1、图工土程木制第 2 页目录页04 曲面立体及其轴测投影绪论02 投影基础03 平面立体及其轴测投影01 制图的基本知识与技能05 工程形体的表达方法第 3 页目录页10 道路、桥梁及涵洞工程图06 标高投影08 结构施工图09 建筑给水排水工程图07 房屋建筑施工图第 4 页目录页04 曲面立体及其轴测投影绪论02 投影基础03 平面立体及其轴测投影01 制图的基本知识与技能05 工程形体的表达方法第 5 页本章导读（a）本章导读土木工程中，我们经常会接触到各种形状的建筑物，这些建筑物及其配件的形状虽然复杂多样，但一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割或相交等形式组成的，如图3-1所示。我们
2、把这些简单的几何体称为基本几何体或基本体。本章主要介绍基本几何体中的平面立体的相关知识，如平面立体及其表面上点和线的投影、平面立体表面交线的投影、同坡屋顶的交线，以及绘制平面立体轴测图等内容。通过绘制轴测图，可帮忙读者理解投影理论，提高空间想象力。（b）（c）图3-1 建筑形体的组成第 6 页技能目标u掌握各种常见平面立体的投影规律和投影特性。u掌握平面立体表面上点和线的投影规律，并能够利用“从属性法”、“积聚性法”和“辅助线法”补画立体表面上点和线的投影。u掌握平面与平面立体相交，以及平面立体与平面立体交接时的投影画法。u了解同坡屋顶交线的画法。u能够绘制平面立体的轴测投影图。技能目标第 7
3、 页第三章 平面立体及其轴测投影第一节 平面立体及其表面上点和线的投影基本几何体的大小和形状是由其表面限定的。按表面性质不同，基本几何体可分为平面立体和曲面立体。我们把表面全部由平面围成的几何体称为平面立体，如棱柱、棱锥、棱台等，如图3-2所示；把表面全部为曲面或由曲面和平面围成的几何体，称为曲面立体，如圆柱、圆锥、球体、圆环等。本章仅介绍平面立体的相关知识。（a）三棱柱 （b）四棱柱（c）四棱锥 （d）四棱台图3-2 平面立体第 8 页第三章 平面立体及其轴测投影立体上相邻表面的交线称为棱线。由图3-2可知，平面立体的表面都是平面多边形。常见的平面立体有棱柱体和棱锥体。其中，棱线与底面倾斜的
4、棱柱体称为斜棱柱；棱线与底面垂直的棱柱体称为直棱柱；上、下底面均为正多边形的直棱柱称为正棱柱。棱锥体的底面为多边形，棱线相交于一点，如图3-2中的四棱锥。棱柱体和棱锥体均以底面的形状来命名。例如，底面为三角形、四边形、五边形、n边形的形体，分别称为三棱柱（锥）、四棱柱（锥）、五棱柱（锥）、，n棱柱（锥）。平面立体的投影就是作出组成立体表面的各平面、各棱边和各顶点的投影。由于点、直线和平面是构成平面立体表面的几何元素，因此，绘制平面立体的投影，归根结底是绘制点、直线和平面的投影。在平面立体中，可见棱线用粗实线表示，不可见棱线用细虚线表示，以此区分可见表面和不可见表面。一、平面立体的投影第 9 页
5、第三章 平面立体及其轴测投影（1）形体特征。棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体。棱柱的各棱线相互平行，底面和顶面为多边形。如图3-3（a）所示的正六棱柱，它是由上、下两底面和6个矩形侧面组成的。其中，上、下两底面相互平行，6个侧面均为全等的矩形，且与底面垂直。因此，6条棱线也相互平行，长度相等，且与上、下两底面垂直。（2）摆放位置。摆放形体时应考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行于投影面。如图3-3（a）所示的正六棱柱，可将上下底面平行于H面、前后侧面平行于V面放置。（一）棱柱的投影图3-3 正六棱柱的投影(a)第 10 页第
6、三章 平面立体及其轴测投影（3）投影分析。图3-3（b）所示为正六棱柱的投影图，它具有如下特点。H面投影：为正六边形，它是上、下底面的投影，且反映两底面实形；六边形的6个顶点是6条棱边（铅垂线）的积聚投影。V面投影：为3个矩形线框。其中，中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影；左侧矩形为左侧前、后侧面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后侧面的重合投影，它们均为类似形；上、下两底面的投影积聚为直线段。W面投影：为两个矩形线框，分别是左、右4个铅垂侧面的重合投影（不反映实形）。（b）图3-3 正六棱柱的投影通过上述分析可以得出棱柱体的投影特性，具体为：（1）棱柱体在平行于上、下底面的投影面上的投影反映底
