1、习题课推理与证明的综合问题课后训练案巩固提升1.在集合a,b,c,d上定义两种运算和如下:abcdabcdabcdbbbbcbcbdbbdabcabcdaaaaabcdacca则d(ac)等于()A.aB.bC.cD.d解析:由给出的定义可知d(ac)=dc=a.答案:A2.设m是一个非负整数,m的个位数记作G(m),如G(2 017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论:G(a-b)=G(a)-G(b);a,b,cN,若a-b=10c,则有G(a)=G(b);G(abc)=G(G(a)G(b)G(c),则正确结论的个数为()A.3B.2C.
2、1D.0解析:令a=12,b=8,则G(a-b)=G(a)-G(b),显然错;令x,y,z为小于10的自然数,m,n,k为自然数,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由a,b,cN,若a-b=10c,可知x-y=0,即a与b的个位数相同,因此G(a)=G(b),正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此正确.答案:B3.若“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第45个“整数对”是()A.(1,9)B.(9,1)C.(1,10)D.(10,1)解析:因为(1,
3、1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(n,1)共有整数对1+2+3+n=个,当n=9时,共有45个整数对,所以第45个“整数对”是(9,1).答案:B4.设a,b(0,+),ab,x,y(0,+),则,当且仅当时取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=的最小值为()A.169B.121C.25D.16解析:f(x)=25,当且仅当,即x=时,f(x)取得最小值25.答案:C5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,
4、则获奖的歌手是.解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案:丙6.若数列an满足an+1=an+an+2(nN*),则称数列an为“凸数列”,已知数列bn为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列bn的前2 016项的和为.解析:由“凸数列”的定义,可写出数列的前几项:b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,故数列bn是周期为6的周期数列.又b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故S2 016=S3366=0.答案:07.对于集合a1,a2,an和常数a0,定义:=为集
5、合a1,a2,an相对a0的“正弦方差”,则集合相对a0的“正弦方差”为.解析:由题意,得集合相对a0的“正弦方差”为=,即3=cos2a0+,所以6=2cos2a0+1-cos+1-cos,即6=2cos2a0+2-2coscos 2a0,所以6=2cos2a0+2-(2cos2a0-1),于是=.答案:8.阅读下列不等式的证法,并回答后面的问题.已知a1,a2R,a1+a2=1,求证:.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2x+.xR,f(x)0恒成立,=4-8()0,.(1)若a1,a2,anR,a1+a2+an=1(nN*),请写出上述结论的推广
6、形式;(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.(1)解:若a1,a2,anR,a1+a2+an=1(nN*),则+(nN*).(2)证明:构造函数g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2,则g(x)=nx2-2x+.xR,g(x)0恒成立,=4-4n(+)0,+(nN*).9.点M在圆C:x2+y2=1上,经过点M的圆的切线方程为x+y=1;又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交;点R在圆C的内部,直线x+y=1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?并证明你
7、的结论.解:点P(a,b)在C:x2+y2=r2上时,直线ax+by=r2与C相切;点P在C内部时,直线ax+by=r2与C相离;点P在C外部时,直线ax+by=r2与C相交.证明如下:圆x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离为d= .若(a,b)在圆内,则a2+b2r,所以直线与圆相离;若(a,b)在圆上,则a2+b2=r2,所以d=r,所以直线与圆相切;若(a,b)在圆外,则a2+b2r2,所以dd,a-2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列.- 3 -
