1、理科数学试题（第1页共5页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 绝密启用前 福州市福州市 2020 届届高高三三毕业班适应性毕业班适应性练习练习卷卷 理 科 数 学 试 题 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作
2、答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回 第第 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 在复平面内，复数z对应的点与1 i+对应的点关于实轴对称，则 i z = Ai1 Bi1 + C1 i+ D1i 2. 已知集合( ),|20Ax yxy=+=，(),|10Bx yxmy=+ = 若AB =I， 则实数m= A2 B 1 2 C 1 2 D2 3. 已知两个单位向量 12 ,e e，若() 121 2eee
3、，则 12 ,e e的夹角为 A B C D 4. 一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a 得到一组新 数据，则下列说法正确的是 A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am+ C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n 5. 已知平面平面，直线 ,lmI ，则“ml”是“m ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 理科数学试题（第2页共5页） 6. 若 () 3 3 1 2 3 1 log e,2 e ,abc = ，则 Aabc Bcab Cacb Dcba 7. 若tan 3cos() 2 = ，则c
4、os2= A1 B 7 9 C0或 7 9 D1或 7 9 8. 抛物线 2 :2C yx=的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当 FPM为等边三角形时，其周长为 A2 B2 C3 2 D6 9. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数 ( )sin2cos2 ,f xxx=+ 5 ( )sin 2g xx =+ ，( ) co 7 sh xx = 的部分图象如图所示， 则 A.a为( ),f xb为( ),g x c为( )h x B.a为( ),h xb为( ),f x c为( )g x C.a为( ),g xb为( ),f x c为( )h x D.a为( ),h xb为
5、( ),g x c为( )f x 10. 射线测厚技术原理公式为 0e t II =，其中 0 II，分别为射线穿过被测物前后的强度， e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸 收系数工业上通常用镅 241（ 241Am ）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢 板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为 （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931， 结果精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 11. 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的
6、一条渐近线方程为20xy=，,A B是C上关 于原点对称的两点，M是C上异于,A B的动点，直线,MA MB的斜率分别为 12 ,k k，若 1 12k ，则 2 k的取值范围为 A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 12. 在三棱锥PABC中，PA 底面ABC， ,6,8ABAC ABAC=，D是线段AC上一 点，且3ADDC=三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截 面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16，则球O的表面积为 A72 B86 C112 D128 理科数学试题（第3页共5页） 第第卷卷 注意事项： 用0
7、.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13. 曲线( ) sinf xxx= 在点() ,0 处的切线方程为_ 14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械 工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角 形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 如图中的两个勒洛三 角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛 三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 _ 15. 已知ABC的内
8、角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c若()cossincoscos ,ACCB= 2,2ac=，则角C大小为_ 16. 已知函数() 1f x+ 是定义在R上的偶函数) 12 ,1,x x+，且 12 xx ，都有 ()()( ) 1221 0xxf xf x ,则不等式()( ) 1 215 x ff + +的解集为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，
9、考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 2a =，()() 1 121 nn nanan n + +=+，设 n n a b n = （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn=，求数列 n c的前n项和 理科数学试题（第4页共5页） 18. （本小题满分 12 分） 为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情 防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取 了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40,50 50
10、,60),60,70),70,80),80,90),90,),100，得到如图 所示的频率分布直方图 （1）求a的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表） ； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”请将下面的 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比赛 成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd =+ + . () 2