7、面实形，即投影为多边形；（2）另外两面投影均为矩形，或矩形的组合图形。第 11 页第三章 平面立体及其轴测投影基本体中柱体的投影特征可归纳为“矩矩为柱”。这句话的含义是：只要是柱体（包括圆柱和棱柱），则必有两面投影的外线框为矩形。反之，若某一形体的两面投影的外线框为矩形，则该形体一定是柱体，这时，可利用第三面投影来判别具体是哪种柱体。知识库第 12 页第三章 平面立体及其轴测投影（1）形体特征。棱锥是由一个多边形底面和若干个具有公共顶点（锥顶）的三角形棱面围成的平面体。若一个棱锥的底面为正多边形，且锥顶在底面的投影位于正多边形的中心，则该棱锥称为正棱锥。棱锥的所有棱线交于一点，侧棱面均为三角形
8、，如图3-4（a）所示。（2）摆放位置。底面平行于某一投影面，并尽量使多个侧面垂直于其他两个投影面，以减少投影图中的虚线。如图3-4所示，将三棱锥的底面ABC平行于H面、侧面SAC置于侧垂面放置。（二）棱锥的投影（a）图3-4 正三棱锥的投影第 13 页第三章 平面立体及其轴测投影（3）投影分析。图3-4（b）所示为正三棱锥的投影图，它具有如下特点。H面投影：为等边三角形，它反映正三棱锥的底面实形，3个侧面的投影表现为类似形，顶点投影重合于等边三角形的垂心。V面投影：为两个三角形，即左、右两个侧棱面的类似形。W面投影：为一个三角形。其中，后侧棱面SAC积聚为最后方的一直线段，左、右侧棱面的投影
9、仍为三角形，且相互重合。通过上述分析可以得出以下结论：（1）三棱锥在与其底面平行的投影面中的投影反映底面实形，即投影为多边形或三角形的组合图形；（2）另外两面投影为并列的三角形。（b）图3-4 正三棱锥的投影第 14 页第三章 平面立体及其轴测投影锥体的投影特征可归纳为“三三为锥”，即若形体有两面投影的外线框均为三角形，则该形体一定是锥体（包括棱锥和圆锥）。反之，凡是锥体，则必有两面投影的外线框为三角形，这时，可利用第三面投影来判别具体是哪种锥体。几种常见棱锥的投影如图3-5所示。知识库第 15 页第三章 平面立体及其轴测投影（a）四棱锥 （b）五棱锥 （c）六棱锥图3-5 几种常见棱锥的投影
10、第 16 页第三章 平面立体及其轴测投影平面立体的表面都是平面多边形，求其表面上取点、线的作图问题，实质上就是求平面上点、线的投影问题。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题。因此，对于平面立体表面上点和线的投影，还应考虑其投影的可见性。判断立体表面上点、线可见性的原则是：如果点、线所在表面的投影可见，则点、线的同面投影可见；否则，不可见。求立体表面上点和线的投影问题，一般是指已知立体的三面投影和其表面上某一点的一面投影，求该点或线的其他两面投影。这类问题的求解方法有从属性法、积聚性法和辅助线法。二、平面立体表面上点和线的投影第
11、 17 页第三章 平面立体及其轴测投影从属性法：当点位于立体表面的某条棱边上时，该点的投影必定在该棱线的投影上。此时，可利用线上点的从属性求出该点的投影。积聚性法：当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，该点的投影必在该表面的积聚投影线上。此时，可利用平面的积聚性求出该点的投影。如图3-6（a）所示，三棱柱后棱面上给出了M点的正面投影（m），上表面给出了N点的水平投影n，可利用棱面和上表面投影的积聚性直接作出M点和N点的水平投影m和正面投影n，如图3-6（b）所示。（一）利用“从属性法”和“积聚性法”作图（a）（b）图3-6 三棱柱表面上点的投影第 18 页第三章 平面立体及其轴测投影
12、分析：由图3-7（a）可知，该形体的投影特征符合“梯梯为台”的特性，故该图所示的形体为四棱台。由于正面投影中的mn可见，因此可判定该直线位于四棱台的前棱面上。由于M点在棱边上，故可利用“从属性法”求出该点的其他两面投影；N点所在的表面为侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此可先利用表面的聚积性求出n点，然后再利用n点和n点求出n点。【例3-1】已知立体表面上直线MN的正面投影mn，如图3-7（a）所示，试作该直线的其他两面投影。图3-7 利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影（a）已知条件 第 19 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤（参见图3-7（b）：（1）利用“从属性法”过m
