1、专题04 勾股定理的逆定理知识网络重难突破一. 勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.典例1满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（）Ab2c2a2Ba：b：c3：4：5CCABDA：B：C9：12：15【答案】D【解析】解：b2c2a2则b2a2+c2ABC是直角三角形；a：b：c3：4：5，设a3x，b4x，c5x，a2+b2c2，ABC是直角三角形；CAB，则BA+C，B90，ABC是直角三角形；A：B：C9：12：15，
2、设A、B、C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x180，解得，x5，则A、B、C分别为45，60，75，ABC不是直角三角形；故选：D典例2如图，在四边形ABCD中，B90，ABBC2，AD1，CD3（1）求DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积【答案】见解析【解析】解：（1）连接AC，B90，ABBC2，BAC45，AD1，CD3，AD2+AC2=12+(22)2=9，CD29，AD2+AC2CD2，ADC是直角三角形，DAC90，DABDAC+BAC135（2）在 RtABC中，SABC=12BCAB=1222=2，在 RtADC中，SADC=12ADAC=12122=2
3、S四边形ABCD=SABC+SADC=2+2【点睛】（1）由于B90，ABBC2，利用勾股定理可求AC，并可求BAC45，而CD3，DA1，易得AC2+DA2CD2，可证ACD是直角三角形，于是有CAD90，从而易求BAD；（2）连接AC，则可以计算ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算ACD的面积，四边形ABCD的面积为ABC和ADC面积之和解题的关键是连接AC，并证明ACD是直角三角形典例3如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题（1）线段AB的长为_，BC
4、的长为_，CD的长为_；（2）连接AC，通过计算说明ACD和ABC是什么特殊三角形【答案】见解析【解析】解：（1）由勾股定理得：AB=22+12=5，BC=32+42=5，CD=22+22=22；故答案为：5，5，22；（2）AC=22+42=25，AD22+42=25，ACAD，ACD是等腰三角形；AB2+AC25+2025BC2，ABC是直角三角形【点睛】（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理的逆定理求出ACAD，即可判断ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形典例4如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD
5、5，DA52，求BD的长【答案】见解析【解析】解：作DMBC，交BC延长线于M，如图所示：则M90，DCM+CDM90，ABC90，AB3，BC4，AC2AB2+BC225，AC5，AD52，CD5，AC2+CD2AD2，ACD是直角三角形，ACD90，ACB+DCM90，ACBCDM，ABCM90，在ABC和CMD中ACB=CDMABC=MAC=CD=5 ABCCMD，CMAB3，DMBC4，BMBC+CM7，BD，【点睛】作DMBC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2AB2+BC225，求出AC2+CD2AD2，由勾股定理的逆定理得出ACD是直角三角形，ACD90，证出ACBCDM，得
6、出ABCCMD，由全等三角形的性质求出CMAB3，DMBC4，得出BMBC+CM7，再由勾股定理求出BD即可本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出ACD是直角三角形是解决问题的关键二. 勾股数1勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数 注意：勾股数必须是正整数.2常见的几组勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41注意：如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.典例1阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2z2的正整数解，即
7、满足勾股定理的三个正整数构成的一组数我国古代数学专著九章算术一书中，在历史上第一次给出该方程的解为x=12（m2n2），ymn，z=12（m2+n2），其中mn0，m、n是互质的奇数应用：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n5，求该直角三角形另两边的长【答案】见解析【解析】解：n5x（m252），y5m，z=12（m2+25）直角三角形的一边长为37分三种情况讨论，当x37时，12（m252）37解得m311（不合题意，舍去）当y37时，5m37，解得m=375（不合题意舍去）；当z37时，37=12（m2+n2）解得m7，mn0，m、n是互质的奇数m7把m7代入得，
8、x12，y35综上所述：当n5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35【点睛】讨论：当x37时，利用12（m252）37计算出m，然后分别计算出y和z；当y37时，利用5m37，解得m=375，不合题意舍去；当z37时，利用37=12（m2+n2）求出m7，从而得到当n5时，一边长为37的直角三角形另两边的长本题考查了勾股数：满足a2+b2c2 的三个正整数，称为勾股数其中三个数必须是正整数三. 勾股定理的应用1解勾股定理实际问题的一般步骤：仔细审题，读懂题意；找出或构造出与问题有关的直角三角形；在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；作
9、答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.2求立体图形表面的最短路径关键点：解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等运用平面上两点之间线段最短的道理，利用勾股定理求解典例1如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？【答案】见解析【解析】解：根据题意得：ACCD，ABD90在直角三角形ABD中，AB3000，AD5000，B
10、D=AD2-AB2=4000（m），设CDACx米，BC4000x（米），在RtABC中，AC2AB2+BC2，即x230002+（4000x）2解得：x3125，答：该超市与车站D的距离是3125米【点睛】根据题意，ACCD，ABD90，由AB、AD的长易求BD，设CDx米，则ACx，BCBDx在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解典例2如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行几米？【答案】见解析【解析】解：如图，设大树高为AB10m，小树高为CD4m，过C点作CEAB于E，则EBDC是矩形，连接AC，EB4m，EC
11、8m，AEABEB1046m，在RtAEC中，ACAE2+EC2=10（m），答：小鸟至少飞行10米【点睛】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出典例3生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图1，AB为一长度为6米的梯子（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（2）如图2，若梯子底端向左滑动（32-2）米，那么梯子顶端将下滑多少米？【答案】见解析【解析】解：（1）设梯子放平稳时，可以到达x米高的墙头，得x262（613）2解得：x42或x42，5.7232
