1、同学们同学们,当老师提问或请当老师提问或请同学们练习时，你可以按同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键练习，然后再点击播放键.分类讨论思想分类讨论思想镇江市实验高级中学镇江市实验高级中学 杨勇杨勇分类讨论思想分类讨论思想一、一、分类讨论的概念分类讨论的概念二、二、分类讨论的诱因分类讨论的诱因三、三、分类讨论的原则分类讨论的原则四、四、分类讨论的范例分类讨论的范例五、五、分类讨论的反思分类讨论的反思一、分类讨论的概念一、分类讨论的概念 在解答某些数学问题时，有时会遇到多在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，很难从整体上加以解决这时需要种情况，
2、很难从整体上加以解决这时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论分类讨论是一种合得解，这就是分类讨论分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法与归类整理的方法 分类讨论的问题是高考中的热点问题，分类讨论的问题是高考中的热点问题，它对学生数学思维的严谨性、全面性、有序它对学生数学思维的严谨性、全面性、有序性、深刻性等方面起着重要的检测作用性、深刻性等方面起着重要的检测作用 一、一、分类讨论的概念分
3、类讨论的概念二、二、分类讨论的诱因分类讨论的诱因 1.1.概念型：由定义引起概念型：由定义引起 有些问题所涉及到的数学有些问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的如概念是分类进行定义的如|a|的定义分就分为的定义分就分为a0、a=0、a2时要分时要分a0、a0和和a0三种情况讨论，这种分三种情况讨论，这种分类讨论可以称为含参型类讨论可以称为含参型 5.5.应用型：由多样性引起应用型：由多样性引起 数学应用题中有的变量要数学应用题中有的变量要符合现实要求，必须根据实符合现实要求，必须根据实际情况采取分类讨论的解题际情况采取分类讨论的解题策略来加以解决，如：促销策略来加以解决，如：促销购物、移动话费
4、等，这种分购物、移动话费等，这种分类讨论可以称为应用型类讨论可以称为应用型三、三、分类讨论的原则分类讨论的原则三、三、分类讨论的原则分类讨论的原则1 1、对所讨论的全域分类要、对所讨论的全域分类要 既不重复，也不遗漏；既不重复，也不遗漏；2 2、在同一次讨论中只能按、在同一次讨论中只能按 所确定的一个标准进行所确定的一个标准进行；3 3、若是对于多级讨论则应、若是对于多级讨论则应 逐级进行，不能越级逐级进行，不能越级四、四、分类讨论的范例分类讨论的范例四、四、分类讨论应用举例分类讨论应用举例一、填空题训练一、填空题训练二、解答题剖析二、解答题剖析基础题训练基础题训练一、基础训练一、基础训练,1
5、|2xxA,1|axxB1.已知集合已知集合若若则实数则实数 取值的集合取值的集合为为AB a1,1,0则实数则实数 取值范围为取值范围为2.若若 ，153logaa1530aa或B B为空集为空集不可忘不可忘需对底需对底a进进行讨论行讨论3.在在 中，若中，若 则该则该三角形的形状为三角形的形状为 BA2sin2sinABC等腰或直角三角形等腰或直角三角形 4.若数列若数列an的前的前n项和项和Sn=n2+n+1，则则an=)2(2)1(3nnn仅是仅是2A=2B吗？吗？n=1时需时需单独验证单独验证 5.在在 中，若中，若 则实数则实数k的值为的值为),3(),1,2(kACABABCRt
6、-1 或或-6三角都可三角都可能为直角能为直角一、基础训练一、基础训练1163622yx或或1361622yx7.若一椭圆的长半轴与短半轴之和为若一椭圆的长半轴与短半轴之和为1010，焦距为焦距为 则该椭圆的标准方程为则该椭圆的标准方程为 ,548.一个矩形铁皮长是一个矩形铁皮长是2m,2m,宽是宽是4m4m，把它，把它作为一正三棱柱的侧面，则这个正三作为一正三棱柱的侧面，则这个正三棱柱的体积为棱柱的体积为33398394mm 或焦点的位焦点的位置不确定置不确定三棱柱的三棱柱的高可选择高可选择 6.若一条直线过点若一条直线过点(5，2)，且在，且在x轴，轴，y轴上的轴上的 截距相等截距相等,则