13、点作水平直线和铅垂线，分别交四棱台的另外两面投影于m点和m点。（2）利用“积聚性法”过n点作水平直线交四棱台的侧面投影于n点，然后利用n点和n点求出水平投影n点。（3）由于直线MN位于四棱台的前棱面上，四棱台的前棱面的水平投影为可见梯形，因此，直线MN的水平投影mn不可见直线，即用直线依次连接水平投影中的m点和n点即可。（4）四棱台的前棱面在侧面投影中积聚为一条斜线，因此该平面上的直线MN的投影mn为该斜线上的两点，因此可不用直线连接。（b）作图方法图3-7 利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影第 20 页第三章 平面立体及其轴测投影当点所在的立体表面无积聚投影时，该点的投影必须
14、利用辅助线法求出，即先过已知点在立体表面上作一辅助直线（辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线），求出该直线的另外两面投影，然后依据点的“从属性”求出点的各面投影。（二）利用“辅助线法”作图第 21 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：m点为可见点，故M点位于SAB平面上。由于SAB平面为一般位置平面，故M点的其他两面投影需通过作辅助线求出。n点为可见点，故N点位于SBC平面上，同理可分析出SBC平面为一般位置平面，故N点的其他两面投影也需要通过作辅助线求出。【例3-2】已知立体表面上M点和N点的投影m和n，如图3-8（a）所示，求作这两个点的其他两面投影。（a）已知条件图3-8 利用“辅助线
15、法”求立体表面上点的投影第 22 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤（参见图3-8（b）：（1）过m点作一条平行于底面的辅助线，该辅助线的投影交sa于1点。由于1点位于直线sa上，故可直接求出水平投影点1。（2）过1点作直线ab的平行线，则M点的水平投影一定在该平行线上。因此，过m点作垂线交平行辅助线于一点，则该点即为m点。（3）连接s点和n点并延长，交直线bc于点2；由于点2在底面ABC上，故可直接求出其正面投影点2。（4）连接s和2，则N点的正面投影一定在s2上。因此，过n点作垂线交s2于一点，则该点即为n点。由于N点所在的平面SBC在正面投影图中被SAB平面的投影遮挡，因此，N点的正
16、面投影不可见，即为（n）。（b）作图方法图3-7 利用“辅助线法”求立体表面上点的投影第 23 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：从图3-9（a）可知，线段EF的水平投影ef可见，则该线段必在左侧棱面SAB上。由于该平面为一般位置平面，因此可过EF作一条辅助直线，然后根据从属性求出E点和F点的投影。【例3-3】已知图3-9（a）所示三棱锥的三面投影及其表面上线段EF的投影ef，求作该线段的其他两面投影。（a）已知条件图3-8 利用“辅助线法”求立体表面上点的投影第 24 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤（参见图3-9（b）：（1）延长直线ef，使其与SAB的两条边相交于点1和点2。（2
17、）根据从属性法依次作出点1和点2点的侧面投影1，2及正面投影1，2，然后用细实线依次连接1点和2点，1点和2点。（3）从水平投影中的e点和f点向上作铅垂线，并与直线12分别交于e点和f 点；分别过e点和f 点向右作水平线，与直线12的交点即为e点和f 点。（4）由于直线EF所在的平面SAB的侧面投影和正面投影均为可见三角形，因此直线EF的侧面投影和正面投影也可见。用粗实线依次连接e点和f 点，e点和f 点，则线段ef 和ef 即为所求。（b）作图方法图3-7 求作三棱锥表面上线段的投影第 25 页第三章 平面立体及其轴测投影由以上例题可以看出，要在平面立体的表面上根据已知点或已知直线的一个投影
18、，求作其他面投影时，必须从以下几方面着手：（1）首先分析平面立体的性质，以及立体表面与投影面的相对位置；（2）分析所给出的点或直线位于立体的哪个表面上；（3）若点或直线所在的表面有积聚性，则应先求出该表面积聚投影上的点或线段的投影；若点或直线所在的表面为一般位置平面，则应利用该平面上过已知点或直线的辅助线来求点或直线的投影；（4）由点或直线的已知投影和求得的第二面投影，再根据投影规律求出其第三面投影；（5）最后判别所求点或直线的投影的可见性。第 26 页第三章 平面立体及其轴测投影第二节 平面立体的表面交线土木工程中的平面立体在多数情况下，以图3-10所示的3种形式出现。其中，图3-10（a）
