1、第二节不等式的证明,总纲目录,教材研读,1.比较法,考点突破,2.综合法与分析法,3.反证法,考点二用综合法、分析法证明不等式,考点一比较法证明不等式,考点三放缩法证明不等式,4.放缩法,5.平均值不等式,考点四柯西不等式的应用,1.比较法(1)作差法(a、bR):a-b0?ab;a-b0,b0):?1?ab;?1?ab1,x=a+?,y=b+?,则x与y的大小关系是?()A.xyB.xb1得ab1,a-b0,所以?0,即x-y0,所以xy.,A,3.若a,b,mR+,且ab,则下列不等式一定成立的是?()A.?B.?C.?D.?b,?-?=?0,即?,故选B.,B,4.设a,b,m,nR,且
2、a2+b2=5,ma+nb=5,则?的最小值为.,答案,解析根据柯西不等式得?=?|ma+nb|=?,当且仅当?=?(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=?时取等号,故?的最小值为?.,5.设a0,b0,若?是3a与3b的等比中项,求证:?+?4.,证明由?是3a与3b的等比中项得3a3b=3,即a+b=1.要证原不等式成立,只需证?+?4,即证?+?2.因为a0,b0,所以?+?2?=2?当且仅当?=?,即a=b=?时,取等号?,所以?+?4.,6.若a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求?+?+?的最大值.,解析(?+?+?)2=(1?+1?+1?)2(12+12+12
3、)(a+b+c)=3.当且仅当a=b=c=?时,等号成立.(?+?+?)23.故?+?+?的最大值为?.,典例1设a,b是非负实数,求证:a3+b3?(a2+b2).,考点一比较法证明不等式,考点突破,证明a,b是非负实数,a3+b3-?(a2+b2)=a2?(?-?)+b2?(?-?)=(?-?)(?)5-(?)5.当ab时,?,从而(?)5(?)5,得(?-?)(?)5-(?)50;当a0.所以a3+b3?(a2+b2).,方法技巧作差比较法证明不等式的步骤(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式
4、的性质判断出差的正负.注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)步要判断商与1的大小.,1-1已知a,b都是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.,证明(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因为a,b都是正数,所以a+b0.又因为ab,所以(a-b)20.于是(a+b)(a-b)20,即(a3+b3)-(a2b+ab2)0,所以a3+b3a2b+ab2.,1-2已知a,b(0,+),证明:aabb(ab?.,证明a,b(0,+),?=?=?,当a=b时,?=1.当ab时,?1,?0,则?1.当ba时,01.综上可知,aabb(ab?成
5、立.,典例2(2017课标全国理,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.,考点二用综合法、分析法证明不等式,2-2(2015课标全国理,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则?+?+?;(2)?+?+?是|a-b|cd,所以(?+?)2(?+?)2.因此?+?+?.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,典例3若a,bR,求证:?+?.,考点三放缩法证明不等式,证明当|a+b|=0时,不等式显然成立.当|a+b|0时,由01;利用函数的单调性;真分数性质“若00,
6、则?”.(2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.,3-1设n是正整数,求证:?+?+?n(k=1,2,n),得?.当k=1时,?;当k=2时,?;当k=n时,?,所以?=?+?+?=1.原不等式成立.,典例4已知x,y,z均为实数.(1)若x+y+z=1,求证:?+?+?3?;(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.,考点四柯西不等式的应用,解析(1)证明:因为(?+?+?)2(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以?+?+?3?.当且仅当x=?,y=?,z=0时取等号.(2)因为6=x+2y+3z?,所以x2+y2+z2?,当且仅当
7、x=?=?,即x=?,y=?,z=?时,x2+y2+z2有最小值?.,规律总结(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构:(?+?+?)?(1+1+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.,4-1设x,y,zR,x2+y2+z2=25,试求x-2y+2z的最大值与最小值.,解析根据柯西不等式,有(1x-2y+2z)212+(-2)2+22(x2+y2+z2),即(x-2y+2z)2925,所以-15x-2y+2z15,故x-2y+2z的最大值为15,最小值为-15.,4-2已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3?.求证:?+?+?.,证明由柯西不等式及题意得,?(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)(x+y+z)2=27.又(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)=6(x+y+z)=18?,?+?+?=?,当且仅当x=y=z=?时,等号成立.,
