1、专题14 数据的分析知识网络重难突破一. 算数平均数一般地，对于个数，我们把1nx1+x2+x3+xn叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.典例1 （2018春蒙阴县期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x12，3x22，3x32，3x42，3x52的平均数是_【答案】4【解析】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，有（x1+x2+x3+x4+x5）2，那么另一组数据3x12，3x22，3x32，3x42，3x52的平均数是（3x12+3x22+3x32+3x42+3x52）4故答案为4【点睛】平均数的计算方法是求出所有数据
2、的和，然后除以数据的总个数先求数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：x=x1+x2+xnn 典例2 （2018春南江县期末）张老师公布班上6名同学的数学竞赛成绩时，有意公布了5个人的得分：78，92，61，85，75，又公布了6个人的平均分：80，还有一个未公布，这个未公布的得分是_【答案】89【解析】解：设这个未公布的得分是x，则：80，解得：x89故答案为：89【点睛】首先设这个未公布的得分是x，根据算术平均数可得80，再解即可此题主要考查了算术平均数，关键是掌握对于n个数x1，x2，xn，则（x1+x2
3、+xn）就叫做这n个数的算术平均数二. 加权平均数若个数的权分别是，则x1w1+x2w2+.+xnwnw1+w2+.+wn叫做这个数的加权平均数.注意：加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.典例1（2018春惠民县期末）某中学举行一次演讲比赛，分段统计参赛学生的成绩如下表（分数为整数，满分为100分），分数段（分）60x7070x8080x9090x100人数（人）2864则这次比赛的平均成绩为_分【答案】81【解析】解：20名学生的平均成绩：（652+758+856+954）（2+8+6+4）（130+600+510+380）2016202081（分）答：这次比赛
4、的平均成绩为81分故答案为：81【点睛】每组取组中值，利用平均数的定义进行计算即可本题考查了平均数的概念及用平均数估计总体成绩的方法典例2（2018春无棣县期末）某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：完成作业单元检测期末考试小张709080小王6075（1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩；（2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：m的权重，小张的期末评价成绩为81分，则小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分
5、才能达到优秀？【答案】见解析【解析】解：（1）小张的期末评价成绩=70+90+803=80，答：小张的期末评价成绩是80分；（2）依题意得，7011+2+m+9021+2+m+80m1+2+m=81，解得m7，经检查，m7是所列方程的解设小王期末考试分数为x，依题意列方程得60110+75210+710x=80，解，得x=842785，答：小王在期末应该至少考85分才能达到优秀【点睛】分析：（1）小张期末评价成绩（小张完成作业分+小张的单元检测+小张期末考试分）3，（2）先根据小张期末评价成绩及小张三项成绩求出期末考试成绩的权重因为期末评价成绩至少80分才是优秀，所以根据题意依据小王的期末评价
6、成绩80分来计算他的期末考试成绩即可本题考查的知识点是平均数和加权平均数的定义，比较基础典例3（2018春增城区期末）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录甲、乙、丙三个小组各项得分如表：小组研究报告小组展示答辩甲908574乙837984丙798291（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；（2）如果研究报告、小组展示、答辩按照5：3：2的权重确定各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？为什么？【答案】见解析【解析】解：（1）x甲=
7、90+85+743=83（分）、x乙=83+79+843=82（分）、x丙=79+82+913=84（分），从高分到低分确定小组的排名顺序为：丙、甲、乙；（2）85.3（分）、82.0（分）、82.3（分），甲组成绩最高【点睛】（1）根据算术平均数的定义计算可得；（2）根据加权平均数的定义计算可得本题主要考查平均数，解题的关键是掌握算术平均数和加权平均数的定义三. 中位数与众数1中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数注意：一组数据的中位数是唯一的2众数：一
8、般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数注意：一组数据的众数可能有一个或多个典例1（2018春宁江区期末）在重庆八中“青春飞扬”艺术节的钢琴演奏比赛决赛中，参加比赛的10名选手成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是_【答案】8.5分【解析】解：由折线统计图知这10位学生的成绩为：7、7.5、8、8、8.5、8.5、9、9、9、9.5，则这10名学生成绩的中位数是8.5+8.52=8.5（分），故答案为：8.5分【点睛】根据中位数的定义找出最中间的两个数，再求出它们的平均数即可此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个