19、中的形体称为切割体，它是利用平面来切割平面立体后形成的；图3-10（b）所示为叠加体，是由多个平面立体叠加后形成的；图3-10（c）所示为平面立体与平面立体的交接。绘制图3-10所示形体的投影，主要是绘制平面与平面立体交线的投影，以及平面立体与平面立体叠加或交接时交线的投影（a）切割 （b）叠加（c）交接图3-10 平面立体的表面交线第 27 页第三章 平面立体及其轴测投影一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，可设想为用平面截切平面立体，该平面称为截平面，所得交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面，平面立体被平面截切后的形体，称为截切体，如图3-11所示。图3-11 平面与平面立
20、体相交第 28 页第三章 平面立体及其轴测投影截平面与立体表面的相对位置不相同，所产生的截交线的形状也可能不同，但所有的截交线都具有以下两个基本性质。封闭性：因为任何基本体表面都是封闭的，而截交线又是截平面和基本体表面的交线，所以截交线所围成的图形一定是封闭的。共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共有线。由此可见，求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面公共点的集合。1.截交线的性质第 29 页第三章 平面立体及其轴测投影由图3-11可知，平面立体的表面由若干个平面围成，因此平面立体的截交线是由直线段围成的封闭多边形，该多边形的各边是截平面与各平
21、面的交线，顶点是棱边的投影或截平面与各棱边的交点。因此，平面立体上截交线的投影常采用交点法。所谓交点法，是指先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接起来即得截交线。连接各交点时应注意：只有两点在同一投影面上时才能连接；可见棱面上的两点用粗实线连接，不可见棱面上的两点用细虚线连接。2截切体投影的画法提示求平面立体切割体的投影时，要先分析平面立体在未切割前的形状、它是怎样被切割的，以及截交线有何特点等问题，然后再进行作图。第 30 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：由图3-12可知，五棱柱的棱线均为铅垂线，除了后方侧棱面为正平面外，其他侧棱面均为铅垂面，上、下底面为水平面。截平面
22、为正垂面，截切五棱柱的上表面和4个侧棱面，所以，截交线的空间形状为五边形ABCDE。【例3-4】已知五棱柱及其截平面的V面投影和H面投影，如图3-12所示，求作五棱柱被截切后的三面投影图。图3-12 五棱柱截断体第 31 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤:（1）参照立体图在V面投影和W面投影上找到截断面ABCDE各顶点的投影，并标上相应的字母。C，D点在H面上的投影c和d可利用积聚性法作出，并用直线连接，如图3-13（a）所示。（2）用细线画出未切割前五棱柱的W面投影，如图3-13（a）所示。（3）由于A，C，E点是棱线与截平面的交点，因此，可利用“高正齐”在W面投影上找到a，c，e点及
23、d点，再利用“宽相等”可求出C点的W面投影c，然后用直线依次连接a，b，c，d，e，a点。（4）由于截断面在W面上的投影可见，故截交线为可见轮廓线。在侧面投影图中，五棱柱最右侧侧棱的上半部分被截断面遮挡，下半部分与最左侧侧棱重合，因此该投影线的上半部分应画成虚线，如图3-13（b）所示。（a）（b）图3-13 补画五棱柱截断体的投影第 32 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：由于截平面与三棱锥的3个棱面相交，故截交线是一个三角形。由于截平面是正垂面，因此其正面投影积聚成一条直线，且该直线与三棱锥各侧棱投影的交点即为截交线各顶点的正面投影。在水平投影中找出这几个顶点的水平投影，然后用直接连接即
24、为截交线的水平投影。【例3-5】已知正三棱锥被一正垂面斜切，且正面投影和水平投影的轮廓线已知，如图3-14（a）所示，试补全该截断体的水平投影。图3-14 正三棱锥截交线的作图步骤（a）第 33 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤:（1）在正面投影图上找到截交线各顶点的正面投影1，2，3，然后在水平投影中对应棱线的投影上找出点和点的水平投影点1和点3，如图3-14（b）所示。（2）由于点在侧平线SB上，故点的水平投影需借助辅助线求出，其作图方法如图3-14（c）所示。（3）用直线连接水平投影中的点1、点2和点3，可得截交线的水平投影，然后用直线连接这3个点与三棱锥底面各顶点，最后擦去多余的
