1、专题16 相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1. 对应角相等；2. 对应边成比例；3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4. 周长之比等于相似比；5. 面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于ABC，ADBC，设，试用a、h的代数式表示正方形的边长.例题与求解 【例1】如图，已知ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E，F，G，若，则FG的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中
2、间比的代换. 【例2】如图，已知ABC中，DEGFBC，且， 则（ ） （黑龙江省中考试题）A. B. C. D. 解题思路：ADE，AFG都与ABC相似，用ABC面积的代数式分别表示ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积. 【例3】如图，在ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9和49，求ABC的面积. （第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质. 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以
3、得到： FDP IPE PHG ABC； ； ； .上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明. 【例4】如图，ABC中，O是三角形内一点，满足.求证：. （北京大学自主招生考试试题）解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设P是ABC内一点，满足，称点P是ABC的布洛卡点，则有. 【例5】如图，在梯形ABCD中，ADBC，. 动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.（1）求BC的长； （2）当MNAB时，求
4、t的值； （3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形. （济南市中考试题） 解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：勾股定理；相似三角形面积比等于相似比的平方. 【例6】 设A1B1C1的面积为S1，A2B2C2的面积为S2，当A1B1C1A2B2C2，且时，则称A1B1C1与A2B2C2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD，ADBC，连接AC. （厦门市中考试题） （1）若AD=DC，求证：DAC与ABC有一定的“全等度”； （2）你认为：DAC与ABC有一定的
5、“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障. 能力训练A级1. 如图，在ABC与BED中，若，且ABC与BED的周长之差为10cm，则ABC的周长为 cm. （第1题） （第2题） （第3题）2. 如图，ABC中，DEAC. 若ABC的面积为S，则ADE的面积为 . （苏州市中考试题）3. 如图，在ABC中，DEBC，DE，CD交于F，且，则 . 4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角
6、边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为 cm. （武汉市中考试题） 5. 如图，ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么（ ）A. B. C. D. （第5题） （第6题） （第7题）6. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，BC=CD，E为梯形内一点，且. 将BEC绕点C旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连接EF交CD于点M. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D.（荆州市中考试题）7. 如图，ABC中，DEBC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D.8.
7、 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，N点在CD上. 若，则的值为（ ）A. B. C. D.（第8题） （第9题）9. 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，. 求证：.10. 如图1，在RtABC中，ADBC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC于点E. 图1 图2（1）求证：ABF COE； （2）当O为AC边中点，时，如图2，求的值； （3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值.（武汉市中考试题）11. 如图，ABC中，D在AB边上移动（不与A，B重合），DEBC交AC于E，连接CD. 设，.（1）当D为AB中点时，求的值；（2）当，用x的代数式表示y，并求
8、x的取值范围；（3）是否存在点D，使得？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.（福州市中考试题） 12. 在等腰ABC中，. 动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且MNBC. 将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P .（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上；（2）设，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式. 当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题） B级1. 如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB. 若ADE，EFG，GIC的面积分别为20cm2，45 cm2，80 cm2，则ABC的面积为
9、 . （第1题） （第2题）2. 如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD于P点，已知，则的值是 . （绍兴市中考试题）3. 如图，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR，BOP和CRQ的面积分别是，和， 那么正方形OPQR的边长是（ ） （全国初中数学联赛试题）A. B. C.2 D.3（第3题） （第4题） （第5题） 4. 如图，梯形ABCD中，ABCD，且，EFCD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分， 则（ ） （“希望杯”邀请赛试题） A.2 B. C. D.5. 如图，ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且. 如果ABC，EBD，ADC的周长依次是m，m1，m2，
10、证明：.（全国初中数学联赛试题）6. 如图，P是ABC内的一点，等长的三条线段DE，FG和HI分别平行于边AB，BC和CA，并且，. 求证：. （江苏省竞赛试题）（第6题） （第7题）7. 如图，锐角ABC中，PQRS是ABC的内接矩形，且，其中n为不小于3的自然数. 求证：为无理数. （上海市竞赛试题）8. 如图，已知直线l1的解析式为，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为. 又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t秒. （1）求直线l2的解析式； （2
11、）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式； （3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形？（山西省中考试题）9. 如图，设ABC三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：ABC为正三角形. （江苏省竞赛试题） 10. 在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知，连接DE与AF交于点P，连接CP. （1）如图1，当时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值. （2）如图2，当时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度. 求的值； 求证：CPAF. （3）如图3，当时，请直接写出用含k的式子表示的的值. 图1 图2 图3 11. 在直角梯形ABCD中，CBOA，. 分别以OA，OC边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求点B的坐标； （2）已知D，E分别为线段OC，OB上的点，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（山西省中考试题） AC=BD
