1、第二节一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是),(txu0 xoxu中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.),(txux0 处,),(0txu),(0txu关于 t 的将振幅定义定义1.),(yxfz 在点),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为00yyxxxz ),(00yx的某邻域内00yyxxxf xx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx;),
2、(00yxfx;00yyxxxz 0ddxxxy.),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,),(,),(1yxfyxfx),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy记为yy00y或 y 偏导数存在,yzyfyz),(zyxfx例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导
3、数的概念可以推广到二元以上的函数.lim0 x),(zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy0
4、0注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!例例1.求223yyxxz在点(1,1)处的偏导数.例例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 例例3.求222zyxr的偏导数.求证偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是
5、z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶)(yyxznn1偏导数为11nnxzyxe22例例5.求函数yxez2.23xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 0
6、,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,022 yx例例6.证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxuu方程,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x
7、,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择
8、方便的求导顺序)思考与练习思考与练习解答提示:P130 题 5，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00P130 题 5,62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 时,P130 题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,)1(2.22yxyyxzxxyxyxzyyln1.12xxyzy222ln,)(xuufEx:1 设,)(ufz 方程)(uuxytdtp)(确定 u 是 x,y 的函数,)(,)(可微其中uuf)(),(utp连续,且,1)(u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0
