1、专题03 勾股定理知识网络重难突破一、勾股定理1勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方. a2+b2=c2.2理解勾股定理的一些变式：， .典例1（2018春泸县期末）在ABC中，AB17cm，AC10cm，BC边上的高等于8cm，则BC的长为_cm【答案】见解析【解析】解：过点A作ADBC于D，由勾股定理得，BD=AB2-AD2=15（cm），CD=AC2-AD2=6（cm），如图1，BCCD+BD21（cm），如图2，BCBDCD9（cm），故答案为：9或21【点睛】利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度作辅助线构造
2、出直角三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论典例2（2017秋漳州期末）如图，ABC中，C90，AC+BC6，ABC的面积为114cm2，则斜边AB的长是_cm【答案】5【解析】解：AC+BC6，（AC+BC）2AC2+2ACBC+BC236，ABC的面积为114，12ACBC=114，2ACBC11，AB=AC2+BC2=5，故答案为：5【点睛】根据题意得到AC2+2ACBC+BC236，根据三角形的面积公式得到12ACBC=114，根据勾股定理计算即可如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2典例3（2018春东辽县期末）如图，矩形ABCD中，AB8，BC4
3、，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，则重叠部分AFC的面积为_【答案】10【解析】解：易证AFDCFB，DFBF，设DFx，则AF8x，在RtAFD中，（8x）2x2+42，解得：x3，AFABFB835，SAFC=12AFBC10故答案为：10【点睛】因为BC为AF边上的高，要求AFC的面积，求得AF即可，求证AFDCFB，得BFDF，设DFx，则在RtAFD中，根据勾股定理求x，AFABBF本题中设DFx，根据直角三角形AFD中运用勾股定理求x是解题的关键典例4（2017秋孟津县期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8
4、，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y_【答案】22【解析】解：SA40，根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）SA40，x+y401822，即x+y22故答案为：22【点睛】先由SA40，再根据勾股定理的几何意义，得到x+10+（8+y）SA，由此得出x与y的数量关系以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和典例5（2017秋延庆县期末）如图，OP1，过P作PP1OP且PP11，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2OP1且P1P21，得OP2=3；又过P2作P2P3OP2且P2P31，得OP32；依此继续，得OP2018_，OPn_（n为自
5、然数，且n0）【答案】2019；n+1【解析】解：由题意得，OP1=2；OP2=3；OP3=4，则OP2018=2019，OPn=n+1，故答案为：2019；n+1【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2典例6（2018春抚顺期末）如图，平面直角坐标系中的每个小正方形边长为1，ABC的顶点在网格的格点上（1）画线段ADBC，且使ADBC，连接BD；此时D点的坐标是_（2）直接写出线段AC的长为_，AD的长为_，BD的长为_【答案】见解析【解析】解：（1）如图所示：D点的坐标是（0，4）；（2）线段AC的长为32+12=10，AD的长
6、为62+22=210，BD的长为32+12=10故答案为：（0，4）；10，210，10【点睛】（1）根据题意画出图形，进一步得到D点的坐标；（2）根据勾股定理可求线段AC的长，AD的长，BD的长；典例7（2018春新洲区期末）如图，四边形ABCD中，AC90，ABC135，CD6，AB2，则四边形ABCD的面积为_【答案】16【解析】解：延长AB和DC，两线交于O，C90，ABC135，OBC45，BCO90，O45，A90，D45，则OB=2BC，OD=2OA，OAAD，BCOC，设BCOCx，则BO=2x，CD6，AB2，6+x=2（2x+2），解得：x622，OB=2x62-4，BCO
7、C622，OAAD2+62-462-2，四边形ABCD的面积SSOADSOBC=12OAAD-12BCOC=12（62-2） 16，故答案为：16【点睛】延长AB和DC，两线交于O，求出OB=2BC，OD=2OA，OAAD，BCOC，设BCOCx，则BO=2x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出AOD和BOC的面积即可能解直角三角形求出BC的长度是解此题的关键典例8（2017秋嵩县期末）如图，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发
8、，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间【答案】见解析【解析】解：（1）BQ224（cm），BPABAP162114（cm ），B90，PQ（cm）；（2）BQ2t，BP16t，根据题意得：2t16t，解得：t=163，即出发163秒钟后，PQB能形成等腰三角形；（3）当CQBQ时，如图1所示，则CCBQ，ABC90，CBQ+ABQ90A+C90，AABQ，BQAQ，CQAQ10，BC+CQ22，t22211秒当CQBC时，如图2所示，则BC+CQ24