7、此直线的方程为则此直线的方程为2x5y=0 x+y7=0 或或截距为截距为0 0不可遗漏不可遗漏一、基础训练一、基础训练点评通过通过刚才的刚才的8 8道题，我们可道题，我们可以看出，以看出，有关分类讨论的试题涉及的有关分类讨论的试题涉及的知识面非常广，既可与集合、函数、知识面非常广，既可与集合、函数、数列、向量、三角、不等式等内容相数列、向量、三角、不等式等内容相结合，还可与立体几何、解析几何等结合，还可与立体几何、解析几何等内容相结合内容相结合.几乎贯穿了整个高中数几乎贯穿了整个高中数学的始终学的始终.从类型上可作如下的归类：从类型上可作如下的归类：6属于属于概念型的；概念型的；2、4属于性
8、质型的属于性质型的；3、5、7属于判定型的属于判定型的；1属于含参型的属于含参型的；8属于应用型属于应用型.典型例题典型例题1例例1 1、已知函数、已知函数 在在区间最大值为区间最大值为4 4，求实数，求实数a的值的值12)(2axaxxf2,10a（3 3）当）当时时341)1()(maxaafxf83a综上所述：综上所述：或或.3a二、典型例题二、典型例题8318)2()(maxaafxf0a时时（2 2）当当解：解：（1 1）当当0a时，不合题意时，不合题意.该函数的类型不确定，需要对该函数的类型不确定，需要对a进行讨论，当进行讨论，当a=0时，为常函数，时，为常函数，不合题意；当不合题
9、意；当a不为不为0时，虽然时，虽然抛物线对称轴已定，但开口方抛物线对称轴已定，但开口方向在变，函数在闭区间向在变，函数在闭区间-1，2上单调性在变，最大值就随之上单调性在变，最大值就随之而变而变.例1变式1变题：变题：设设f(x)=x22axa在区间在区间0,2上上 的最大值为的最大值为2，求，求a的的值值22)0()(maxaafxf与与 矛盾，故舍去矛盾，故舍去1a解：（解：（1 1）当）当时时1a时时（2 2）当）当1a52254)2()(maxaafxf52a综上所述：综上所述：虽然该抛物线的虽然该抛物线的开口方向已定开口方向已定,但但对称轴是动的，因此对称轴是动的，因此,随着随着a的
10、变化的变化,函数在区间函数在区间0,2上单调上单调性也随之变化，故要分对称轴性也随之变化，故要分对称轴与区间端点的相对位置去讨论与区间端点的相对位置去讨论.例1变式2 解：解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.当当t+11时，时，t0，g(t)=f(t+1)=t2-2;当当t1t+1时，时，0t0或或a0是在两根之间，是在两根之间，a0是在两根之外而是在两根之外而确定这一点之后，又会遇到两根谁大谁小确定这一点之后，又会遇到两根谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论故而的问题，因而又需作一次分类讨论故而解本题时，需要作三级分类解本题时，需要作三级分类当时，解集为或ax xax011当时
11、，解集为ax x01|当时，解集为0111axxa当时，解集为a 1当时，解集为axax111不等式的解集为：不等式的解集为：点评点评对于含参数不等式的求对于含参数不等式的求解问题首先要确定好分类的标准，解问题首先要确定好分类的标准，在同一次讨论中要按照同一个标在同一次讨论中要按照同一个标准进行，若需多级讨论则应逐级准进行，若需多级讨论则应逐级进行，不能越级进行，不能越级.比如本题就作比如本题就作了三级分类，要求同学们要十分了三级分类，要求同学们要十分的细心，做到各分类之间的细心，做到各分类之间“不不重复，更不能遗漏重复，更不能遗漏”.典型例题典型例题3二、典型例题二、典型例题 例例3 3、已
12、知向量、已知向量 ，其中其中O O为坐标原点为坐标原点(cos,sin)(0)OA (sin,cos)OB 6OA OB（1 1）若，求向量与的夹角；若，求向量与的夹角；（2 2）若对任意实数都成若对任意实数都成立，求实数的取值范围立，求实数的取值范围|2|ABOB ,(1)可以通过向量的数量积求出夹可以通过向量的数量积求出夹角的余弦值角的余弦值;由于向量模中含有参由于向量模中含有参数数,故需要针对参数作出讨论故需要针对参数作出讨论.(2)可以先根据条件转化为不等式可以先根据条件转化为不等式恒成立问题恒成立问题,再通过分类讨论求解再通过分类讨论求解.解解（1 1）设向量与的夹角为设向量与的夹角
13、为，OA OB sin()cos|2|OA OBOA OB 则则 当当 时，时，0 1cos23当当 时，时，0 12cos23（2 2）由）由 对任意实数都成立对任意实数都成立|2|ABOB ,22(cossin)(sincos)4得：得：对任意实数都成立对任意实数都成立.,212 sin()4 对任意实数都成立对任意实数都成立,即：即：20214 或20214 所以：所以：解得：解得：.33或故实数故实数 的取值范围是的取值范围是 ,33,若令若令 ,则该不则该不等式即可转化为求关于等式即可转化为求关于t的的一次函数在一次函数在-1,1上的最小上的最小值问题值问题.t)sin(点评点评本题
