1、A组 20152019年广西中考题组 考点一 二次函数的解析式,1.(2018百色,10,3分)把抛物线y=- x2向右平移2个单位,则平移后所得抛物线的解析式为 ( ) A.y=- x2+2 B.y=- (x+2)2 C.y=- x2-2 D.y=- (x-2)2,答案 D 抛物线y=- x2向右平移2个单位后,所得抛物线的解析式为y=- (x-2)2,故选D.,2.(2016来宾,13,3分)将抛物线C1:y=x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到抛物线C2,则抛 物线C2对应的函数解析式是 ( ) A.y=(x-2)2-3 B.y=(x+2)2-3 C.y=(x-2)2+
2、3 D.y=(x+2)2+3,答案 B 抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0). 先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度, 新抛物线的顶点坐标为(-2,-3). 所得抛物线的解析式是y=(x+2)2-3.故选B.,3.(2017百色,17,3分)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式是 .,答案 y=- x2+ x+3,解析 根据题意设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4), 把C(0,3)代入得-8a=3,即a=- , 则抛物线的解析式为y=- (x+2)(x-4)=- x2+ x+3.,思路分析 根据A与B坐标的特点设出抛物线的解析式为y=a(x-2)
3、(x-4),把C的坐标代入求出a的值,即可确定 出解析式.,考点二 二次函数的图象和性质,1.(2019百色,9,3分)抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到 ( ) A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,答案 A 将y=x2+6x+7配方得y=(x+3)2-2, 将抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到抛物线y=(x+3)2-2,即y=x2+6x+7.故选A.,思路分析 将y=x2+6x+7配方成顶点式得到y=(x+3)2-
4、2,根据“左加右减,上加下减”的平移变换规律,将抛物 线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位即可得到抛物线y=(x+3)2-2.,2.(2019梧州,12,3分)已知m0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是 ( ) A.x1-12x2 B.-1x12x2 C.-1x1x22 D.x1-1x22,答案 A 令y1=(x+1)(x-2),y2=m,其中m0, 则在同一坐标系中画出y1与y2的大致图象,如图, 从图象中观察得到,x1-12x2. 因此选A.,思路分析 本题考查函数与方程之间的关系, 令y1=(x+1)(x-2),y
5、2=m(m0), 则x1、x2可以看作二次函数y1=(x+1)(x-2)的图象与直线y2=m(m0)的交点的横坐标,画出y1与y2的图象即可判 断-1,2,x1,x2之间的大小关系.,3.(2019河池,11,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,则下列结论中,错误的是 ( ) A.ac0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0,答案 C 根据图象可知a0,c0,点(3,0)关于直线x=1对称的点为(-1,0),当x=-1时,a-b+c=0. 由此可以判断出:A中,ac0正确;B正确;C中,由b+2a=0得b=-2a,则2a-b=4a0,错误;D中,a-b+c=0,正确.
6、故选C.,4.(2018玉林,12,3分)如图,一段抛物线y=-x2+4(-2x2)为C1,与x轴交于A0,A1两点,顶点为D1,将C1绕A1按顺时 针方向旋转180得到C2,顶点为D2.C1与C2组成一个新的图象,垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1,y1),P2(x 2,y2),与线段D1D2交于点P3(x3,y3),设x1,x2,x3均为正数,t=x1+x2+x3,则t的取值范围是 ( ) A.6t8 B.6t8 C.10t12 D.10t12,答案 D 令y=0,则-x2+4=0,解得x1=2,x2=-2, A0(-2,0),A1(2,0). 令x=0,则y=4,D1(0,4).
7、 由旋转可知,D2(4,-4),且C2的对称轴为直线x=4. x1,x2,x3均为正数, x1+x2=24=8, t=8+x3(2x34), 即t与x3是一次函数关系,且t随x3的增大而增大, 故当x3=2时,tmin=8+2=10; 当x3=4时,tmax=8+4=12, 10t12,故选D.,5.(2018贵港,12,3分)如图,抛物线y= (x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径作 D.下列结论:抛物线的对称轴是直线x=3;D的面积为16;抛物线上存在点E,使四边形ACED为平 行四边形;直线CM与D相切.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.