9、，t24212秒当BCBQ时，如图3所示，过B点作BEAC于点E，则BE=ABBCAC=121620=485，CE=BC2-BE2=122-(485)2=365，CQ2CE14.4，BC+CQ26.4，t26.4213.2秒综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形【点睛】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，PQB能形成等腰三角形，则BPBQ，由BQ2t，BP8t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQBQ时，则CCBQ，可证明AABQ，则BQAQ
10、，则CQAQ，从而求得t；当CQBC时，则BC+CQ12，易求得t；当BCBQ时，过B点作BEAC于点E，则求出BE，CE，即可得出t二. 勾股定理的证明勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个图形的面积来实现的.常见的用来证明勾股定理的图形有：典例1我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）ABCD【答案】D【解析】解：A、c2+12ab=12（a+b）（a+b），整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、412ab+c2（a+b）2，整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、412ab+（ba）2c2，整理得：
11、a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D【点睛】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键典例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中DAB90）求证：a2+b2c2【答案】见解析【解析】解：利用图1进行证明：证明：DAB90，点C，A，E在一条直线上，BCDE，则CEa+b，S四边形BCED
12、SABC+SABD+SAED=12ab+12c2+12ab，又S四边形BCED=12（a+b）2，12ab+12c2+12ab=12（a+b）2，a2+b2c2利用图2进行证明：证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DFECba，S四边形ADCBSACD+SABC=12b2+12ab又S四边形ADCBSADB+SDCB=12c2+12a（ba），12b2+12ab=12c2+12a（ba），a2+b2c2【点睛】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示
13、出四边形的面积是解本题的关键巩固练习1（2018春紫阳县期末）如图，矩形ABCD中，AB3，AD1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A2B5-1C10-1D5【答案】C【解析】解：AC=AB2+BC2=32+12=10，则AM=10，A点表示1，M点表示的数为：10-1，故选：C2（2018春郯城县期末）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为12，斜边长为5，则ab的值是（）A6B8C12D24【答案】C【解析】解：三角形的周长为12，斜边长为5，a+b+512，a+b7，a、b是直角三角形的两条直角边，a2+b252，由得
14、a2+b2（a+b）22ab52722ab52ab12，故选：C3如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE5，BE12，则EF的长是（）A7B8C72D73【答案】C【解析】解：AE5，BE12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长1257，EF=72+72=72；故选：C4（2018春腾冲市期末）在ABC中，C90，AC21，BC28，则高CD的长为_【答案】4.2【解析】解：如图，在RtABC中，AC21，BC28，AB=212+282=35SABC=12ACBC=122128294，又SABC=12ABCD=1235CD，1235CD
15、294，CD4.2故答案为：4.25（2018春孝感期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49，则正方形A、B、C、D的面积之和为_【答案】49【解析】解：最大的正方形的面积为49，由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为49，正方形A、B、C、D的面积之和为49，故答案为：496（2018秋乐亭县期末）如图，RtABC中，B90，AB8cm，BC6cm，D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为_秒【答案】254【解析】解：如图所示：RtABC中，B90，AB8cm，BC6cm，AC=AB2+BC2=62+82=10，ED是AC的中垂线，CE5，连接CD，CDAD，在RtBCD中，CD2BD2+BC2，即AD262+（8AD）2，解得：AD=254，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为254秒，故答案为：2547（2018春镇原县期末）如图，ABC中，CDAB于D，若AD2BD，AC3，BC2，求BD的长【答案】见解析【解析】解：设BDx，则AD2x，由勾股定理得，CD2AC2AD2，CD2BC2BD2，AC2AD2BC2BD2，即32（2x）222x2，解得，x=153，即BD的长为153
