1、专题13 一次函数的应用知识网络重难突破应用题常见的关于一次函数的实际问题的模型有：单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.典例1 （2018春抚顺期末）如图所示的是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x（千米）与计费y（元）之间的函数关系图象有下列说法“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；“顺风车“行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；点A的坐标是（6.5，10.4）甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元其中，正确的个数为（）A1B2C3D4【答案】D【解析
2、】解：根据“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系图象可知：行驶里程不超过5公里计费8元，即正确；“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为（14.65）（102）1.2（元），故正确；设x5时，“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y1k1x+b1，将点（5，8）、（10，16）代入函数解析式得：，解得：k1=1.6b1=0“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y11.6x；当x2时，设“滴滴顺风车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y2k2x+b2，将点（2，5）、（10，14.6）代入函数
3、解析式得：5=2k2+b214.6=10k2+b2，解得：“滴滴顺风车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y21.2x+2.6联立y1、y2得：，解得：A点的坐标为（6.5，10.4），故正确；令x15，y11.61524；令x15，y21.215+2.620.6y1y22420.63.4（元）即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，故正确综上可知，正确的结论个数为4个故选：D【点睛】根据“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系图象的拐点为（5，8），即可得知结论成立；根据“单价超出费用超出距离”即可算出）“顺风车”行驶里程
4、超过2公里的部分，每公里计费价格，从而得知结论成立；设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立成方程组，解方程组即可得出A点的坐标，从而得知结论成立；将x15分别带入y1、y2中，求出费用即可判定结论成立典例2（2018春抚宁区期末）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时），图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修），请根据图象所提供的信息，解决如下问题：（1）求乙车所行路程y与时
5、间x的函数关系式；（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）【答案】见解析【解析】解：（1）设乙车所行使路程y与时间x的函数关系式为yk1x+b1把（2，0）和（10，480）代入，得2k1+b1=010k1+b1=480，解得：，故y与x的函数关系式为y60x120（2）由图可得，交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y606120240，则F点坐标为（6，240）故两车在途中第二次相遇时它们距出发地的路程为240千米（3）设线段BC对应的函数关系式为yk2x+b2，把（6，240）、（8，480）代入，得6k2+
6、b2=2408k2+b2=480，解得故y与x的函数关系式为y120x480则当x4.5时，y1204.548060可得：点B的纵坐标为60，AB表示因故停车检修，交点P的纵坐标为60，把y60代入y60x120中，有6060x120，解得x3，则交点P的坐标为（3，60）交点P表示第一次相遇，乙车出发321小时，两车在途中第一次相遇【点睛】（1）根据题意，设出乙车所行路程y与时间x的函数关系式，把点的坐标代入即可求出函数关系式；（2）根据乙车所行路程的解析式，利用点F的横坐标，求出F的纵坐标即可；（3）求出线段BC对应的函数关系式，求出点P的坐标，计算两车在途中第一次相遇的时间本题考查了函数
7、的图象与性质的应用问题，也考查了求函数的解析式与函数值的应用问题，是综合性题目典例3（2018春莒南县期末）某超市销售10套A品牌运动装和20套B品牌的运动装的利润为4000元，销售20套A品牌和10套B品牌的运动装的利润为3500元（1）该商店计划一次购进两种品牌的运动装共100套，设超市购进A品牌运动装x套，这100套运动装的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若B品牌运动装的进货量不超过A品牌的2倍，该商店购进A、B两种品牌运动服各多少件，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A品牌运动装出厂价下调，且限定超市最多购进A品牌运动装70套，A品牌运动装