8、2 C.3 D.4,答案 B y= (x+2)(x-8),A(-2,0),B(8,0). 抛物线的对称轴为直线x= =3,正确. A(-2,0),B(8,0),AB=10,r=5. SD=r2=52=25,错误. 假设存在点E,使四边形ACED为平行四边形,则ADCE, 当x=0时,y=-4,C(0,-4). 令y=-4,解得x1=0(舍去),x2=6,E(6,-4),CE=6. A(-2,0),D(3,0),AD=5,ADCE. 矛盾,假设不成立,即不存在点E使四边形ACED为平行四边形,错误. 令x=3,则y=- ,M . C(0,-4),D(3,0),CD2=32+42=25,CM2=3
9、2+ =9+ = , DM2= = , CD2+CM2=DM2,DCM=90, 直线CM与D相切, 正确,故选B.,6.(2016河池,9,3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论不正确的是 ( ) A.a0 C.a+b+c0 D.b2-4ac0,答案 C 抛物线开口向下,则a0. 当x=1时,y=a+b+c0. 故选C.,7.(2016桂林,12,3分)已知直线y=- x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=- (x- )2+4上,能使ABP 为等腰三角形的点P有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,答案 A 如图所示,由题意可求得A(0,3),B(
10、,0),AB=2 ,抛物线与x轴的交点为M(- ,0),N(3 ,0). 以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,B与x轴的交点就是M,N,设B与抛物线的另一交点为C,则C(2 ,3), 连接AC,BC. 易知ABC为等边三角形. ABP为等腰三角形分三种情况: 当AB=BP时,以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,与抛物线交于C,M,N三点; 当AB=AP时,以点A为圆心,线段AB长为半径作圆,与抛物线交于C,M两点; 当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,与抛物线交于C,M两点. 因此能使ABP为等腰三角形的点P有3个. 故选A.,思路分析 易求A、B及抛物线与x轴交点M、N的坐标,使ABP为
11、等腰三角形的情况有3种,分类讨论即可 求解,注意去掉重合的点.,主要考点 一次函数、二次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的判定.,8.(2016梧州,12,3分)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-2,0)、B(1,0).直线x=-0.5与此抛物线 交于点C,与x轴交于点M,在直线上取点D,使MD=MC,连接AC、BC、AD、BD.某同学根据图象写出下列结 论: a-b=0;当-20;四边形ACBD是菱形;9a-3b+c0. 你认为其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-2,0)、B(1,0),对称
12、轴为直线x= =-0.5=- , a=b,正确; 当-20,正确; 由知,x=-0.5是对称轴,垂直平分AB,又MC=MD, 四边形ACBD是菱形,正确; 观察图象,知x=-3时,对应的y值小于零,9a-3b+c0, 错误. 故选D.,9.(2019贵港,18,3分)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a0,且b2-4ac0)的函数叫做“鹊桥”函数.小 丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:图象与坐标轴的交点为(- 1,0),(3,0)和(0,3);图象具有对称性,对称轴是直线x=1;当-1x1或x3时,函数值y随x值的增大而增大;
13、 当x=-1或x=3时,函数的最小值是0;当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是 .,答案 4,解析 对于“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|, 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. 该函数图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0), 令x=0,则y=|-3|=3, 该函数图象与y轴的交点为(0,3),故正确. y=|x2-2x-3|= 因此,当x-1或x3时,函数y=x2-2x-3的图象关于直线x=1对称; 当-1x3时,y=-x2+2x+3的图象关于直线x=1对称, 故y=|x2-2x-3|的图象具有对称性,对称轴为直线x=1,因此正确. 结合、的分析和图象