12、.4932，它的顶端不能到达5.7米高的墙头（2）梯子底端向左滑动（32-2）米，ODOB+BD613+32-232米，OC=CD2-OD2=32米，ACAOCO42-32=2m答：梯子的顶端将下滑动2米【点睛】（1）在三角形ABC中利用勾股定理求解直角三角形即可（2）根据梯子底端向左滑动（32-2）米得出OD的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论典例4限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米/时一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判
13、断此车是否超速【答案】见解析【解析】解：在RtAMN中，AM50，MN30，AN=AM2-MN2=502-302=40米，在RtMNB中，BM34，MN30，BN=BM2-MN2=342-302=16米，ABAN+NB40+1656（米），汽车从A到B的平均速度为56511.2（米/秒），11.2米/秒40.32千米/时60千米/时，此车没有超速【点睛】在RtAMN中根据勾股定理求出AN，在RtBMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键典例5如图，有一艘货船和一艘
14、客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向【答案】见解析【解析】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x3x5解得x5，4x20，3x15，两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB15230，AC20240，BC50，AB2+AC2BC2，ABC是直角三角形，且BAC90，又货船沿东偏南10方向航行，客船航行的方向为北偏东10方向【点睛】（1）设两船的速度分别是4x
15、海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2BC2，可得ABC是直角三角形，且BAC90，再根据货船沿东偏南10方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10方向典例6某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为5m、12m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以12m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【答案】见解析【解析】解：如图1，在RtABC中，AC12m，BC5m，AB13m，（1）如图1，当ABAD时，CD5m，ABD的周长为13m+13m+5m+5m36m；（2）如图2，当ABBD时，CD8m，AD
16、=82+122=413m，ABD的周长是13m+13m+413m（26+413）m；（3）如图3，当DADB时，设ADx，则CDx5，则x2（x5）2+122，x=16910，ABD的周长是13m+16910m+16910m46.8m，答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是36m或 （26+413）m或 46.8m【点睛】根据勾股定理求出斜边AB，（1）当ABAD时，求出CD即可；（2）当ABBD时，求出CD、AD即可；（3）当DADB时，设ADx，则CDx5，求出即可本题主要考查对勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键巩固练习1由线
17、段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）Aa3，b4，c5Ba12，b13，c5Ca15，b8，c17Da13，b14，c15【答案】D【解析】解：A、32+4252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形故选：D2若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是_【答案】17【解析】解：3，4，a和5，b，13是两组勾股数，a5，b12，a+b17，故答案为：173九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木
18、，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_【答案】（x3）2+64x2【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x3）2+64x2，故答案为：（x3）2+64x2.4如图，四边形ABCD中，ADC90，AD4cm，CD3cm，AB13cm，BC12cm，求这个四边形的面积？【答案】见解析【解析】解：连接AC，AD4cm，CD3cm，ADC90，AC5（cm）SACD=12CDAD6
19、（cm2）在ABC中，52+122132即AC2+BC2AB2，ABC为直角三角形，即ACB90，SABCACBC30（cm2）S四边形ABCDSABCSACD30624（cm2）答：四边形ABCD的面积为24cm25如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的面积；（2）求BCD的度数【答案】见解析【解析】解：（1）S四边形ABCD57-1217-121224-1236；（2）连BD，BC25，CD，BD5，BC2+CD2BD2，BCD906如图，在ABC中，E点是AC的中点，其中BD2，DC6，BC，AD=26，求DE的长【答案】见解析【解析
20、】解：BD2+CD222+62（210）2BC2，BDC为直角三角形，BDC90，在RtADC中，CD6，AD26，AC2（26）2+6260，AC215，E点为AC的中点，DE=12AC=157从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐求杯子的高度【答案】见解析【解析】解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据题意得：（x+1）252+x2，解得：x12答：杯子的高度为12cm8如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO2
21、m，OAB30，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使OCD60，同时，梯子底端B也外移至点D求BD的长度，（结果保留根号）【答案】见解析【解析】解：在RtABO中，AO2，OAB30，AB=433，根据勾股定理知BO，由题意知DCAB=433，在RtCOD中，根据勾股定理知，DO2，所以BDDOBO2-233（米）9如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一个固定方向航行，“远航”号沿西南方向以每小时12海里的速度航行，“海天”号沿东南方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于A、B两处，求此时A、B之间的距离【答案】见解析【解析】解：如图，
22、由已知得，AP12560海里，PB16580海里，在APB中，APB90，由勾股定理得AP2+PB2AB2，即602+802AB2，AB100海里答：此时A、B之间的距离相距100海里10如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架当停止杆仰起并与地面成60角时，停止杆的端点C恰好与地面接触此时CA为0.7m在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明（参考数据：31.7）【答案】见解析【解析】解：不能通过如图，在AB之间找一点F，使BF2.5m，过点F作GFAB交CD于点G，AB3.3m，CA0.7m，BF2.5m，CFABBF+CA1.5m，ECA60，CGF30CG2CF3m，GF=CG2-CF2=32-152=3232.55（m），2.553这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过