11、 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 19. （本小题满分 12 分） 在底面为菱形的四棱柱 1111 ABCDABC D 中， 111 ,60 ,2,ABADBADABAA= ,ACOABDO=I平面 1 A BD. （1）证明： 1 BC平面 1 A BD； （2）求二面角 1 BAAD 的正弦值. O D AB C C1 B1 A1 D1 理科数学试题（第5页共5页） 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab +=(0ab )的离心率为 6 3 ，以C的短轴为直径的圆与直线
12、 :3450lxy+=相切 （1）求C的方程； （2） 直线yxm=+交C于() 11 ,M x y，() 22 ,N xy两点， 且 12 xx 已知l上存在点P， 使得PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形， 若P在直线MN的右下方， 求m的值 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( )( ) e4 ln, 2 xxa f xax g x x = （1）求函数 ( )f x 的极值点； （2）当0a 时,当函数 ( )( )( )h xf xg x= 恰有三个不同的零点,求实数a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一
13、题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22. （本小题满分 10 分）选修4 4 ：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt = + = （t为参数） 以O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos= + （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 23. （本小题满分 1
14、0 分）选修4 5 ：不等式选讲 已知 0,0,0abc ，且2abc+= （1）求 2 abc+的取值范围； （2）求证： 149 18 abc + 理科数学试题（第 1 页共 16 页） 福州市福州市 2020 届届高高三三毕业班适应性毕业班适应性练习练习卷卷 数学(理科)详细解答及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如
15、果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 在复平面内，复数z对应的点与1i+对应的点关于实轴对称，则 i z = Ai1 Bi1 + C1 i+ D1i 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及其几何意义等基础知识，意在考查直 观想象、数学运算的数学核心素养 【答案】A 【解析】由题得1 iz
16、 = ,所以 1i i i 1 1 i1 iz+ = = .故选 A. 2. 已知集合() ,|20Ax yxy=+= ，() ,|10Bx yxmy=+ = 若AB = ， 则实数m = A2 B 1 2 C 1 2 D2 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推 理、数学运算等数学核心素养 【答案】C 【解析】因为AB = ，所以直线2 0xy+= 与直线 10xmy+ = 平行，所以 1 2 m =. 故选 C. 3. 已知两个单位向量 12 ,e e，若() 121 2eee，则 12 ,e e的夹角为 理科数学试题（第 2 页共 16 页） A 2
17、3 B 3 C 4 D 6 【命题意图】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理， 数学运算，直观想象的数学核心素养 【答案】B 【解析】因为() 121 2eee，所以() 121 20=eee ，所以 11 2 2 2=eee， 所以 12 cos,=e e 1 2 ，又因为 12 ,0,e e ，所以 12 , 3 =e e，故选 B. 4. 一组数据的平均数为m ，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a 得到一组新 数据，则下列说法正确的是 A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am+ C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n 【命题
18、意图】本题主要考查统计和统计量的理解等基础知识，意在考查数据分析等数 学核心素养 【答案】D 【解析】 由题意知： 这组新数据的平均数为am ， 方差为 2 a n， 标准差为a n .故选 D 5. 已知平面 平面，直线 ,lm= ，则“ml”是“m”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础 知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象的数学核心素养 【答案】C 【解析】若ml，则根据面面垂直的性质定理可得m ；若m ，则由l ， 可得ml.故选 C. 6. 若 () 3 3 1 2
19、3 1 log e,2 e ,abc = ，则 Aabc Bcab Cacb Dcba 【命题意图】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，意在考查逻辑 推理、数学运算的数学核心素养 【答案】B 理科数学试题（第 3 页共 16 页） 【解析】 () 2 1 3 0 3 2221a = ， 1 3 11 33 1 e2 e ac = = ，所以1ac.故选 B. 7. 若tan 3cos() 2 = ，则cos2= A1 B 7 9 C0或 7 9 D1或 7 9 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算 的数学核心素养 【答案】D 【解析】由tan
20、 3cos() 2 = 得 sin 2 3cos cos 2 = ,所以 cos 3cos sin = ,所 以cos0=或sin 3 1 = ,故 2 cos22cos11= = 或 2 cos212 7 9 sin= =.故选 D. 8. 抛物线 2 :2C yx=的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当 FPM为等边三角形时，其周长为 A2 B2 C3 2 D6 【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知 识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养 【答案】D 【解析】方法一、因为FPM为等边三角形，所以PM垂 直C的准线于M，