25、线条并加深，结果如图3-14（d）所示。（b）（c）（d）图3-14 正三棱锥截交线的作图步骤第 34 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：图3-15所示形体为三棱锥被两个截平面（水平面和正垂面）切割后形成的，如图3-16所示。因此，要补画该切口的水平投影和侧面投影，只需求出两个截平面与三棱锥表面的交线，以及两截平面之间的交线。【例3-6】补全图3-15所示带切口的三棱锥的水平投影和侧面投影。图3-15 已知条件图3-16 三棱锥切割体第 35 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤:（1）由于水平截平面与棱锥的底面ABC平行，所以DEAB，DFAC。由于D点是棱边SA上的一点，因此，过正投影
26、图中的d点作铅垂线，交水平投影线sa于d点；过d点作ab的平行线，可得e点。同理，可得到f点。最后根据de，df和de，df，可求出侧面投影de和df，如图3-17（a）所示。（a）图3-17 补画三棱锥切割体的水平投影和侧面投影第 36 页第三章 平面立体及其轴测投影（2）正垂面可利用正面投影的积聚性，作出它与棱锥表面交线GE和GF的三面投影。即过g点作铅垂线，交水平投影线sa于g点。将g点分别与f，e点连接。最后根据“高平齐”求出侧面投影中的g点，并连接gf与ge，如图3-17（b）所示。（3）由于两截面同时垂直于V面，所以它们的交线EF为正垂线，其正面投影积聚为一个点，即e（f），水平投
27、影ef为一竖直线，侧面投影ef与水平截平面的侧面投影重合。（4）擦去被切掉部分的图线，然后检查图形并加深图线，结果如图3-17（b）所示。（b）图3-17 补画三棱锥切割体的水平投影和侧面投影第 37 页第三章 平面立体及其轴测投影二、平面立体与平面立体交接有些工程形体是由两个或两个以上相交的平面基本体组成的，如图3-18所示。其中，两相交立体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。图3-18 两平面立体相贯 第 38 页第三章 平面立体及其轴测投影相贯线的形状和数目随着基本立体的形状和它们的相对位置而定。当一个立体全部贯穿另一个立体时，这样的相贯称为全贯，这时有两条相贯线，如图3-19（a）所
28、示；当两个立体相互贯穿时，则称为互贯，这时只有一条相贯线，如图3-19（b）所示。图3-19 两平面立体相贯 第 39 页第三章 平面立体及其轴测投影两平面立体的相贯线一般是一条或两条闭合的空间折线或闭合的平面多边形。相贯线上的边是两立体所有参与相贯的表面之间的交线，相贯线上的顶点是所有参与相交的棱线或底边对另一立体表面的交点。由此可见，相贯线也具有封闭性和共有性这两个基本性质。求相贯体的三面投影，主要是求作相贯线的投影。相贯线的画法为：先求出每一个立体上参与相交的棱线或底边与另一个立体表面的交点，再依次连接这些交点即可。第 40 页第三章 平面立体及其轴测投影求两平面立体相贯线的步骤如下：（
29、1）分析相贯线的类型，确定相贯线的条数、每条折线的边数和顶点数；（2）求相交表面间的交线，或每一立体上参与相交的棱线和底边对另一立体表面的交点；（3）如果求出的投影是交点，则按照一定的规则连接所求各交点。值得注意的是，只有两点同时在两个立体的同一个表面上时，这两点才可以连接；（4）判断各条连接线（相贯线段）的可见性。只有当产生该连接线的两个表面的同面投影均可见时，该投影面上的这段相贯线的投影才可见。否则，相贯线段不可见；（5）检查，整理。检查投影图中相贯体及相贯线的投影，擦去多余的图线，然后加深其他图线。第 41 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：由图3-20可以看出，该房屋形体为两个五棱柱
30、相贯，本题需要求出这两个五棱柱相贯线的水平投影。由于两个五棱柱均水平放置，且底面在同一水平面上，小五棱柱的5条侧棱均参与相交，其空间折线如图3-21所示。【例3-7】补全图3-20所示房屋形体的水平投影。图3-20 已知条件图3-21 房屋模型立体示意图 第 42 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤:（1）正面投影图中，相贯线与小五棱柱的平面1完全重合。为避免出现漏线，可先在正面投影图中标出相贯线各交点的字母，如1，2，7，然后在侧面投影中找到并标出这7个点的投影（这一步在初学时是必不可少的）。（2）由于点为两个五棱柱的共有点，根据投影特性可求出水平投影中的投影点2和3，如图3-22所示。