14、可知, 当-1x1或x3时,y随x的增大而增大,故正确. 当x=-1或x=3时,y=0,为函数的最小值,正确.,当x=1时,y=4,但不是函数的最大值, x3时,y随x的增大而增大,因此函数无最大值,故错误. 综上所述,正确的结论的个数是4.,思路分析 结合函数及其图象逐个分析判断:对于,分别令x=0和y=0,求出坐标即可判断;中,“鹊桥”函 数本质为由两个二次函数构成的分段函数,由两个函数图象均关于直线x=1对称即可判断;均可由图 象以及前面的分析容易得出结论.,解题技巧 理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|(a0,且b2-4ac0)的含义,掌握“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|(a0
15、, 且b2-4ac0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0,且b2-4ac0)之间的关系;两个函数性质之间的联系和区别是解决 问题的关键;二次函数y=ax2+bx+c(a0,且b2-4ac0)的图象与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以 及增减性应熟练掌握.,10.(2019贺州,17,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中: abc0,正确的是 .(填写序号),答案 ,解析 由图象可知a0,- =1, b=-2a,b0. abc0,故正确. 正确的是.,思路分析 首先根据二次函数图象开口方向可得a0,再根据二次函数图象的 对称轴为
16、x=- =1,结合a的取值可判定出b0(口诀:左同右异),根据a、b、c的正负即可判断出的正误;把 x=-1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得y=a-b+c,再根据对称性判断出的正误;把b=-2a代入a-b+c中即可判断 出的正误;利用图象可以直接得出的正误.,考点三 二次函数的综合应用,1.(2017南宁,12,3分)如图,垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x2(x0)和抛物线C2:y= (x0)交于A,B 两点,过点A作CDx轴,分别与y轴和抛物线C2交于点C,D,过点B作EFx轴,分别与y轴和抛物线C1交于点E, F,则 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 D x0
17、,CDx轴,令y=m(m0),联立 解得x= ,联立 解得x=2 ,当C1和C2上 的点的纵坐标相同时,C1上的点的横坐标是C2上的点的横坐标的 ,即F是EB的中点,A是CD的中点. 又ABx轴,设FB=k(k0),则EB=2k=CA=AD, 则点B的坐标为(2k,k2),点A的坐标为(2k,4k2), 即OE=k2,CE=AB=4k2-k2=3k2. SOFB= FBOE= kk2= k3, SEAD= ADCE= 2k3k2=3k3. = = .,解题关键 利用平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等,平行于y轴的直线上的点的横坐标相等,以及两个 函数解析式,求出相关线段之间的数量关系,即可得解
18、.,2.(2019梧州,24,10分)我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销 售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x6,且x是按0.5 元的倍数上涨),当天销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围; (3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.,解析 (1)y=(x-5) =-10x2+210x-800, 故y与x的函数关系式为y=-10x2+2
19、10x-800. (2)要使当天利润不低于240元,则y240, 当 y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5=240时, 解得x1=8,x2=13. -100,抛物线的开口向下, 由二次函数图象及性质得,当y240时,8x13. 当天销售单价所在的范围为8x13. (3)每件文具利润不超过80%, 80%,解得 x9,又x6,文具的销售单价的取值范围为6x9, 由(1)得y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5, 对称轴为直线x=10.5,当6x9时,y随x的增大而增大. 当x=9时,y取得最大值,此时最大值为-10(9-10.5)
20、2+302.5=280. 答:每件文具售价为9元时,当天获得的利润最大,最大利润为280元.,思路分析 (1)根据总利润=每件利润销售量,可列出函数关系式y=-10x2+210x-800. (2)由(1)中的函数关系式,且y240,结合二次函数的图象及性质即可求x的取值范围. (3)由利润不超过80%,根据利润率=(售价-进价)进价,求得售价的范围.再结合二次函数的性质求出最大利润.,方法总结 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题通常利用函数的增减性 来解答,首先要理解题意,吃透题意,确定自变量和因变量,建立函数模型,要注意应该在自变量的取值范围内 求最大值(或最小值
