1、截长补短法与倍长中线法 培训师：张文静一、截长补短法1、截长 在某条线段上截取一条线段与特定线段相等2、补短 将某条线段延长使之与特定线段相等 利用三角形全等的有关性质加以说明，这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目1、利用对称思想、利用对称思想、FFFF D C B A证明：在AC上取点E，使AEAB，连接DE AD平分BAC BADCAD ABAE，ADAD ABD AED（SAS）DEBD，AEDB AEDC+CDE，B2C C+CDE2C CDEC DECE BDCE ACAE+CE ACAB+BDEABCD分析：分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等
2、转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.2、利用旋转思想、利用旋转思想F F E D C B AFF N M D C B A证：延长MB至E使BE=NC,连接DE等边三角形ABC中ABC=ACB=60DBC中,DB=DC,BDC=120DBC=DCB=30ABD=ACD=90EBD=NCD=90在EBD与NCD中BD=NDEBD=NCDBE=CNEBD NCD（SAS）ED=DN,1=3BDC=120,MDN=602+3=601+3=60MDE=MDN=60在MDE与MDN中MD=MDMDE=MDNDE=DNMDE与MDN（SAS）MN
3、=ME=BM+BE=BM+NCAMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+NC=AB+AC=23、当系数不为、当系数不为1GPFG解答：（1）证明：tanB=2，AE=2BE；E是BC中点，BC=2BE，即AE=BC；又四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE；（2）证明：作AGAF，交DP于G；（如图2）ADBC，ADG=DPC；AEP=EFP=90，PEF+EPF=PEF+AEF=90，即ADG=AEF=FPE；又AE=AD，FAE=GAD=90-EAG，AFE AGD，AF=AG，即AFG是等腰直角三角形，且 EF=DG；FG=2AF，且DF=DG+GF=EF+FG，故DF-E
4、F=2AF；（3）解：如图3，当EP2BC时，DF+EF=2AF，解法同（2）当EP2BC时，EF-DF=2AF解：（1）如图1，延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，ABD=60，ABE是等边三角形，AE=AB，AEB=60，AB=AC，AC=AE，ACE=AEC，ACD=60，ACE-ACD=AEC-AEB，即DCE=DEC，DE=CD，BE=BD+DE=BD+CD，AB=BD+CD；故答案为：AB=BD+CD；（2）猜想：AB=(BD+CD）理由如下：如图2，过点A作AEAB交BD的延长线于点E，连接CE，ABD=45，ABE是等腰直角三角形，AE=AB，AEB=45，AB=AC，
5、AC=AE，ACE=AEC，ACD=45，ACE-ACD=AEC-AEB，即DCE=DEC，DE=CD，BE=BD+DE=BD+CD，在RtABE中，AB=BEcosABD=（BD+CD）cos45=（BD+CD），即AB=（BD+CD）；222222（3）如图3，过点A作AFBD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，则AE=AB（等腰三角形三线合一），AEB=ABD=，AB=AC，AC=AE，ACE=AEC，ACD=，ACE-ACD=AEC-AEB，即DCE=DEC，DE=CD，BE=BD+DE=BD+CD，在RtABF中，ABcosABD=BE，即ABcos=（BD+CD）2
6、121BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图例3、在RtABC中，ACB=90，tanBAC=点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点（1）若过点D作DEAB于E，连接CF、EF、CE，如图1 设CF=kEF，则k=_；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值21（1）F为BD中点，DEAB，CF=12BD，EF=12BD，CF=EF，k=1；故答案为1（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G
7、，设BD与AC的交点为Q 由题意，tanBAC=，BC/AC=DE/AE=D、E、B三点共线，AEDB BQC=AQD，ACB=90，QBC=EAQ ECA+ACG=90，BCG+ACG=90，ECA=BCG BCGACE BC/AC=GB/AE=GB=DE F是BD中点，F是EG中点 在RtECG中，CF=EG，BE-DE=EG=2CF；21212121（3）情况1：如图，当AD=AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，ACB=90，tanBAC=，且BC=6，AC=12，AB=M为AB中点，CM=，AD=AC，AD=4.M为AB中点，F为BD中点，FM=AD=2 如图4：当且仅当M、F、C
8、三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+情况2：如图5，当AD=AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为4+综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF 的长度取得最大值为：4+故答案为：4+3121565331215332535353二、倍长中线法 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造初全等三角形/相似三角形，从而运用全等三角形/相似三角形的有关知识来解决问题的方法，倍长中线它延续着旋转的思想，它们都是把离散的条件集中
9、起来，构成新的图形，从而产生新的已知条件。全等三角形-证明线段不等全等三角形-证明线段相等AQ全等三角形-证明线段倍分F延长CD至F,使DF=CD,连接AF,AD=BD,CD=DF,ADF=BDC,ADF BDC,AF=BC,AFBCCAF+ACB=180,ACB=ABC,ABC+CBE=180CAF=CBE又AC=BE,CAF CBECE=CFCE=2CD 相似三角形-证明线段倍分AA E D A B C倍长中线-角相等F证明：延长AE到F,使EF=AE,连接BFAE是ABD的中线BE=DE又EF=AE,BEF=AEDBEF DEA（SAS）AD=BF,ADE=FBEADC=ABD+BADABF=ABD+FBEBAD=BDA=FBDADC=ABF又CD=AB,AD=BFADC FBA（SAS）C=BAE M1243延长AE,过D作DMAC交AE延长线于MM=1,C=2在DEM与CEA中M=1C=2DE=CEDEM CEADM=CA又DF=CADM=DFM=3ABFD3=44=1AE平分BAC