9、数的平均数），叫做这组数据的中位数典例2（2018春如皋市期末）在某市举行的“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学捐款金额统计如下：金额（元）20303550100学生数（人）20105105则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是（）A20元B30元C35元D100元【答案】A【解析】解：数据20元出现了20次，次数最多，所以众数是20元故选：A【点睛】众数是一组数据中出现次数最多的数据本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据典例3（2018春黄陂区期末）某居民今年1至6月份（共6
10、个月）的月平均用水量5t，其中1至5月份月用水量（单位：t）统计如图所示，根据表中信息，该户今年1至6月份用水量的中位数和众数分别是（）A4，5B4.5，6C5，6D5.5，6【答案】D【解析】解：根据题意知6月份的用水量为56（3+6+4+5+6）6（t），1至6月份用水量从小到大排列为：3、4、5、6、6、6，则该户今年1至6月份用水量的中位数为5.5、众数为6，故选：D【点睛】先根据平均数的定义求出6月份的用水量，再根据中位数和众数的定义求解可得本题主要考查众数和中位数，解题的关键是根据平均数定义求出6月份用水量及众数和中位数的定义典例4（2018春商南县期末）某企业生产部统计了15名工
11、人某月的加工零件数：每人加工零件数540450300240210120人数112632（1）求出这15人该月加工零件数的平均数并直接写出中位数和众数；（2）若生产部领导把每位工人的月加工零件数定为260件，你认为合理否，为什么？【答案】见解析【解析】解：（1）x=115（5401+4501+3002+2406+2103+1202）260（件），中位数是：240件，众数是：240件；（2）不合适，因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性【点睛】（1）平均数加工零件总数总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或
12、由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数本题中应是第7个数众数又是指一组数据中出现次数最多的数据240出现6次（2）应根据中位数和众数综合考虑典例5（2018春沙河口区期末）某商场服装部为了调动营业员的积极性，计划实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个恰当的年销售目标，商场服装部统计了每位营业员在去年的销售额（单位：万元），并且计划根据统计制定今年的奖励制度下面是根据统计的销售额绘制的统计表：人数1374年销售额（万元）10853根据以上信息，回答下列问题：（1）年销售额在_万元的人数最多，年销售额的中位数是_万元，平均年
13、销售额是_万元；（2）如果想让一半左右的营业员都能获得奖励，你认为年销售额定位多少合适？说明理由；（3）如果想确定一个较高的奖励目标，你认为年销售额定位多少比较合适？说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）年销售额在5万元的人数最多，一共15人，年销售额的中位数是5万元，平均年销售额是110+38+75+431+3+7+4=5.4（万元）故答案为：5、5、5.4；（2）如果想让一半左右的营业员都能达到目标而得到奖励，年销售额可定为每月5万元（中位数），因为年销售额在5万元以上（含5万元）的人数有11人，所以可以估计，年销售额定为5万元，将有一半左右的营业员获得奖励（3）因为平均数、中位数和众数
14、分别为5.4万元、5万元和5万元，而平均数最大，所以年销售额定为每月5.4万元是一个较高的目标【点睛】（1）从统计图中可知年销售额在5万元的人最多，把年销售额的数从小到大排列，找出中位数，根据平均数公式求出平均年销售额（2）根据中位数来确定营业员都能达到的目标（3）根据平均数来确定较高的销售目标本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及运用它们解决实际问题四. 极差与方差1极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫做极
15、差一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小2方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作s.S2=1nx1-x2+(x2-x)2+.+(xn-x)2典例1（2018春顺义区期末）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为S甲2_S乙2（填或）【答案】【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S2甲S2乙故答案为：【点睛】根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大
16、，反之也成立典例2（2018春义安区期末）八年级甲、乙两班各派5名学生组队进行五人制足球赛他们的身高（单位：cm）如表：队员1队员2队员3队员4队员5甲班162164165166168乙班161163165167169设两队队员身高的平均数依次为，身高的方差依次为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（）Ax甲=x乙，S甲2S乙2Bx甲=x乙，S甲2S乙2C，S甲2S乙2D，S甲2S乙2【答案】A【解析】解：由表格可得，x甲=162+164+165+166+1685=165，x乙=161+163+165+167+1695=165，s甲2=(162-165)2+(164-165)2+(165-