21、),若为二次函数模型,通常在顶点处取得最大值(或最小值),但若x=- 不在自变量取值 范围内,则利用函数的增减性可以确定在端点处取得最值,也就是说,二次函数的最值不一定在x=- 时取得.,3.(2019百色,26,12分)已知抛物线y=mx2和直线y=-x+b都经过点M(-2,4),点O为坐标原点,点P为抛物线上的动 点,直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点. (1)求m、b的值; (2)当PAM是以AM为底边的等腰三角形时,求点P的坐标; (3)满足(2)的条件时,求sinBOP的值.,解析 (1)把(-2,4)分别代入y=mx2和y=-x+b得 4=m(-2)2,4=-(-2)+
22、b, (1分) m=1,b=2. (2分) (2)由(1)得y=x2,y=-x+2. 直线y=-x+2与x轴相交于A点, 点A的坐标为(2,0), OA=2, (3分) 设点P的坐标为(a,a2), (4分) 则PA2=(2-a)2+(a2)2, (5分) MP2=(a+2)2+(a2-4)2. (6分) 当PAM是以AM为底边的等腰三角形时,PA=PM, (2-a)2+(a2)2=(a+2)2+(a2-4)2, (7分) 解得a1=2,a2=-1. (8分),当a=2时,a2=22=4, 当a=-1时,a2=(-1)2=1. 所求坐标为P1(2,4)或P2(-1,1). (9分) (3)设P
23、1M与y轴交于点E. 由(2)知P1A=4,则P1Ax轴, 又M点横坐标为-2,P1A=P1M, P1E=2,P1My轴. OA=P1E=2,四边形OAP1E为矩形, OP1= = =2 . (10分),sinP1OB= = . (11分) 同理可求sinP2OB= . 在(2)的条件下,sin BOP= 或 . (12分),4.(2019贺州,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c (a0)经过A,B,C三点. (1)求A,C两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,
24、作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及 PD的最大值.,解析 (1)B(-1,0),且OA=OC=4OB, 由题图知A点坐标为(4,0),C点坐标为(0,-4). (2分) (2)把(4,0),(-1,0),(0,-4)代入y=ax2+bx+c得 解得 (4分) 抛物线的解析式为y=x2-3x-4. (5分) (3)连接AP,PC,设P点坐标为(t,t2-3t-4)(0t4), 当SPAC最大时,PD的值最大,过点P作PEx轴,垂足为E,交AC于点F,设直线AC的解析式为y=mx+n. (6分) 由 解得,5.(2019贵港,25,11分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的
25、顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,-5),对称轴为直线l,点 M是线段AB的中点. (1)求抛物线的表达式; (2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式; (3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.,解析 (1)二次函数表达式为y=a(x-4)2+3(a0), 将点B的坐标代入上式并解得a=- , 故抛物线的表达式为y=- x2+4x-5. (2)A(4,3)、B(0,-5),则点M(2,-1), 设直线AB的表达式为y=kx-5, 将点A的坐标代入上式得3=4k-5,解得k=2, 故直线AB的表达式为y=2x-5.
26、(3)设点Q(4,s)、点P . 当AM是平行四边形的一条边且PQ在AM下方时, 将点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到点M, 同样将点P 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4,s),m-2=4,- m2+4m-5-4=s,解得m=6,s=-3, 故点P、Q的坐标分别为(6,1)、(4,-3); 当AM是平行四边形的对角线时, 4+2=m+4,3-1=- m2+4m-5+s, 解得m=2,s=1, 故点P、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1); 当点Q在点A上方时,PMAQ,把x=2代入抛物线解析式得y=1, P(2,1),此时AQ=MP=2, 则点Q的坐标为(4,5). 综上,
27、点P、Q的坐标分别为(6,1)、(4,-3)或(2,1)、(4,1)或(2,1)、(4,5).,思路分析 (1)函数表达式为y=a(x-4)2+3(a0),将点B的坐标代入上式,即可求解; (2)A(4,3)、B(0,-5),则点M(2,-1),设直线AB的表达式为y=kx-5,将点A的坐标代入上式,即可求解; (3)分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.,6.(2019桂林,26,12分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-2,0)和B(1,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式; (2)作射线AC,将射线AC绕点A顺时针旋转90
