1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容:第十二章 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法:202010)()(xxaxxayy将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数,21aa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.设所求解为本质上是待定系数法nnxxa)(0机动 目录 上页 下页
2、 返回 结束 例例1.2yxy求方程解解:根据初始条件,设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程,得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数,得,01a,212a,03a,04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 52201xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶齐次线性微分方程二、二阶齐次线性微分方程 0)()(yxQyxPy定理定理.nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann!)1(1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此
3、nnnxay0nnxn4!)1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.0)1(2)1(2 ynnyxyx)(为常数n解解:,12)(2xxxP21)1()(xnnxQ内都可在)1,1(求解勒让德(Legendre)方程 展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为,0kkkxay代入:22)1(kkkxakkkkkxakk2)1(kkkxak120)1(0kkkxann整理后得:0)1)()1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数,得),
4、1,0()1)(2()1)(2kakkknknakk例如:02!2)1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得勒让德方程的通解:420!4)3)(1()2(!2)1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn)11(x上式中两个级数都在(1,1)内收敛,10,aa可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.作业作业 P323 1(1),(4);2(2)第12节 目录 上页 下页 返回 结束