21、易知 4PMOF= ，因为 1 2 OF =，所 以 2PM = ，所以FPM的周长为326=，故选 D. 方法二、因为FPM为等边三角形，PF PM= ， 所以PM垂直C的准线于M，设 2 , 2 m Pm ，则 1 , 2 Mm ，所以 2 1 22 m PM =+， 又因为 1 0 2 F ，且PMMF= ，所以 2 2 2 111 2222 m m +=+，解得 2 3m =，所以 理科数学试题（第 4 页共 16 页） 2PM = ，所以FPM的周长为326=，故选 D. 9. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数 ( )sin2cos2 ,f xxx=+ 5 ( )sin 2g x
22、x =+ ，( ) co 7 sh xx = 的部分图象如图所示， 则 A.a为( ),f xb为( ),g x c为( )h x B.a为( ), h xb为( ),f xc为( )g x C.a为( ),g xb为( ),f x c为( )h x D.a为( ), h xb为( ),g xc为( )f x 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查逻辑推理、 直观想象、数学运算的数学核心素养 【答案】A 【解析】 ( )2sin 2 4 f xx =+ ， ( )g x，( )h x的最大值分别为 2，1，1，由于图象a 的最大值最大，故a为 ( )f x；( )g
23、x，( )h x的最小正周期分别为,2，图象b的最小 正周期比c小，故b为( ) g x，c为( )h x，故选 A. 10. 射线测厚技术原理公式为 0e t II =， 其中 0 II， 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收 系数工业上通常用镅 241（ 241Am ）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板 的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为 （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931， 结果精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.11
24、4 D0.116 【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质，在物理背景下考查学生的创新意识和 应用意识，意在考查逻辑推理，数学运算，数学建模的数学核心素养 【答案】C 【解析】依题意得 7.60.8 1 e 2 =，所以ln26.08=，所以 ln20.6931 0.114 6.0860.8 =，故 选 C. 11. 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的一条渐近线方程为20xy=，,A B 是C上关 于原点对称的两点，M是C上异于,A B的动点，直线,MA MB的斜率分别为 12 ,k k，若 1 12k，则 2 k的取值范围为 理科数学试题（第 5 页共 16 页
25、） A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 【命题意图】本题主要考查双曲线的概念与性质、直线和双曲线的位置关系等基础知 识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养 【答案】A 【解析】 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的一条渐近线方程为20xy=， 2ab=， 则双曲线的方程为： 22 22 1(0) 4 xy b bb =, 设() 11 ,A x y，() 00 ,M xy ，则() 11 ,Bxy ,所以 22 11 22 22 00 22 1 4 , 1 4 xy bb xy bb = = ()()(
26、)()()() ()() 101010101010 22 1010 1 , 44 xxxxyyyyyyyy xxxxbb + = + ， 即 12 1 4 kk=， 1 12k， 2 1 1 , 8 4 k .故选 A. 12. 在三棱锥PABC中，PA 底面ABC， ,6,8ABAC ABAC=，D是线段AC上一 点，且3ADDC=三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截 面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16，则球O的表面积为 A72 B86 C112 D128 【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础 知识，意在考查直观想象、逻
27、辑推理与数学运算的数学核心素养 【答案】C 【解析】将三棱锥PABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直 三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为 1 O，设 球的半径为R，2PAx=， 则球心O到平面ABC的距离为x， 即 1 OOx=， 连接 1 O A， 则 1 5O A =， 22 25Rx=+ 在ABC 中，取AC的中点为E，连接 11 ,O D O E，则 1 1 3 2 O EAB=， A B C 1 O O E D P 理科数学试题（第 6 页共 16 页） 1 2 4 DEAC=，所以 1 13O D =在 1 RtOO D中， 2 13ODx=+ ，由题意得到当截 面与直线O
28、D 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r，则 () 22222 251312rRODxx=+=， 所以最小截面圆的面积为12，当截面过球心时，截面面积最大为 2 R，所以 2 1216R = ， 2 28R =，球的表面积为 2 112R4= 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13. 曲线( ) sinf xxx= 在点() ,0 处的切线方程为_ 【命题意图】本题主要考查函数与导数和导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推 理、直观想象、数学运算的数学核心素养 【答案】 2 0xy + = 【解析】因为( ) sincosfxxxx=+
29、 ，所以( ) sincosf =+ = ， 所以在点() ,0 处的切线方程为() yx= ，即 2 0xy + =. 14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动 学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三 角形就是勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的 等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点， 则此点取自小勒洛三角形内的概率为_ 【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与 应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和