31、图3-22 补画水平投影第 43 页第三章 平面立体及其轴测投影（3）点位于小五棱柱的侧棱F上，因此过1点可求出水平投影中的点1。除小五棱柱的侧棱F外，小五棱柱的其他侧棱均与大五棱柱的平面2相交，且平面2为正平面，其水平投影积聚为水平线段。因此，这4条侧棱交点点的水平投影可直接求出。（4）依次连接4（6）点，2点，1点，3点，5（7）点，即可得到相贯线的水平投影。由于相交各棱面的水平投影均可见，故交线的水平投影也可见。注意由于两个五棱柱底部的两个水平棱面共面，因此不能在水平投影的6，7点间画线。第 44 页第三章 平面立体及其轴测投影分析：根据相贯体的水平投影可知，水平棱柱部分贯入直立棱柱，是
32、互贯。互贯的相贯线为一组空间折线。因为直立棱柱垂直于H面，所以相贯线的水平投影必然积聚在该棱柱水平投影的轮廓线上。为此，相贯线的正面投影可采用交线法，即将直立三棱柱的左右两棱面作为截平面去截水平三棱柱。【例3-8】如图3-23所示，补画两相贯体的正平投影。图3-20 已知条件第 45 页第三章 平面立体及其轴测投影图3-24 求两三棱柱的相贯线作图步骤（参见图3-24）：（1）用字母标记直立棱柱的上表面和水平棱柱的左端面。（2）用P平面表示扩大后的AB棱面，求出该平面与水平棱柱交线M的投影，即根据水平投影m13求出正面投影 m13。（3）用Q平面表示扩大后的BC棱面，求出该平面与水平棱柱交线N
33、的投影，即根据水平投影n24求出正面投影 n24（或利用三棱柱ABC水平投影的积聚性，很容易找出折点，的水平投影1，3，2，4，利用投影关系可求出正面投影1，3，2，4）。第 46 页第三章 平面立体及其轴测投影图3-24 求两三棱柱的相贯线（4）截交线M和N必与直立棱柱的侧棱B相交于，两点（或利用水平三棱柱的侧面投影的积聚性，找出折点，的侧面投影5，6，最后利用投影关系求出正面投影5，6）。（5）依次连接1，3，5，4，2，6 ，1点，然后判定其可见性。由于相贯线的水平投影积聚在直立棱柱的水平投影上，所以正面投影1 3 和2 4因位于水平三棱柱不可见的棱面上，所以应画成虚线。第 47 页第三
34、章 平面立体及其轴测投影第三节 平面立体投影的尺寸标注（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）图3-25 平面基本体的尺寸标注平面基本体的尺寸标注以能确定其基本形状和大小为原则，一般应将长、宽、高3个方向上的尺寸都标注出来，如图3-25所示。第 48 页第三章 平面立体及其轴测投影值得注意的是：（1）平面基本体投影图中，表示立体长、宽、高3个方向的尺寸标注应齐全，既不能缺少尺寸，也不能重复标注尺寸。（2）标注棱柱、棱锥和棱锥台时，一般将尺寸标注在最能反映其实形的投影图上，然后在另一投影图上标注另一方向尺寸。对于被切割的平面基本体，除了要标注基本体的尺寸外，还应注出截平面的位置尺寸，但不
35、必注出截交线的尺寸，如图3-26所示。图3-26 平面截断体的尺寸标注第 49 页第三章 平面立体及其轴测投影第四节 同坡屋面的交线为了排水需要，屋顶均有坡度。坡度大于10%的屋面称为坡屋面，反之，则称为平屋面。坡屋面有单坡屋面、两坡屋面和四坡屋面之分。当各坡面与地面（H面）的倾角都相同，且屋檐各处同高时，该屋面称为同坡屋面，相邻同坡屋面之间的交线称为同坡屋面的交线，如图3-27所示。（a）立体图（b）投影图图3-27 同坡屋面第 50 页第三章 平面立体及其轴测投影解决同坡屋面投影图的画法问题，实质上是解决特殊条件下平面与平面的交线问题。图3-27（b）所示为同坡屋面的投影图。从该图中可以看
36、出，同坡屋面具有如下投影规律。（1）过两平行屋檐的屋面如果相交，则必交出水平屋脊，该屋脊与屋檐平行，且其水平投影与屋檐的水平投影等距离。如图3-27（b）中的投影线ih平行于af和bc，且与af和bc的垂直距离相等；gk平行于fe和cd，且与fe和cd等距离。（2）过相邻屋檐的两屋面必相交于倾斜的屋脊或天沟，且通过凸墙角的是斜脊，通过凹墙角的是天沟，如图3-27（a）所示。斜脊或天沟的水平投影是相邻屋檐水平投影夹角的分角线。对于正交的屋檐来说，其水平投影为45斜线。图3-27（b）中的ai和bi为斜脊的水平投影，fg为天沟的水平投影。（a）立体图（b）投影图图3-27 同坡屋面第 51 页第三
37、章 平面立体及其轴测投影（3）屋面上过某点有两条交线时，过该点必定还有第3条交线。3条交线中一定有一条是水平屋脊，另外两条是斜脊或天沟。如图3-27（b）所示，过g点的3条交线中，gk是屋脊的水平投影，gf是天沟的水平投影，gh是斜脊的水平投影。根据上述投影规律，在已知屋檐水平投影和屋面倾角（或坡度）的条件下，可以完成同坡屋面投影图的绘制。（b）投影图图3-27 同坡屋面第 52 页第三章 平面立体及其轴测投影图3-28 檐口线的H面投影（a）（b）图3-29 绘制屋面交线及屋面投影作图步骤：1）作屋面交线的H面投影 在屋面的H面投影上过每一屋角作45分角线，如图3-29（a）。其中，凸墙角上