28、交抛物线于另一点D,在射线AD上是否存在一点H,使CHB 的周长最小?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,点Q为抛物线的顶点,点P为射线AD上的一个动点,且点P的横坐标为t,过点P作x轴的垂 线l,垂足为E,点P从点A出发沿AD方向运动,直线l随之运动,当-2t1时,直线l将四边形ABCQ分割成左右两 部分,设在直线l左侧部分的面积为S,求S关于t的函数表达式.,解析 (1)把A(-2,0)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得 解得 (1分) 抛物线的表达式为y=-x2-x+2. (3分) (2)存在.作点C关于直线AD的对称点C1, 连接BC1交AD于
29、点H,则点H为所求的点. (4分) 由(1)得C(0,2),易得C1(-4,-2), 直线AC的表达式为y=x+2, 直线AD的表达式为y=-x-2, (5分) 直线BC1的表达式为y= x- . (6分) 由 解得,即H . (7分) (3)由(1)得Q . 当-2t- 时,设直线l交AQ于点F1, 易求直线AQ的表达式为y= x+3,F1 , S= (t+2) = t2+3t+3. (9分) 当- t0时,设直线l交QC于点F2,易求直线QC的表达式为y=- x+2,F2 , S= + =- t2+2t+ . (11分) 当0t1时,设直线l交BC于点F3, 易求直线BC的表达式为y=-2
30、x+2,F3(t,-2t+2). S= (-2t+2+2)t+ + =-t2+2t+ . S关于t的函数表达式为S= (12分),思路分析 (1)用待定系数法求解即可. (2)作C关于AD的对称点C1,连接BC1交AD于H,则H即为所求的点,利用待定系数法求出BC1、AD的解析式,联 立方程组求解即可. (3)Q ,分三种情况讨论: -2t- 时,设l与AQ交于F1, 易求得AQ的解析式为y= x+3,F1 ,即可表示S; - t0时,设l与QC交于F2, 求出QC的解析式为y=- x+2,F2 ,从而表示S; 0t1时,用同样的方式表示出S即可.,方法总结 本题属于二次函数综合压轴题,计算量
31、较大,但难度适中,逻辑关系较为常规简单,思路清晰,第三 小问属于典型的分类讨论类型,只有分析分类的临界点才能准确把握.,7.(2019玉林,26,12分)已知二次函数:y=ax2+(2a+1)x+2(a0). (1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点; (2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并 画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧),与y轴的交点C及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置); (3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使PCA=75?如
32、果存在,求出点P的坐标;如果不存在, 请说明理由.,解析 (1)解法一:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0, (2分) 方程有两个不相等的实数根, 故二次函数的图象与x轴有两个交点. (3分) 解法二:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0,- -2,即x1x2, 方程有两个不相等的实数根,故二次函数的图象与x轴有两个交点. (3分) (2)令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0), 即(ax+1)(x+2)=0,得两根x1=-2,x2=- , (4分) - 是整数,且a为负整数,a=-1, (5分)
33、 二次函数的解析式是y=-x2-x+2. (6分) 又y=-x2-x+2=- + ,D , 又A(-2,0),B(1,0),C(0,2). 画二次函数的大致图象如图. (7分),(3)由(2)知,OA=OC,OCA=45. (8分) 当点P在AC的上方时,连接PC并延长与x轴交于点M, PCA=75,OCA=45, OCM=180-75-45=60,OM=OCtan 60=2 . 设直线PC的解析式是y=kx+2, 把(2 ,0)代入y=kx+2,得k=- . 直线PC的解析式为y=- x+2. 解方程组 得 或,P1 . (10分) 当点P在AC的下方时,连接CP并延长与x轴交于点N, PC
34、A=75,OCA=45, OCN=75-45=30,ON=OCtan 30= , N , 设直线PC的解析式是y=kx+2,把 代入y=kx+2,得k=- , 直线PC的解析式为y=- x+2. 解方程组 得 或 P2( -1, -1).,综上,存在满足题意的点P,其坐标为 或( -1, -1). (12分),8.(2019北部湾经济区,26,10分)如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上,抛物线C2的顶点也在抛物线C1上,那么我 们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C1:y1= x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关 联”的抛物线,点A,B分别是抛物线C1,C2
