的内积满足：根据定义可以得到实向量的内积满足：1）；(,)(,)2）；(,)(,)(,)3）；(,)(,)kk 4），(,)0 只有当只有当 时，时，0 等号才成立，等号才成立，其
25、中其中 ，,n R RkR R定义定义10设设 是一个是一个 n 维实向量维实向量 T12(,)na aa 将将(,)称为向量称为向量 的的长度长度 当当 时，时，1 称为称为单位向量单位向量 如如果向量组果向量组 中的向量两两正交，中的向量两两正交，12,s (,)0,ij ,ij,1,2,.i js即即 则称此向量组为则称此向量组为正交向量组正交向量组；如果一个正交向量组如果一个正交向量组中的每个向量中的每个向量 ，都是单位向量，都是单位向量，i 1,2,is即即 0,(,)1,.ijijij 则称此向量组为则称此向量组为规范正交向量组规范正交向量组 定义定义11设设 是是 s 个个 n
26、维非零实向量维非零实向量 12,s 定理定理16设设 是任意是任意 s 个个 n 维线性无关的维线性无关的12,s 实向量，实向量，则存在一个含有则存在一个含有 s 个个 n 维向量规范正交组维向量规范正交组 与与 向量组等价向量组等价 12,s 12,s 定理定理17设设 A 是一个实对称矩阵是一个实对称矩阵 则则 A 的特征值均的特征值均为实数，为实数，且对应的特征向量可以取成实向量且对应的特征向量可以取成实向量 定理定理18实对称矩阵实对称矩阵 A 属于不同特征值的实特征向属于不同特征值的实特征向量是正交的量是正交的定理定理15设设 是是 s 个个 n 维实向量构成的正维实向量构成的正12,s 交向量组交向量组 则则 是线性无关的是线性无关的 12,s 定理定理19设设 A 是一个是一个 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，则存在一个则存在一个 n 阶正交矩阵阶正交矩阵 Q，使得使得 12TnQ AQ推论推论设设 A 是一个是一个 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，是是 A 的的 r 重重0特征根，特征根，则则 A 存在存在 r 个属于特征值个属于特征值 的线性无关的的线性无关的0特征向量特征向量例例12设设 102010201A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 Q，使得使得1Q AQ为对角矩阵为对角矩阵