17、165)2+(166-165)2+(168-165)25=4，8，x甲=x乙，s甲2s乙2，故选：A【点睛】根据表格中的数据可以分别计算出甲乙的平均数和方差，从而可以解答本题本题考查方差和平均数，解答本题的关键是明确方差和平均数的计算方法典例3（2018春大庆期末）若x1、x2、x3的方差为4，则2x1+3，2x2+3，2x3+3的方差为_【答案】16【解析】解：设x1、x2、x3的平均数为x，则2x1+3，2x2+3，2x3+3的平均数为，x1、x2、x3的方差为4，4，(2x1+3)-(2x+3)2+(2x2+3)-(2x+3)2+(2x3+3)-(2x+3)23=16，故答案为：16【点
18、睛】根据方差的定义可以解答本题本题考查方差，解答本题的关键是明确方差的计算方法典例4（2018春金平区期末）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm），请你用所学过的有关统计的知识回答下列问题（数据15，16，16，14，14，15的方差S甲2，数据11，15，18，17，10，19的方差S乙2）（1）分别求甲、乙两段台阶路的高度平均数；（2）哪段台阶路走起来更舒服？与哪个数据（平均数，中位数方差和极差）有关？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在总高度及台阶数不变的情况下，请
19、你提出合理的整修建议【答案】见解析【解析】解：（1）甲段台阶路的高度平均数=16（15+16+16+14+14+15）15，乙段台阶路的高度平均数=16（11+15+18+17+10+19）15；（2）S甲2S乙2，甲段台阶的波动小，甲段台阶路走起来更舒服；（3）每个台阶的高度均为15cm，使方差为0，游客行走比较舒服【点睛】（1）利用平均数的计算公式分别求出 甲、乙两段台阶路的高度平均数；（2）根据方差的性质解答；（3）根据方差的性质提出合理的整修建议本题考查的是平均数、方差，掌握算术平均数的计算公式、方差的计算公式是解题的关键 典例5（2018春长葛市期末）为了从甲、乙两名学生中选择一人参
20、加“文明城市创建”知识竞赛，在相同条件下对他们进行了10次测验，成绩如下：（单位：分） 甲成绩768490848l87888l8584 乙成绩828687 90 798l93907478（1）请完成下表：项目学生平均数中位数众数方差85分以上的频率甲84_8414.40.3乙8484_34_（2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行分析评价【答案】见解析【解析】解：（1）学生项目平均数中位数众数方差85分以上的频率甲84848414.40.3乙848490340.5故答案为84；90；0.5（2）甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从两人成绩的众数看，乙的成绩较好；甲
21、成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定；甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从（85分）以上的频率看，乙的成绩较好【点睛】（1）根据中位数、众数、频率的计算方法，求得甲成绩的中位数，乙成绩的众数，85分以上的频率（2）可分别从众数、方差、频率三方面进行比较本题重点考查平均数，中位数，众数及方差、频率的概念及求法，以及会用这些知识来评价这组数据 巩固练习1（2018春莒南县期末）在某次体育活动中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下：班级参加人数平均次数中位数方差甲班55135149190乙班55135151110下面有三个命题：甲班学
22、生的平均成绩高于乙班学生的平均成绩；甲班学生的成绩波动比乙班学生的成绩波动大；甲班学生成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀的人数（跳绳次数150次为优秀）其中正确的是（）ABCD【答案】D【解析】解：两个班的平均成绩均为135次，故错误；方差表示数据的波动大小，甲班的方差大于乙的，说明甲班的成绩波动大，故正确；中位数是数据按从小到大排列后，中间的数或中间两数的平均数，甲班的中位数小于乙班的，说明甲班学生成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀的人数，故正确故选：D2（2018秋新吴区期末）已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是（）A2B3C4D5【答案】B【
23、解析】解：这组数据有唯一的众数4，x4，将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4，则中位数为：3故选：B3（2018春硚口区期末）某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如表所示：使用寿命x/h60x100100x140140x180灯泡只数303040这批灯泡的平均使用寿命是（）A112hB124hC136hD148h【答案】B【解析】解：这批灯泡的平均使用寿命是8030+12030+16040100=124（h），故选：B4（2018春江油市期末）已知一组数据x1，x2，x3，xn的方差是7，那么数据x15，x25，x35，xn5的方差为（）A2B5
24、C7D9【答案】C【解析】解：由题意知，原数据的平均数为 x，新数据的每一个数都减去了5，则平均数变为 5，则原来的方差S12=1n（x1-x）2+（x2-x）2+（xn-x）27，现在的方差S22=1n（x15-x+5）2+（x25-x+5）2+（xn5-x+5）2=1n（x1-x）2+（x2-x）2+（xn-x）27，所以方差不变故选：C5（2017秋即墨区期末）在2018年元旦汇演中，18位评委给八年级一班比赛的打分如表格：成绩/分9.49.59.69.79.89.9评委人数235431则这组数据的众数和中位数分别是_【答案】9.6；9.6【解析】解：在这组数据中，9.6分出现了5次，出
