1、5.2.2函数的和、差、积、商的导数学习目标1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数导语同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容一、f(x)g(x)的导数问题令yf(x)g(x)，如何求该函数的导数？提示y；，y f(x)g(x)所以有f(x)g(x)f(x)g(x)知识梳理两个函数和或差的导数：f(x)g
2、(x)f(x)g(x)注意点：推广f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)例1求下列函数的导数：(1)yx5x3cos x；(2)ylg xex.解(1)y5x43x2sin x.(2)y(lg xex)(lg x)(ex)ex.反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)x5x3；(2)g(x)lg xex.解(1)f(x)x5x3，f(x)x44x2.(2)g(x)lg xex，g(x)ex.二、f(x)g(x)和的导数知识梳理1(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x
3、)g(x)，特别地，(Cf(x)Cf(x)(C为常数)2.(g(x)0)注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式例2求下列函数的导数：(1)yx2xln x；(2)y；(3)y；(4)y(2x21)(3x1)解(1)y(x2xln x)(x2)(xln x)2x(x)ln xx(ln x)2xln xx2xln x1.(2)y.(3)y.(4)方法一y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)(2x21)312x24x6x2318x24x3.方法二y(2x21)(3x1)6x32x23x1，y(6x32x23x1)(6x3)(2x2)(3x)(1)1
4、8x24x3.反思感悟(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y(x1)(x3)(x5)解(1)，.(2)方法一y.方法二y1，y.(3)方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.三、导数
5、四则运算法则的应用例3(1)曲线yxln x上的点到直线xy20的最短距离是()A. B. C1 D2答案B解析设曲线yxln x在点(x0，y0)处的切线与直线xy20平行yln x1，kln x011，解得x01，y00，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线xy20的距离为d，即曲线yxln x上的点到直线xy20的最短距离是.(2)设f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1)，求a，b的值解f(x)(aex)(bln x)aex，由f(1)e，f(1)，得解得所以a，b的值分别为1,0.反思感悟(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式(2)涉及切点、切点处的导数、
6、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题跟踪训练3(1)已知函数f(x)，曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为x2y30，则a，b的值分别为_答案1,1解析f(x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故即解得(2)曲线yf(x) (x1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为_答案1解析由题意可知，f(x)xex，f(1)2，切线方程为y2(x1)，即2xy20.令x0得y2；令y0得x1.曲线y(x1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S211.1知识清单：(1)导数的运算法则(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的
7、导数(3)导数四则运算法则的应用2方法归纳：公式法、转化法3常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则1函数yx(x21)的导数是()Ax21 B3x2 C3x21 D3x2x答案C解析yx(x21)x3x，y(x3x)(x3)x3x21.2已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()A. B. C. D.答案D解析f(x)3ax26x，f(1)3a64，a.3若函数f(x)f(1)x22x3，则f(1)的值为()A1 B0 C1 D2答案A解析因为f(x)f(1)x22x3，所以f(x)f(1)x2.所以f(1)f(1)(1)2，所以f(1)1.4已知函数f(x)
8、exsin x，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_答案yx解析f(x)exsin x，f(x)ex(sin xcos x)，f(0)1，f(0)0，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为y01(x0)，即yx.课时对点练1(多选)下列运算中正确的是()A(ax2bxc)a(x2)b(x)B(sin x2x2)(sin x)2(x2)C.D(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)答案AD解析A项中，(ax2bxc)a(x2)b(x)，故正确；B项中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)，故错误；C项中，故错误；D项中，(cos xsin
9、 x)(cos x)sin xcos x(sin x)，故正确2曲线f(x)x3x25在x1处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.答案B解析因为f(x)x22x，kf(1)1，所以在x1处的切线的倾斜角为.3设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 Be C. Dln 2答案B解析f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，由f(x0)2，得ln x012，即ln x01，解得x0e.4若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.5设f(x)x22x4ln
10、 x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)答案C解析f(x)的定义域为(0，)，又由f(x)2x20，解得x2，所以f(x)0的解集为(2，)6(多选)当函数y(a0)在xx0处的导数为0时，那么x0可以是()Aa B0 Ca Da2答案AC解析y，由xa20得x0a.7已知函数f(x)x3mx3，若f(1)0，则m_.答案3解析因为f(x)3x2m，所以f(1)3m0，所以m3.8已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_答案1解析f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x，f1.9求下列函数的导数：
11、(1)yln x；(2)y；(3)f(x)(x29)；(4)f(x).解(1)y.(2)y.(3)f(x)x36x，f(x)3x26.(4)f(x).10已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程解(1)因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087，又g(0)3，所以曲线g(x)在x0处的
12、切线方程为y37(x0)，即7xy30.11已知曲线f(x)在点(1，f(1)处切线的倾斜角为，则实数a等于()A1 B1 C7 D7答案C解析f(x)，又f(1)tan 1，a7.12已知曲线f(x)(xa)ln x在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0垂直，则a等于()A. B1 C D1答案C解析因为f(x)(xa)ln x，x0，所以f(x)ln x(xa)，所以f(1)1a.又因为f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0垂直，所以f(1)，所以a.13如图，有一个图象是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，且a0)的导函数的图象，则f(1)等于()A. B C. D或
13、答案B解析f(x)x22axa21，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象由图(3)知f(0)0，即f(0)a210，得a21，又由图(3)得对称轴为a0，则a0，解得a1.故f(x)x3x21，所以f(1).14已知函数f(x)若f(a)12，则实数a的值为_答案或4解析f(x)若f(a)12，则或解得a或a4.15等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)_.答案4 096解析因为f(x)(x)(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa
14、1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a1a8a2a7a3a6a4a58，所以f(0)842124 096.16已知函数f(x)，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围解(1)由题意得f(x)，因为f(x)的图象在x1处与直线y2相切，所以解得则f(x).(2)由(1)可得，f(x)，所以直线l的斜率kf(x0)4，令t，则t(0,1，所以k4(2t2t)82，则在对称轴t处取到最小值，在t1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是.