35、的顶点,抛物线C2经过点D(6,-1). (1)直接写出A,B的坐标和抛物线C2的解析式; (2)抛物线C2上是否存在点E,使得ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)如图2,点F(-6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N的横坐标相同,记AFM的面 积为S1(当点M与点A,F重合时,S1=0),ABN的面积为S2(当点N与点A,B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1 y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值.,解析 (1)由C1的顶点在C2上,C2的顶点在C1上,以及C1的解析式易得A(-
36、2,-1),C2过A,D两点, 则 解得 y2=- x2+x+2, B(2,3). (2分) (2)存在.由(1)得直线AB的解析式为y=x+1. 若B为直角顶点,则BEAB,kBEkAB=-1,得kBE=-1,则BE的解析式为y=-x+5, 联立 解得 或 此时E(6,-1). (3分) 若A为直角顶点,则AEAB,kAEkAB=-1,得kAE=-1,则AE的解析式为y=-x-3, 联立 解得 或 此时E(10,-13). (4分),若E为直角顶点,设E (m2), 由BEAE得kBEkAE=-1, 即 =-1,无解, (5分) 存在点E满足题中条件,点E的坐标为(10,-13)或(6,-1
37、).(6分) (3)y1y2,观察图象结合(1)可得x的取值范围为-2x2. (7分) 如图,作出直线MN,连接AM,AF,FM,AN,AB,BN. 设M ,N ,且-2t2, 易求AF的解析式为y=-x-3, 过M作x轴的平行线MQ交AF于Q, 由yQ=yM,得Q ,S1= |QM|yA-yF|= t2+4t+6, (8分) 设AB交MN于P,易知P点坐标为(t,t+1), S2= |PN|xA-xB|=2- t2, (9分) S=S1+S2=4t+8. -2t2,当t=2时,S取最大值,Smax=16. (10分),方法总结 本题考查了与抛物线有关的新概念问题,形式较新颖,切入点容易找.第
38、二小问考查直角三角形的存在性问题,通常需要判断是否要分类讨论,以直角顶点为分类依据居多,求点的坐标一般可转化为线段长问题,方程思想是核心思想.第三小问的面积最值问题是二次函数的典型问题,通常利用含有参数的代数式表示面积,得到关于未知量的函数解析式,再根据函数的性质求解,对学生的计算能力和综合运用能力要求较高.,9.(2019梧州,26,12分)如图,已知A的圆心为点(3,0),抛物线y=ax2- x+c过点A,与A交于B、C两点,连接 AB、AC,且ABAC,B、C两点的纵坐标分别是2、1. (1)请直接写出点B的坐标,并求a、c的值; (2)直线y=kx+1经过点B,与x轴交于点D,点E(与
39、点D不重合)在该直线上,且AD=AE,请判断点E是否在此抛物 线上,并说明理由; (3)如果直线y=k1x-1与A相切,请直接写出满足此条件的直线解析式.,解析 (1)B(2,2). 提示:过点B、C分别作x轴的垂线,垂足为点R、S, BAR+RBA=90,RAB+CAS=90, RBA=CAS,又AB=AC,BRA=CSA=90, RtBRARtASC(AAS), BR=AS=2,AR=CS=1, 故点B、C的坐标分别为(2,2)、(5,1), 将点B、C的坐标代入y=ax2- x+c解得a= ,c=11. (2)点E在此抛物线上.理由如下: 由(1)知抛物线的表达式为y= x2- x+11
40、. 将点B的坐标代入y=kx+1解得k= ,则y= x+1,故点D(-2,0). 点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(2,2)、(5,1)、(-2,0),则AB= ,AD=5, 点E在直线BD上(与点D不重合),设E的坐标为 (x-2), AD=AE,52=(3-x)2+ , 解得x=-2(舍去)或6, 故点E(6,4), 把x=6代入y= x2- x+11,得y=4, 故点E在抛物线上. (3)y=- x-1或y=2x-1. 详解:当切点在x轴下方时, 设直线y=k1x-1与A相切于点H,直线与x轴、y轴分别交于点K、G(0,-1),连接GA,AH,则AH=AB= ,GA= , KOG
41、=AHK=90,HKA=HKA,KOGKHA, = ,即 = , 解得KO=2或- , 故点K(-2,0), 把点K的坐标代入y=k1x-1,解得k1=- ,故此时直线KH的表达式为y=- x-1. 当切点在x轴上方时,同理可得直线的表达式为y=2x-1. 故满足条件的直线解析式为y=- x-1或y=2x-1.,思路分析 (1)过点B、C分别作x轴的垂线,垂足为点R、S,证明RtBRARtASC(AAS),即可求解点B,C 的坐标,将B,C的坐标分别代入抛物线解析式,求得a,c的值; (2)点E在直线BD上(不与点D重合),则设E的坐标为 (x-2),由AD=AE列方程求解; (3)分切点在x