14、第一问在求向量夹角本题第一问在求向量夹角时需要根据绝对值的定义去分类讨时需要根据绝对值的定义去分类讨论，而第二问是个恒成立问题，需论，而第二问是个恒成立问题，需要转化为一次函数在闭区间要转化为一次函数在闭区间-1,1-1,1上的最小值问题，因此要对一次项上的最小值问题，因此要对一次项系数进行分类讨论系数进行分类讨论.本题还可以用本题还可以用:得出得出:再通过分再通过分类讨论去绝对值求解类讨论去绝对值求解.|1|ABOBOAOBOA min|1|2AB 典型例题典型例题4二、典型例题二、典型例题表示该数列的前表示该数列的前n n项和项和.例例4 4、有一个项数为、有一个项数为1010的实数等比数
15、列的实数等比数列 ，na)10(nSn（1）当）当 时时,若若 成等差数列，成等差数列，求证求证 也成等差数列；也成等差数列；（2）能否成等差数列，如果能，能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，请说明理由请求出公比；如果不能，请说明理由.102 k710,SSSk691,aaak7103,SSS解解 当当 时时,由由 得得 则则 不成等差数列不成等差数列.当当 时时,由由 得得 ,即即 也成等差数列也成等差数列.1q7102SSSk1013720111kakaa710,SSSk1qqqaSqqaSqqaSkk1)1(,1)1(,1)1(7171011017102SSSk52871022
16、qqqqqqkk61951218122aaaqaqaqakk691,aaak47777112qqqqq724221qqq74201qq1q当 时 当 时 10 q0q当 时 4712qq上面三种情况证明了方程上面三种情况证明了方程 无解无解.综上所述综上所述:不成等差数列不成等差数列 7103,SSS（2 2）若）若 成等差数列成等差数列,则则 当当 时时,当当 时时,得到关于得到关于 的方程的方程:7103,SSS73102SSS1q1q7310731022qqqSSS4712qqq73102SSS点评 本题中涉及本题中涉及等比数列等比数列的的前前n项和公式的运用，由于该项和公式的运用，由于
17、该公式是分情况给出的，我们一公式是分情况给出的，我们一定不要忘记分定不要忘记分 和和 去去讨论，否则很容易遗漏情况；讨论，否则很容易遗漏情况；第二问是关于第二问是关于 的高次方程，的高次方程，要讨论要讨论 是否有解，是否有解，在分类讨论的基础上对两加以在分类讨论的基础上对两加以适当的放缩不失为一种有效的适当的放缩不失为一种有效的方法。方法。1q1q4712qqq典型例题典型例题5二、典型例题二、典型例题 例例5 5、某商场在促销期间规定：商场内某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的所有商品按标价的80%80%出售；同时，当出售；同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按如顾客在商场内消费满
18、一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券下方案获得相应金额的奖券：消费金额范围（元）消费金额范围（元）获得奖券金额（元）获得奖券金额（元）200200，400400）3030400400，500500）6060500500，700700）100100700700，900900）130130根据上述促销方法顾客在该商场购根据上述促销方法顾客在该商场购物可以获得双重优惠物可以获得双重优惠.例如，购买标为例如，购买标为400元的商品，则消费金额为元的商品，则消费金额为320元，元，获得的优惠为：获得的优惠为：4000.2+30=110(元元).设购买商品得到的优惠率设购买商品得到的优惠率=试问：试问
19、：购买商品获得的优惠额商品的标价（1 1）若购买一件标价为）若购买一件标价为10001000元的商品，元的商品，顾客得到的优惠率是多少？顾客得到的优惠率是多少？（2 2）对于标价在）对于标价在500,800500,800（元）（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？商品，可得到不小于的优惠率？13(1)可以通过题中所给公式直接算出可以通过题中所给公式直接算出.(2)由于由于标价在标价在500,800500,800的商品打的商品打折以后的消费金额为折以后的消费金额为400,640400,640跨跨越两个获得奖券的区间越两个获得奖券的区间,