25、现的次数最多，则众数是9.6分；把这组数据按照从小到大的顺序排列起来，则中位数是9.6+9.62=9.6分故答案为：9.6；9.66（2017秋宝丰县期末）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数是8，则另一组数据a1+10，a210，a3+10，a410，a5+10的平均数为_【答案】10【解析】解：数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数是8，a1+a2+a3+a4+a58540，a1+10+a210+a3+10+a410+a5+10a1+a2+a3+a4+a5+1050，数据a1+10，a210，a3+10，a410，a5+10的平均数为10故答案为107（2018春隆尧县期末）
26、某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是_分【答案】89.3【解析】解：小明的数学期末成绩是89.3（分），故答案为：89.38（2018春平谷区期末）在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：班级平均分中位数方差甲班92.595.541.25乙班92.590.536.06应用统计学知识分析_班成绩较好，理由是_（或甲班成绩好，甲乙两班平均水平一样，但甲班中位数大，高分段人数多）【答案】见解析【解析】解：甲班的平均
27、成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分，这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分，甲班的方差大于乙班的方差，乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；故答案为：乙；甲乙两班平均水平一样，但乙班方差小，成绩比较均衡9（2018春博罗县期末）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录甲、乙两个小组各项得分如下表：小组研究报告小组展示答辩甲918078乙798390（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分
28、确定小组的排名顺序；（2）如果研究报告、小组展示、答辩按照4：3：3计算成绩，哪个小组的成绩最高？【答案】见解析【解析】解：（1）甲组的平均成绩为91+80+783=83（分）、乙组的平均成绩为79+83+903=84（分），所以乙组第一名、甲组第二名；（2）甲组的平均成绩为914+803+7834+3+3=83.8（分），乙组的平均成绩为794+833+9034+3+3=83.5（分），所以甲组成绩最高10（2018春辉县市期末）某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如表：销售额（单位：万元）34567810销售员人数（单位：人）1321111（1）求销售额的平均数、众数、中位数；（2）今
29、年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？【答案】见解析【解析】解：（1）平均数x=110（31+43+52+61+71+81+101）5.6（万元）；出现次数最多的是4万元，所以众数是4（万元）；因为第五，第六个数均是5万元，所以中位数是5（万元）（2）今年每个销售人员统一的销售标准应是5万元理由如下：若规定平均数5.6万元为标准，则多数人无法或不可能超额完成，会挫伤员工的积极性；若规定众数4万元为标准，则大多数人不必努力就可以超额完成，不利于提高年销售额；若规定中位数5万元为标准，则大多数
30、人能完成或超额完成，少数人经过努力也能完成因此把5万元定为标准比较合理11（2018秋历下区期末）为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）被抽查学生阅读时间的中位数为_小时，众数为_小时，平均数为_小时（2）已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？【答案】见解析【解析】解：（1）12+20+10+5+350，被抽查学生阅读时间的中位数为：第25和第26个学生阅读时间的平均数2，众数为2，平均数2.34，故
31、答案为：2，2，2.34；（2）150010+5+350=540，答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有540人12（2018春开鲁县期末）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）七年级a85bS七年级2八年级85c100160（1）根据图示填空：a_，b_，c_；（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差S七年级2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定【答案】见解析【解析】解：（1）七年级的平均分a=75+80+85+85+1005=85，众数b85，八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c80；故答案为：85，85，80（2）由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，故七年级决赛成绩较好；（3）S2七年级=(75-85)2+(80-85)2+2(85-85)2+(100-85)25=70（分2），S2七年级S2八年级七年级代表队选手成绩比较稳定
