1、3.3 导数的综合应用 -2- 考点 1 考点 2 考点 3 考点 1 求与函数极值有关的参数范围 例 1设 f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a R. (1)令 g(x)=f(x),求 g(x)的单调区间 ; (2)已知 f(x)在 x=1处取得极大值 .求实数 a的取值范围 . 思考 如何求与函数极值有关的参数范围 ? -3- 考点 1 考点 2 考点 3 解 ( 1 ) 由 f ( x ) = ln x - 2 ax + 2 a , 可得 g ( x ) = ln x - 2 ax + 2 a , x ( 0 , + ) . 则 g ( x ) =1?- 2 a=1 - 2
2、? ?, 当 a 0 时 , x ( 0 , + ) 时 , g ( x ) 0 ,函数 g ( x ) 单调递增 ; 当 a 0 时 , x 0 ,12 ?时 , g ( x ) 0 ,函数 g ( x ) 单调递增 , x 12 ?, + 时 ,函数 g ( x ) 单调递减 . 所以当 a 0 时 , g ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , + ); 当 a 0 时 , g ( x ) 单调递增区间为 0 ,12 ?,单调递减区间为12 ?, + . -4- 考点 1 考点 2 考点 3 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , f ( 1 ) = 0 . 当 a 0 时 , f ( x
3、 ) 单调递增 ,所以当 x ( 0 , 1 ) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 单调递增 . 所以 f ( x ) 在 x= 1 处取得极小值 ,不符合题意 . 当 0 1 ,由 ( 1 ) 知 f ( x ) 在 0 ,12 ?内单调递增 , 可得当 x ( 0 , 1 ) 时 , f ( x ) 0 . 所以 f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 内单调递减 ,在 1 ,12 ?内单调递增 ,所以 f ( x ) 在x= 1 处取得极小值 ,不符合题意 . -5- 考点 1 考点 2 考点 3 当 a=12时 ,12 ?= 1 , f ( x ) 在 ( 0 , 1 )
4、 内单调递增 ,在 ( 1 , + ) 内单调递减 , 所以当 x ( 0 , + ) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 单调递减 ,不符合题意 . 当 a12时 , 0 0 , f ( x ) 单调递增 , 当 x ( 1 , + ) 时 , f ( x ) 12. -6- 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 依据题意 ,对参数分类 ,分类后相当于增加了一个已知条件 ,在增加了条件的情况下 ,对参数的各个范围逐个验证是否符合题意 ,符合题意的范围即为所求范围 . -7- 考点 1 考点 2 考点 3 对点训练 1设函数 f(x)=x2-2x+mln x+1,其中 m为常数
5、. (2)若函数 f(x)有唯一极值点 ,求实数 m的取值范围 . ( 1 ) 若 m 12 , 证明 : 函数 f ( x ) 在定义域上是增函数 ; ( 1 ) 证明 函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ) . f ( x ) = 2 x - 2 +?=2 ?2- 2 ? + ?=2 ? -122+ ? -12?. 当 m 12时 ,对 x ( 0 , + ), f ( x ) 0 ,且 f ( x ) 在 ( 0 , + ) 上的任意子区间内都不恒等于零 . 故函数 f ( x ) 在定义域 ( 0 , + ) 上是增函数 . -8- 考点 1 考点 2 考点 3 ( 2
6、) 解 由 ( 1 ) 知 ,当 m 12时 , f ( x ) =2 ? -122+ ? -12? 0 . 函数 f ( x ) 在 ( 0 , + ) 上是增函数 ,没有极值点 . 当 m12时 ,令 f ( x ) = 0 得 x 1 =1 - 1 - 2 ?2, x 2 =1 + 1 - 2 ?2. 当 m 0 时 , x 1 =1 - 1 - 2 ?2 0 ,此时 x 1 ? ( 0 , + ) . x 2 =1 + 1 - 2 ?2 1 , 即 x 2 ( 0 , + ) . 当 x 变化时 , f ( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表 : -9- 考点 1 考点
7、 2 考点 3 x ( 0 , x 2 ) x 2 ( x 2 , + ) f ( x ) - 0 + f ( x ) 极小值 由此看出 :当 m 0 时 , f ( x ) 有唯一极小值点 x 2 =1 + 1 - 2 ?2. 当 0 m 12时 , 0 x 1 x 2 1 . 当 x 变化时 , f ( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表 : x ( 0 , x 1 ) x 1 ( x 1 , x 2 ) x 2 ( x 2 , + ) f ( x ) + 0 - 0 + f ( x ) 极大值 极小值 -10- 考点 1 考点 2 考点 3 由此看出 :当 0 m 12时 , f ( x ) 有极大值点 x 1 =1 - 1 - 2 ?2和极小值点 x 2 =1 + 1 - 2 ?2. 综上 ,当 m 0时 ,函数 f(x)有唯一极值点 ,即 f(x)有唯一极值点 ,故实数 m的取值范围为 (-,0.