42、轴下方、切点在x轴上方两种情况,分别求解即可.,10.(2018玉林,26,12分)如图,直线y=-3x+3与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=c分别交y轴 的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得PCBBOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴的交点 为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m. (1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式; (2)当m为何值时,MAB的面积S取得最小值和最大值?请说明理由; (3)求满足MPO=POA的点M的坐标. 备用图,解析 (1)P(3,4),抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. (2)点M的
43、坐标为(m,-m2+3m+4). 令y=0,则-x2+3x+4=0,解得x1=-1,x2=4. F(4,0),0m4. 过M作MNx轴,交直线y=-3x+3于N,则N(m,-3m+3),连接MB,MA, MN=-m2+3m+4-(-3m+3)=-m2+6m+1. 易知A,B到直线MN的距离分别为|m-1|和m. 当0m1时,SMAB= MN(1-m+m)= MN. 当1m4时,SMBA= MNm-(m-1)= MN. 综上所述,SMAB=- m2+3m+ =- (m-3)2+5(0m4). 当m=3时,SMAB最大,最大值为5.,当m=0时,SMAB= ;当m=4时,SMAB= . 当m=0时
44、,SMAB最小,最小值为 . 综上可知,m=0时,S取得最小值,m=3时,S取得最大值. (3)连接OP,CPx轴,易证得当M与C重合时,MPO=POA,M(0,4). 当0m3时,由题图易得MPOPOA.当M在直线OP下方,即3m4时,过OP的中点E作OP的垂直平 分线交x轴于Q. 连接PQ,则PQ与抛物线的交点为M. 易知OP= =5,OE= ,过P作PHx轴于H. 则tanPOA= ,cosAOP= ., = ,OQ= ,Q . 设直线PQ的解析式为y=kx+b, 将 ,(3,4)代入得 解得 直线PQ的解析式为y=- x+ , 联立 得-x2+3x+4=- x+ . 整理得7x2-45
45、x+72=0, (7x-24)(x-3)=0, x1= ,x2=3(与P重合,舍去).,把x= 代入y=- x+ ,得y= ,M . 综上所述,M的坐标为(0,4)或 .,11.(2018梧州,26,12分)如图,抛物线y=ax2+bx- 与x轴交于A(1,0),B(6,0)两点,D是y轴上一点,连接DA,延长DA 交抛物线于点E. (1)求此抛物线的解析式; (2)若E点在第一象限,过点E作EFx轴于点F,ADO与AEF的面积比为 = ,求出点E的坐标; (3)若D是y轴上的动点,过D作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点.是否存在点D,使DA2=DMDN?若存 在,请求出点D的坐标;若不存
46、在,请说明理由.,解析 (1)把(1,0),(6,0)代入y=ax2+bx- 得 解得 抛物线的解析式为y=- x2+ x- . (2)DOA=AFE=90,DAO=EAF, AODAFE, = = , = ,AF=3.OF=4. 把x=4代入y=- x2+ x- 得y= . E . (3)设D(0,d),把y=d代入y=- x2+ x- 得- x2+ x- =d, - x2+ x- -d=0, 设该一元二次方程的两根为x1,x2(x1x2). 当M,N都在y轴右侧时, DMDN=x1x2= = , =d2+1, 解得d1=3,d2=- . 经检验,当d=3时,- x2+ x- =3有两个不相
47、等的正实数根, 当d=- 时,- x2+ x- =- 有两个不相等的正实数根.,d=3或- .即D(0,3)或 . 当M,N在y轴异侧时,DMDN=-x1x2=- = , =d2+1,此方程无解. 综上所述,D的坐标为(0,3)或 .,12.(2018贺州,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA= 3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点为D(-1,4). (1)求A,B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)过点D作直线DEy轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合), PA、PB与直线DE分别交于F、G.当点P运动时,EF+EG是不是定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理 由.,解析 (1)由题意得A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0). (2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1). 把(0,3)代入得3=a3(-1),a=-1. 抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. (3)EF+EG=8,理由如下: 过点P作PQy轴,交x轴于点Q,设P(t,-t2-2t+3)(-1t1), 则PQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t, PQEF,AEFAQP,则 = , EF= = =- (t