20、因此要因此要分分类讨论类讨论.1000 0.2 130(1)33%.1000 解：5000.8640 625 750.0.21001 3xxxx 或 (2),500800,:4000.8640.xxx设商品的价格为 元 则 消费额 4000.8500 0.26013xxx 由已知得无解,625,7501,.3因此 当顾客购买标准在元内的商品时 可得到不少于 的优惠率点评点评 本题为实际应用问题，本题为实际应用问题，在解题过程中，由于实际超作的在解题过程中，由于实际超作的多样性，其中隐含着分类讨论：多样性，其中隐含着分类讨论：，根据条件，分两步讨论，使问题根据条件，分两步讨论，使问题得以解决。得
21、以解决。4000.85005000.8640 xx 或 五、五、分类讨论的反思分类讨论的反思五、五、分类讨论总结反思分类讨论总结反思 分类讨论思想是中学数学的基本分类讨论思想是中学数学的基本思想方法之一思想方法之一.它是数学教学中的它是数学教学中的重点，也是历年高考中的热点重点，也是历年高考中的热点.题型题型多样、内涵丰富，有时很难分清是多样、内涵丰富，有时很难分清是哪一类型的分类讨论，很多时候一哪一类型的分类讨论，很多时候一道题中还会经常涉及到多种类型的道题中还会经常涉及到多种类型的讨论，我在此只能点到为止讨论，我在此只能点到为止,不免挂不免挂一漏万一漏万.熟练掌握基础知识，做到融会贯通，熟
22、练掌握基础知识，做到融会贯通，是解决分类讨论问题的前提是解决分类讨论问题的前提;搞清分类的原因，确定好分类的标准，搞清分类的原因，确定好分类的标准，是掌握分类讨论思想的关键是掌握分类讨论思想的关键;恰当分类、逐步讨论、归类总结是解决恰当分类、逐步讨论、归类总结是解决分类讨论问题的基本模式分类讨论问题的基本模式 只要我们树立分类讨论的意识，不断只要我们树立分类讨论的意识，不断地积累方法、总结经验教训，克服分类讨地积累方法、总结经验教训，克服分类讨论时思想上的主观性、盲目性和畏惧心理，论时思想上的主观性、盲目性和畏惧心理，就一定能掌握好分类讨论思想在解题中的就一定能掌握好分类讨论思想在解题中的运用
23、，为我们数学成绩的提升助一臂之力！运用，为我们数学成绩的提升助一臂之力！二、典型例题二、典型例题 例例3 3、已知已知 求求CBAABCcos135cos21sin，中，051322cosBBABC，且 为的一个内角45901213BB，且sin若 为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032若 为钝角，由，得，此时AAAABsin12150180 coscos()cos()CABAB coscossinsinABAB 32513121213125 326解：解：解：解：=(2,1),=(3,k)则则 (1,k1).ABACBC,0,)1(ACABACAB则若即有即有6k0，得，得k=
24、6；即有即有2+(k1)0，得，得k=1；0,)2(BCABBCAB则若,0,)3(BCACBCAC则若即有即有3k(k1)0，该方程无解，该方程无解.k6或或k1点评截距实质上表示坐标的意义，点评截距实质上表示坐标的意义，有正、负、零三种情况，解题中，应根有正、负、零三种情况，解题中，应根据截距是否为零进行分类讨论据截距是否为零进行分类讨论.解析解析 设该直线在设该直线在x轴，轴，y轴上的轴上的截距均为截距均为a,当当a=0时，直线过原点，此时时，直线过原点，此时直线方程为直线方程为y=x，即，即2x5y=0；当；当a0时，设直线方程为时，设直线方程为 =1,则求得则求得a=7,方程为方程为
25、x+y7=0.52ayax 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满
26、足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪
27、费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又
28、少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神
29、奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉
30、你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退
31、票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔
32、斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