8、的进价降低了m（0m100）元，若商店保持两种运动装的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100套运动服销售总利润最大的进货方案【答案】见解析【解析】解：（1）设每套A种品牌的运动装的销售利润为a，每套B品牌的运动装的销售利润为b元得10a+20b=400020a+10b=3500，解得：，所以y100x+150（100x），即y50x+15000（2）根据题意得：100x2x，解得：x33，y50x+15000，500，y随x的增大而减小x为正整数，当x34时，y取得最大值，此时100x66，即超市购进34套A品牌运动装和66套B品牌运动装才能获得最大利润；（3）根据题意得
9、：y（100+m）x+150（100x），即y（m50）x+15000，（33x70）当0m50时，m500，y随x的增大而减小当x34时，y取得最大值，超市购进34套A品牌运动装和66套B品牌运动装才能获得最大利润；当m50时，m500，y15000，即超市购进A品牌的运动装数量满足3313x70的证书是，均获得最大利润；当50m100时，m500，y随x的增大而增大，x70时，y取得最大值，即超市购进70套A品牌运动装和30套B品牌运动装才能获得最大利润【点睛】（1）设每套A种品牌的运动装的销售利润为a，每套B品牌的运动装的销售利润为b元，然后依据超市销售10套A品牌运动装和20套B品牌的
10、运动装的利润为4000元，销售20套A品牌和10套B品牌的运动装的利润为3500元列方程组求解即可，然后依据题目中的数量关系列出y与x之间的函数关系式即可；（2）依据B品牌运动装的进货量不超过A品牌的2倍列不等式可求得x的取值范围，然后依据一次函数的增减性进行解答即可；（3）先依据题意得到y与x的函数关系式，然后分为0m50；m50；50m100三种情况分类解答即可典例4（2018春中山市期末）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2元收费如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.5元收费设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元（1）分别写出当每月
11、用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；（2）若某用户5月份和6月份共用水45吨，且5月份的用水量不足20吨，两个月共交水费95元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？【答案】见解析【解析】解：（1）当0x20时，y2x；当x20时，y220+2.5（x20）2.5x10；（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45m）吨，根据题意，得：2m+2.5（45m）1095，解得：m15答：该户居民5月份用水15吨，6月份用水量为30吨【点睛】（1）分别根据：未超过20吨时，水费y2相应吨数；超过20吨时，水费y220+超过20吨的吨数2.5；列出函数解析式；（2）设该
12、户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45m）吨，然后依据两个月共交水费95元列方程求解即可本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键典例5（2018春庐江县期末）某风景区计划在绿化区域种植银杏树，现甲、乙两家有相同的银杏树苗可供选择，其具体销售方案如下：甲乙购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过500棵时800元/棵不超过1000棵时800元/棵超过500棵的部分700元/棵超过1000棵的部分600元/棵设购买银杏树苗x棵，到两家购买所需费用分别为y甲元、y乙元（1）该风景区需要购买800棵银杏树苗，若都在甲家购买所要费用为_元，
13、若都在乙家购买所需费用为_元；（2）当x1000时，分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该风景区的负责人，购买树苗时有什么方案，为什么？【答案】见解析【解析】解：（1）甲家购买所要费用500800+300700400000+210000610000；都在乙家购买所需费用800800640000故答案为：610000； 640000（2）当x1000时，y甲800500+700（x500）700x+50000，y乙8001000+600（x1000）600x+200000，x为正整数，（3）当0x500时，到两家购买所需费用一样；当500x1000时，甲家有优惠而乙家无优惠，所
14、以到甲家购买合算；又y甲y乙100x150000当y甲y乙时，100x1500000，解得x1500，当x1500时，到两家购买所需费用一样；当y甲y乙时，100x1500000，解得x1500，当500x1500时，到甲家购买合算；当y甲y乙时，100x1500000，解得x1500，当x1500时，到乙家购买合算综上所述，当0x500时或x1500时，到两家购买所需费用一样；当500x1500时，到甲家购买合算；当x1500时，到乙家购买合算【点睛】（1）、（2）依据表格提供的数据，然后结合公式总价单价数量进行计算即可；（3）分为y甲y乙，y甲y乙，y甲y乙三种情况进行讨论即可本题主要考查
15、的是一次函数的应用，明确题目中涉及的数量关系是解题的关键典例6（2018春黄岛区期末）在2018春季环境整治活动中，某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式；（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并
