1、例题：已知数列an满足a1=0,a2=1,an+2=an+1+12an(nN*,R)（1） 若bn=an+1+an，试问是否存在实数，使得数列bn是等比数列？若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由。（2） 在（1）的条件下，求数列an的通项公式。解析：假设存在实数，使得数列bn是等比数列，则b22=b1b3由已知得b1=1,b2=+1,b3=2+12,所以(+1)2=2+12，可得=-12bn+1bn=an+2+an+1an+1+an=-12an+1+12an+an+1an+1+an=12所以数列bn是以12为公比的等比数列（3） bn=an+1+an=(12)n-1解法一： an+1+an
2、=(12)n-1，an+2+an+1=(12)n所以an+2-an=-(12)nn为奇数， a3-a1=-(12)1a5-a3=-(12)3a7-a5=-(12)5 an-an-2=-(12)n-2叠加得an=0-121-123-125-12n-2=-12(1-(14)n-12)1-14=-23(1-(12)n-1)n为偶数， a2=1a4-a2=-(12)2a6-a4=-(12)4 an-an-2=-(12)n-2叠加得an=1-122-124-12n-2=1-(12)2(1-(14)n-22)1-14=1-13(1-(12)n-2)所以an=-23+13(12)n-2 n为奇数23+13(
3、12)n-2 n为偶数 nN*解法二：因为an+1+an=(12)n-1n为奇数，Sn=a1+a2+a3+a4+a5+an-1+an=0+121+123+125+12n-2=12(1-(14)n-12)1-14=23(1-(12)n-1)n为偶数，Sn=a1+a2+a3+a4+an-1+an=120+122+124+12n-2=1*(1-(14)n2)1-14=43(1-(12)n)n为奇数 an=Sn-Sn-1n2 =23(1-12)n-1-43(1-(12)n-1) =-23+13(12)n-2n=1,a1=0符合n为偶数 an=Sn-Sn-1 =43(1-12)n-23(1-(12)n-
4、2) =23+13(12)n-2所以an=-23+13(12)n-2 n为奇数23+13(12)n-2 n为偶数 nN*解法三： an+1+an=(12)n-12n+1an+1+2n+1an=4令cn=2nancn+1+2cn=4cn+1-43=-2(cn-43)数列cn-43是等比数列cn-43=-43*(-2)n-12nan=43-43*(-2)n-1所以an=13*(12)n-2-(-1)n-123变式：数列an满足a1=-23,an+1+an=2n-44，求数列an的通项公式解法一： an+1+an=2n-44， an+2+an+1=2n-42所以an+2-an=2n为奇数， a3-a
5、1=2a5-a3=2a7-a5=2 an-an-2=2叠加得an=-23+2n-12=n-24n为偶数， a2=-19a4-a2=2a6-a4=2 an-an-2=2叠加得an=-19+2n-22=n-21所以an=n-24 n为奇数n-21 n为偶数 nN*解法二：因为an+1+an=2n-44n为奇数，Sn=a1+a2+a3+a4+a5+an-1+an =-23+22-44+24-44+(2n-1-44) =-23+-40+2n-462n-12 =n22-22n-32n为偶数，Sn=a1+a2+a3+a4+an-1+an =21-44+23-44+(2n-1-44) =-42+2n-462n2 =n22-22nn为奇数 an=Sn-Sn-1n2 =n22-22n-32-(n-122-22(n-1) =n-24n=1,a1=-23符合n为偶数 an=Sn-Sn-1 =n22-22n-(n-122-22n-1-32) =n-21所以an=n-24 n为奇数n-21 n为偶数 nN*