38、的斜脊线有ac，ae，mg，ng，bf和bh；凹墙角上的天沟线为dh所示。bh是将cd延长至k点，从k点作45分角线与天沟线dh相交而得到的。作每一对檐口线（前后或左右）的中线，即作屋脊线ab和hg，如图3-29（b）所示。【例3-9】已知四坡屋面的倾角 =30。和檐口线的H面投影，如图3-28所示，求该屋面交线的H面投影和屋面的其他两面投影。第 53 页第三章 平面立体及其轴测投影图3-29 绘制屋面交线及屋面投影(c)2）作屋面的V面和W面投影根据屋面倾角 和投影规律作出屋面的V面和W面投影，如图3-29（c）所示。一般应先作出具有积聚性屋面的V面（或W面）投影，再绘制屋脊线的V面（或W面
39、）投影。第 54 页第三章 平面立体及其轴测投影第五节 平面立体轴测投影图的画法多面正投影图虽然能完整、准确地表达形体各部分的形状和大小，且作图简便，度量性好，在工程中被广泛应用，如图3-30（a）所示。但这种图的立体感较差，要有一定读图能力的人才能看懂。如果能在一个投影面上同时反映形体的长、宽、高3个方向上的尺寸，这样绘制出的图形立体感较强，我们将这种图称为轴测图，如图3-30（b）所示。轴测图富有立体感，直观性强，利用它可以帮助我们想象物体的形状，培养我们的空间想象能力。但它属于单面投影图，有时对形体的表达不够全面，且绘制复杂形体的轴测图也比较麻烦，因此在工程上常用轴测图作为辅助图样。（a
40、）正投影图（b）轴测图图3-30 正投影图和轴测图第 55 页第三章 平面立体及其轴测投影一、轴测投影的形成将空间物体连同确定其位置的直角坐标系，沿不平行于任何一个坐标平面的方向，用平行投影法投射在某一选定的单一投影面上所得到的具有立体感的图形，称为轴测投影图，简称轴测图，如图3-31所示。图3-31 轴测图的形成第 56 页第三章 平面立体及其轴测投影在轴测投影中，我们把选定的投影面P称为轴测投影面；把空间直角坐标轴OX，OY，OZ在轴测投影面上的投影O1X1，O1Y1，O1Z1称为轴测轴；把两轴测轴之间的夹角X1O1Y1，Y1O1Z1，X1O1Z1 称为轴间角；轴测轴上的单位长度与空间直角
41、坐标轴上对应单位长度的比值，称为轴向伸缩系数。OX，OY，OZ轴的轴向伸缩系数分别用p，q，r表示，即 ，,。值得注意的是，轴间角与轴向伸缩系数是绘制轴测图的两个主要参数。11O ApOA11O BqOB11OCrOC第 57 页第三章 平面立体及其轴测投影二、轴测图的种类及性质根据投射方向与轴测投影面是否垂直，轴测图可分为正轴测图和斜轴测图两类。正轴测图：物体3个方向上的平面及其3条坐标轴均与投影面倾斜，且投射线与投影面垂直时，在投影面上所得到的投影图，如图3-32（a）所示。斜轴测图：物体的某一平面及其两条坐标轴与投影面平行，且投射线与投影面倾斜时，在投影面上所得到的投影图，如图3-32（
42、b）所示。（一）轴测图的种类（a）正轴测图（b）斜轴测图图3-32 正轴测图和斜轴测图第 58 页第三章 平面立体及其轴测投影根据3个轴测轴的轴向伸缩系数是否相等，轴测图可分为3种，即3个轴向伸缩系数都相等的称为“等测”；其中有两个相等的称为“二测”；3个均不相等的称为“三测”。由此可见，正轴测图和斜轴测图还可以分为正等测、正二测、正三测、斜等测、斜二测、斜三测共6种。工程中常用的轴测图有正等轴测图（简称正等测）、正二等轴测图（简称正二测）和斜二等轴测图（简称斜二测），其轴间角和轴向伸缩系数如表3-1所示。第 59 页第三章 平面立体及其轴测投影表3-1 轴间角和轴向伸缩系数第 60 页第三章
43、 平面立体及其轴测投影由于轴测图是用平行投影法绘制的，因此它具有平行投影的基本性质，即平行性和等比性。平行性：形体上相互平行的线段，其轴测投影也相互平行；与坐标轴平行的线段，其轴测投影必与相应的轴测轴平行，如图3-32所示。等比性：形体上两平行线段的长度之比在投影图上保持不变。（二）轴测图的性质由上述性质可知，在画轴测图时，凡是物体上与轴测轴平行的投影线段的尺寸，可沿其轴向直接量取，而不与坐标轴平行的线段则不能直接量取其尺寸。所谓“轴测”，实质上就是指沿轴向进行测量的意思。第 61 页第三章 平面立体及其轴测投影三、平面立体轴测图的画法坐标法是根据形体表面上各顶点的坐标，沿轴测轴方向度量并画出
44、它们的轴测投影，然后依次连接各投影点得到立体表面轮廓线的方法。坐标法是画轴测图的最基本的方法，也是其他各种轴测图画法的基础。1坐标法虽然各种轴测图的轴间角和轴向伸缩系数不同，但绘制轴测图时应遵守的原则和对形体的处理方法是相同的。画轴测图时，必须先选定轴测图的类型，确定轴间角的大小和轴向伸缩系数，然后再绘制轴测轴和轴测图。绘制轴测图时，常用的方法有坐标法、端面法、叠加法和切割法。第 62 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤：（1）在图3-33（a）中建立三棱锥的坐标系O-XYZ，从而可确定三棱锥上S，A，B，C顶点的坐标值。为作图方便起见，可使XOY坐标面与锥底面重合，OX轴通过B点，OY轴