30、逻辑推理的数学核心素养 【答案】 1 9 【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，则小勒洛三角形 的面积为 () 2 1 2 2 32 3 462 a a a S 3 = = ，因为大小两个勒洛三角形，它们所对 应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积为 ()()() 2 2 2 2 39 2 aa S 33 = ， 若从大的勒洛三角形中随机取一点， 则此点取自小 理科数学试题（第 7 页共 16 页） 勒洛三角形内的概率为 1 2 1 9 S S P = 15. 已知ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c若()cossincoscos ,
31、ACCB= 2,2ac=，则角C大小为_ 【命题意图】 本题主要考查解三角形、 三角恒等变换等基础知识， 意在考查逻辑推理、 数学运算、直观想象的数学核心素养 【答案】 6 【解析】因为() cossincoscos ,ACCB= 所以()() cossincoscos,ACCAC= + 所以cossinsinsin,ACAC=所以() sincossin0,CAA= 因为() 0,sin0CC ，所以cossinAA=，则tan1A =，所以 4 A = ， 又 2 sinsin a AC =，则 1 sin 2 C =，因为ca 已知l上存在点P， 使得PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角
32、形， 若P在直线MN的右下方， 求m的值 【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位 置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算满分 12 分. 【解析】 （1）依题意， 22 3 005 1 4 b + + =， 2 分 因为离心率 22 6 3 cab e aa =， 所以 2 16 3 a a =，解得3a =， 4 分 所以C的标准方程为 2 2 1 3 x y+= 5 分 （2） 因为直线yxm=+的倾斜角为45， 且PMN是以PMN为顶角的等腰直角三 角形，P在直线MN的右下方， 所以NPx轴， 6 分 过M作 NP 的垂
33、线，垂足为Q，则Q为线段 NP 的中点， 所以() 12 ,Q x y，故() 122 2,Pxxy， 7 分 所以() 122 3 2450xxy+=，即()() 122 3 2450xxxm+=， 整理得 12 6450xxm+= 8 分 由 22 33,xy yxm += =+ 得 22 46330xmxm+=. 所以 22 3648480mm =+，解得22m , 1 分 当 0a 时， ( )0fx ,所以函数 ( )f x 无极值点； 2 分 当0a 时,令 ( )0fx =，解得 1 x a = . 由 ( )0 0 fx x ,解得 1 0x a . 故函数 ( )f x有极大
34、值点 1 a ，无极小值点. 4 分 综上，当 0a 时，函数 ( )f x 无极值点； 当0a 时,函数 ( )f x 有极大值点 1 a ，无极小值点. 5 分 （2）当0a 时, ( )( )( )() 4 ln0 2 xa h xf xg xaxx x =+， 所以 ( )() 2 22 144 0 aaxxa h xax xxx + = , 设 ( ) 2 4k xaxxa= +，则 2 1 16,a = 当 0 0a 即 1 4 a 时, ( )0h x ，所以 ( )h x 在( )0,+ 单调递减， 理科数学试题（第 14 页共 16 页） 所以 ( )h x不可能有三个不同的
35、零点； 6 分 当 0 0a 即 1 0 4 a ，所以( ) h x在() 12 ,x x上单调递增； 当 2 xx 时, ( )( )0,0k xh x . 所以 ( )m a在 1 0, 4 单调递增， 所以 ( ) 3 ln2 1111 3ln22ln40 44416 44m am =+ + ，即 2 1 0h a . 由零点存在性定理知， ( )h x在区间 2 2 1 ,x a 上有唯一的一个零点 0 x. 10 分 () 0 00 0000 0 44 lnln 2 44 0 4 2 41 , ax h xh a aax xxxx x + += + = 又 () 0 0h x= ，
36、所以 0 4 0h x = . 11 分 所以 1 0 4 0x x ，所以 ( )h x在区间() 1 0,x上有唯一的一个零点 0 4 x , 理科数学试题（第 15 页共 16 页） 故当 1 0 4 a 时, ( )h x存在三个不同的零点 0 0 4 ,2,x x . 故实数a的取值范围是 1 0, 4 . 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题
37、号后的方框涂黑 22. （本小题满分 10 分）选修4 4 ：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt = + = （t为参数） 以O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos= + （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 【命题意图】 本题主要考查直线的参数方程、 曲线直角坐标方程、 极坐标方程的互化， 圆的极坐标方程等基础知识， 意在考查直观想象、 逻辑推理与数学运算的数学核心素养 满 分 10 分. 【解析】 （1） 1
38、 C的普通方程为3xy= ，即30xy+= 2 分 2 C的直角坐标方程为 22 12xyx+= +，即() 2 2 12xy+= 5 分 （2）由（1）知， 2 C是以()1,0为圆心，半径 2r = 的圆， 圆心 2 C()1,0到 1 C的距离 103 2 22 2 d + =， 7 分 所以直线 1 C与圆 2 C相离，P到 1 C距离的最小值为 2 222dr= ； 8 分 最大值为 2 2dr+=+23 2= ， 9 分 所以P到 1 C距离的取值范围为2,3 2 10 分 23. （本小题满分 10 分）选修4 5 ：不等式选讲 已知 0,0,0abc ，且2abc+= （1）求
39、 2 abc+的取值范围； （2）求证： 149 18 abc + 【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查 理科数学试题（第 16 页共 16 页） 直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分 10 分. 【解析】 （1）依题意，2 0abc=+ ，故0 2a 1 分 所以() 2 22 17 2 24 abcaaa +=+=+ ， 3 分 所以() 22 7 2224 4 abc+=，即 2 abc+的取值范围为 7 ,4 4 5 分 （2）因为 0,0,0abc ， 所以() 1494949 14 bacacb abc abcabacbc +=+ 7 分 4949 14222 bacacb abacbc +， 8 分 142 42 92 3636+= 9 分 又因为2abc+=， 所以 149 18 abc + 10 分