16、求出最低费用【答案】见解析【解析】解：（1）设乙队每天能完成绿化面积为am2，则甲队每天能完成绿化面积为2am2根据题意得： 解得a40经检验，a40为原方程的解则甲队每天能完成绿化面积为80m2答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m2、40m2（2）由（1）得80x+40y1600整理的：y2x+40（3）由已知y+x252x+40+x25解得x15总费用W0.6x+0.25y0.6x+0.25（2x+40）0.1x+10k0.10W随x的增大而增大当x15时，W最低1.5+1011.5【点睛】（1）设出两队的每天绿化的面积，以两队工作时间为等量构造分式方程；（2）以（1）为基础
17、表示甲乙两队分别工作x天、y天的工作总量，工作总量和为1600；（3）用甲乙两队施工的总天数不超过25天确定自变量x取值范围，用x表示总施工费用，根据一次函数增减性求得最低费用本题为代数综合题，考查了分式方程、一元一次不等式、列一次函数关系式及其增减性典例7（2018春平定县期末）我省已经多年实行居民阶梯电价收费，2018年收费标准如下表：山西省居民生活用电电量分档和电价标准类别用电量（千瓦时/户月）电价标准（元/千瓦时）一档13400.477二档3415200.527三档521以上0.777（1）小军家某月份交纳电费225.42元，小军家这个月实际用电量是多少千瓦时？（2）小红家某月因为家里
18、装修，用电一定超过520千瓦时，设小红家这个月用电量为x千瓦时，请写出应缴纳电费y（元）与x之间的函数关系式；若用电量为600千瓦时，应该缴纳电费多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）设小军家这个月实际用电量是x千瓦时3400.477162.18，162.18+0.527（520340）257.04，340x520由题意，可得3400.477+0.527（x340）225.42，解得x460答：小军家这个月实际用电量是460千瓦时；（2）根据题意，得y3400.477+0.527（520340）+0.777（x520），整理，得y0.777x147，即小红家这个月应缴纳电费y（元）与x之间的
19、函数关系式为y0.777x147当x600时，y0.777600147319.2即若用电量为600千瓦时，应该缴纳电费319.2元【点睛】（1）设小军家这个月实际用电量是x千瓦时首先判断出340x520再根据小军家这个月交纳电费225.42元列出方程，求解即可；（2）根据阶梯电价收费标准列出y关于x的函数关系式，再将x600代入，计算对应的y值即可本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解阶梯电价收费标准是解题的关键典例8（2018秋蚌埠期末）A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B
20、市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过9200元，共有几种调运方案？（3）写出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？【答案】见解析【解析】解：设B市运往C村机器x台，根据题意得：（1）W300x+500（6x）+400（10x）+80012（10x）200x+8600W200x+8600；（2）运费不超过9200元W200x+86009200， 解得x30x6，0x3则x0，1，2，3，所以有四种调运方案；（3）0x3，且W200x+8600，W随x的增大而增大，当x0时，W的值最小，最小值
21、为8600元，此时的调运方案是：B市运至C村0台，运至D村6台，A市运往C市10台，运往D村2台，最低总运费为8600元【点睛】（1）给出B市运往C村机器x台，再结合给出的分析表，根据等量关系总运费A运往C的钱+A运往D的钱+B运往C的钱+B运往D的钱，可得函数式；（2）列一个符合要求的不等式；（3）根据函数式的性质以及自变量的取值范围求解此题考查一次函数的应用，函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现巩固练习1.（2018春沙坪坝区校级期末）
22、初二（3）班的全体同学在体测当天沿着同一条路匀速从名校联中班级教室出发到重庆一中本部操场参加体育测试，行进到本部综合楼时班主任老师发现未带相关体测器材，立即派小赵同学原路匀速跑回本班教室取器材（取器材时间为1分钟），然后马上又以原速的去追赶班级队伍当途中再次经过综合楼时，小赵发现班级队伍在自己前面不远处，于是他又以之前的速度追赶班级队伍，结果仍然比班级队伍晚1.5分钟到达本部操场如图所示，设小赵与本部操场之间距离为y（m），小赵所用时间为x（min），则当小赵途中再次经过综合楼时，班级队伍（队伍长度忽略不计）离本部操场的距离是_米【答案】390【解析】解：由图可知，名校联中离一种本部操场的距离
23、为900m，教室离综合楼的距离为900720180m，综合楼离操场的距离为720m，队伍的速度为（900720）360m/min队伍从教室到操场用时，9006015min小赵总共用时，15+1.5115.5min设小赵跑步的速度为vm/min，则有3解得，v90则小赵从返回到再次到综合楼用时为18090+1+180（90）min队伍从综合楼往前走了60112=330（米）离操场还有720330390（米）故答案为3902.（2018春资阳期末）某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A、B两种运动鞋，其中A种运动鞋的进价比B运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A运动鞋的数量与用2560元