45、通过C点。（2）按轴间角120画出正等轴测图的轴测轴，然后沿各轴测轴上量取每个顶点的坐标，以确定各顶点在轴测图中的位置，如图3-33（b）所示。（3）连接各顶点，擦去不可见棱线，然后描深可见棱线，结果如图3-33（c）所示。【例3-10】画出图3-33（a）所示三棱锥的正等轴测图。（a）（b）（c）图3-33 绘制三棱锥的正等轴测图第 63 页第三章 平面立体及其轴测投影对于棱柱类和棱锥类形体，其轴测图通常可先画出能反映其特征的一个端面或底面，然后以此为基础画出可见侧棱和底边棱线，这种画法称为端面法。利用端面法绘制棱台类形体的轴测图时，通常先画出其上底面或下底面，然后以此为基础画出可见侧棱，最
46、后连接各侧棱的顶点，即可完成形体的轴测图。2端面法第 64 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤：（1）画正六棱柱的顶面。先画出正等轴测图的轴测轴，然后根据上表面各顶点的x，y坐标，画出上表面的正等轴测图，如图3-34（b）所示。（2）画正六棱柱的侧棱。从上表面各顶点向下引Z1轴的平行线（不可见棱线可省略不画），其长度为六棱柱的实际高度，如图3-34（c）所示。（3）画正六棱柱的底面。用直线段依次连接侧棱的各端点，画出正六棱柱的底面，最后检查图形，确认无误后擦去多余的线条并加深图线即可，结果如图3-34（d）所示。【例3-11】画出图3-34（a）所示正六棱柱的正等轴测图。（a）（b）（c）
47、（d）图3-34 绘制正六棱柱的正等轴测图第 65 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤：（1）画出斜二等轴测图的轴测轴，然后在X1O1Z1面内画出前端面的实形，接着过前端面各顶点作OY轴的平行线，在这些平行线上量取棱柱体厚度的一半，以得到后端面上的各顶点，如图3-35（b）所示。（2）连接后端面上的各顶点，然后擦去被遮挡的轮廓线，最后描深可见图线即可，结果如图3-35（c）所示。【例3-12】画出图3-35（a）所示棱柱体的斜二等轴测图。（a）（b）（c）图3-35 绘制棱柱体的斜二轴等测图第 66 页第三章 平面立体及其轴测投影如果要绘制的形体是由几个基本体叠加后形成的，则该形体的轴测图
48、可使用叠加法绘制。叠加法仍然以坐标法为基础。画图时，应按形体的形成过程先画出基础形体，然后按照各叠加体的位置关系逐个画出其轴测图。在画轴测图时，要判断各叠加体的轮廓是否被遮挡，对于不可见的轮廓线可省略不画。3叠加法第 67 页第三章 平面立体及其轴测投影作图步骤：（1）画基础形体四棱柱。先画出正等轴测轴，然后在OX轴和OY轴的两侧分别量取L1/2和b1/2，以绘制四棱柱的上表面，接着过顶点作3条可见的侧棱（侧棱长为h1），最后依次连接相应的侧棱端点即可，如图3-36（b）所示。（2）画四棱锥台的底面。参照绘制基础形体的方法，在XOY坐标平面内绘制四棱锥台的底面，如图3-36（c）所示。【例3-
49、13】根据图3-36（a）所示三面投影图，画出其正等轴测图。（a）确定坐标轴的位置（b）画轴测轴和基础形体第 68 页第三章 平面立体及其轴测投影（3）画四棱锥台的顶面。分别在OX轴和OY上方h2位置处绘制一条与OX轴和OY轴平行的直线，然后以这两条直线的交点为中心，分别取四棱锥台顶面的长、宽尺寸并绘制顶面，如图3-36（d）所示。（4）用直线连接四棱锥台顶面和底面上的对应点，然后擦去被遮挡部分的图线和不需要的图线，最后加深图线即可，如图3-36（e）所示。（c）画叠加体的底面 （d）画叠加体的顶面 （e）连接顶点并加深图线图3-36 用叠加法画正等测图第 69 页第三章 平面立体及其轴测投影
50、如果要绘制的形体是将基本形体切割后形成的，则该形体的正等轴测图可使用切割法绘制。画轴测图时，应先用坐标法画出完整的基础形体的轴测图，然后依次画出各切去部分的轴测图，具体作图方法如图3-37所示。4切割法第 70 页第三章 平面立体及其轴测投影（a）确定坐标轴的位置（b）画轴测轴和基础形体的轴测图（c）画斜面 （d）在斜面上切槽 （e）擦去多余图线并加深图3-37 用切割法画正等轴测图第 71 页第三章 平面立体及其轴测投影四、徒手画平面立体的轴测图在绘制轴测草图时，除了要掌握绘制草图的基本技能外，还需要注意以下几点。（1）轴测轴是作图的基准，要想比较准确地绘制轴测图，关键是使轴间角尽量准确。由