24、购进B运动鞋的数量相同（1）求两种运动鞋的进价；（2）若A运动鞋的售价为250元/双，B运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设A运动鞋进货m双，且90m105，要使该专卖店获得最大利润，应如何进货？【答案】见解析【解析】解：（1）设A种运动鞋的进价为x元，解得x100，经检验，x100是原分式方程的解，x2080，答：A运动鞋的进价价为100元/双，B运动鞋的进价是80元/双；（2）设总利润为w元，则w（250100）m+（18080）（200m）50m+20000，500，w随m的增大而增大，又90m105，当m105时，w取得最大值，200m95，答：要使该专卖店获得
25、最大利润，此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双3（2018春和平区期末）某公司计划组织员工外出，甲、乙旅行社的服务质量相问，且对外报价都是300元/人，该公同联系时，甲旅行社表示可给每人八折优惠；乙旅行社表示可免去一人的费用，其余人九折优惠（1）根据题意，填写下表：外出人数（人）1011甲旅行社收费（元）_2640乙旅行社收费（元）2430_（2）设该公司此次外出有x人，选择甲旅行社的费用为y1元，选择乙旅行社的费用为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式（3）该公司外出人数在什么范围内，选甲旅行社划算？【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意，甲旅行社收费为3000.81
26、02400；甲旅行社收费为3000.9（111）2700；（2）由题意可得甲旅行社的费用：y13000.8x240x乙旅行社的费用：y23000.9（x1）270x270（3）当y1y2时，240x270x270，解得x9当公司外出人数大于9人时，选甲旅行社划算4（2018春梁平区期末）2018年5月，某城遭遇暴雨水灾，武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C地营救受困群众，途经B地时，由所携带的救生艇将B地受困群众运回A地，冲锋舟继续前进，到C地接到群众后立刻返回A地，途中曾与救生艇相遇，冲锋舟和救生艇距A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数图象如图所示，假设群众上下冲
27、锋舟和救生艇的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变（1）冲锋舟从A地到C地的时间为_分钟，冲锋舟在静水中的速度为_千米/分，水流的速度为_千米/分（2）冲锋舟将C地群众安全送到A地后，又立即去接应救生艇，已知救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分钟）之间的函数关系式为ykx+b，若冲锋舟在距离A地千米处与救生艇第二次相遇，求k、b的值【答案】见解析【解析】解：（1）由图象可得，冲锋舟从A地到C地的时间为12（2010）24（分钟），设冲锋舟在静水中的速度为a千米/分钟，水流的速度为b千米/分钟，20=24(a-b)20=(44-24)(a+b)，解得，故答案为：2
28、4，；（2）冲锋舟在距离A地千米时，冲锋舟所用时间为：2031112-112=8（分钟），救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分钟）之间的函数关系式为ykx+b过点（12，10），（52，），解得，k=-112b=11，即k、b的值分别是，115（2018春青山区期末）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10x70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表 x单位：台）102030y（单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式；（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足
29、如图所示的函数关系该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润（注：利润售价成本）若该厂每月生产的这种机器当月全部售出，则每个月生产多少台这种机器才能使每台机器的利润最大？【答案】见解析【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为ykx+b，得k=-0.5b=65，即y与x的函数关系式为y0.5x+65（10x70，且为整数）；（2）设z与a之间的函数关系式为zma+n，得m=-1n=90，z与a之间的函数关系式为za+90，当z40时，40a+90，得a50，当x40时，y0.540+6545，4050404520001800200（万元），答：该
30、厂第一个月销售这种机器的总利润为200万元；设每台机器的利润为w万元，w（x+90）（0.5x+65）x+25，10x70，且为整数，当x10时，w取得最大值，答：每个月生产10台这种机器才能使每台机器的利润最大6（2018春伊通县期末）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元/张，另一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游x人，购买门票需要y元（1）如果每人分别买票，求y与x之间的函数解析式（2）如果买团体票，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案【答案】见解析【解析】解：（1）散客门票：y40x；（2）团体票：y400.8x32x（x10）；（3）因为4083210，所以当人数为8人，x8时，两种购票方案相同；当人数少于8人，x8时，按散客门票购票比较省钱；当人数多于8人，x8时，按团体票购票比较省钱
