1、1.(2016湖南湘潭,8,3分)如图,等腰直角EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上,且点E与点 B重合,EFG沿BC方向匀速运动,当点G与点C重合时停止运动,设运动时间为t,运动过程中EFG与正方 形ABCD的重叠部分面积为S,则S关于t的函数图象大致为 ( ),答案 A EFG在运动过程中,重叠部分面积S变化分三种情况,设运动速度为a,a0且a为定值,则S= (at)2, 图象为抛物线,且开口向上. S=SEFG,图象为平行于x轴的线段. S=SEFG- (at-BC)2,图象为抛物线,且开口向下.,思路分析 根据每一幅图中的情况设未知数,并求出重叠部分的面积S与t的函数
2、关系式.,易错警示 本题在解题时考生容易根据观察图形主观判断重叠面积的增减性而直接选B,注意一定要计算 出变化过程中图象是不是一个一次函数图象.,2.(2019湖南郴州,26,12分)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)点F是线段AD上的一个动点. 如图1,设k= ,当k为何值时,CF= AD? 如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.,解析 (1)抛物线y=ax2+bx+3过点A(-3,0),B(1,0), 解得 抛物线的表达式
3、为y=-x2-2x+3. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 顶点D的坐标为(-1,4). (2)在RtAOC中,OA=3,OC=3, AC2=OA2+OC2=18, D(-1,4),C(0,3),A(-3,0), CD2=12+12=2, AD2=22+42=20, AC2+CD2=AD2, ACD为直角三角形,且ACD=90.,CF= AD, F为AD的中点, = , k= . 在RtACD中,tanCAD= = = , 在RtOBC中,tanOCB= = , CAD=OCB, OA=OC, OAC=OCA=45, FAO=ACB, 若以A,F,O为顶点的三角形与ABC相似,则可分
4、两种情况考虑:,当AOF=ABC时,AOFCBA, OFBC, 设直线BC的解析式为y=kx+b, 解得 直线BC的解析式为y=-3x+3, 直线OF的解析式为y=-3x, 设直线AD的解析式为y=mx+n, 解得 直线AD的解析式为y=2x+6, 由 得,F . 当AOF=CAB=45时,AOFCAB, CAB=45, OFAC, 直线OF的解析式为y=-x, 由 解得 F(-2,2). 综上,F点的坐标为 或(-2,2).,3.(2019湖南张家界,23,10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3. (1)求抛物线的解析式及顶
5、点D的坐标; (2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形; (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一个动点,当PBC面积最大时,求点P的坐标; (4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+ QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理 由.,解析 (1)抛物线过点A(1,0),B(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)=a(x2-4x+3), 抛物线与y轴交于点C,且OC=3, C(0,3),代入抛物线解析式中, 解得a=1, 故抛物线的解析式为y=x2-4x+3. y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则顶点D的坐标为(2,-1). (
6、2)证明:OB=OC=3,OBC=OCB=45, AM=MB=ABsin 45= =AD=BD, 则四边形ADBM为菱形,又AMB=90, 四边形ADBM为正方形. (3)设直线BC的函数表达式为y=kx+b, B(3,0),C(0,3),代入得,解得 直线BC的表达式为y=-x+3. 过点P作y轴的平行线交BC于点H, 设点P(x,x2-4x+3),则点H(x,-x+3), 则SPBC= PHOB= (-x+3-x2+4x-3)= (-x2+3x)=- + , - 0,故SPBC有最大值,此时x= , 点P的坐标为 .,(4)存在.理由: 如图,过点C作与y轴夹角为30的直线CN,过点A作A
7、NCN,垂足为N, 则NQ= CQ, AQ+ QC的最小值=AQ+NQ=AN, 易知直线NC的表达式为y= x+3, 直线AN的表达式为y=- x+ , 由 得,故点H ,又点A(1,0), 故AH= , 即AQ+ QC的最小值为 .,4.(2016湖南益阳,22,14分)如图,在ABC中,ACB=90,B=30,AC=1,D为AB的中点,EF为ACD的中位 线,四边形EFGH为ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在ACD的边上). (1)计算矩形EFGH的面积; (2)将矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上时停止移动.在平移过程中,当矩形与CBD重叠部分的面积为 时,求矩形平移的距离; (
8、3)如图,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1,将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋 转,当H1落在CD上时停止转动,旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2,设旋转角为,求cos 的值.,解析 (1)在ABC中,ACB=90,B=30,AC=1, AB=2, 又D是AB的中点, AD=1,CD= AB=1. 又EF是ACD的中位线,EF=DF= , 在ACD中,AD=CD,A=60, ADC=60. 在FGD中,GF=DFsin 60= , 矩形EFGH的面积=EFGF= = . (3分) (2)如图,设矩形移动的距离为x,则0x ,当矩形与CBD重叠部分为三角形时
9、,则0 (舍去). 当矩形与CBD重叠部分为直角梯形时,则 x ,重叠部分的面积S= x- = ,x= . 即矩形移动的距离为 时,矩形与CBD重叠部分的面积是 .(8分) (3)如图,作H2QAB于Q. 设DQ=m,则H2Q= m,易知DG1= ,H2G1= . 在RtH2QG1中,( m)2+ = ,解得m= (负值舍去), cos = = = . (14分),5.(2015湖南湘西,26,14分)如图,已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两 点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从
10、点A出发,向 点B以 个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒. (1)求抛物线的解析式; (2)问:当t为何值时,APQ为直角三角形? (3)过点P作PEy轴,交AB于点E,过点Q作QFy轴,交抛物线于点F,连接EF,当EFPQ时,求点F的坐标; (4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三 角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B, 当y=0时,x=3,即A点坐标为(3,0), 当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3), 将A(3,0
11、),B(0,3)代入y=-x2+bx+c, 得 解得 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)OA=OB=3,BOA=90, QAP=45. 如图所示,当PQA=90时,由题知,QA= t,PA=3-t. 在RtPQA中, = ,即 = ,解得t=1. 如图所示,当QPA=90时,在RtPQA中, = ,即 = ,解得t= . 综上所述,当t=1或t= 时,PQA是直角三角形.,图 设点P的坐标为(t,0),则点E的坐标为(t,-t+3),则EP=3-t,点Q的坐标为(3-t,t),点F的坐标为(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3), 则FQ=3t-t2. EPFQ,EFPQ,四边
12、形EPQF为平行四边形, EP=FQ,即3-t=3t-t2. 解得t1=1,t2=3(舍去). 将t=1代入F(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),得点F的坐标为(2,3).,(3)如图所示:,(4)存在.如图所示: 图 由题知,OP=t,BQ=(3-t) . y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,点M的坐标为(1,4). MB= = .易知MBQ=90, 当BOPQBM时, = ,即 = ,整理得t2-3t+3=0,=32-4130,无解. 当BOPMBQ时, = ,即 = ,解得t= . 当t= 时,以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似.,评析 本题主要考
13、查的是二次函数、锐角三角函数、平行四边形、相似三角形的综合应用,利用含字母t 的式子表示出相关线段的长度,根据图形的性质建立关于字母t的方程是解题的关键.,6.(2017湖北黄冈,24,14分)已知:如图所示,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3.动点P 从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒 1个单位长度的速度运动.设点P、点Q的运动时间为t(s). (1)当t=1 s时,求经过点O,P,A三点的抛物线的解析式; (2)当t=2 s时,求tanQPA的值; (3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且B
14、M=2AM时,求t(s)的值; (4)连接CQ,在点P,Q运动的过程中,记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.,解析 (1)解法一:依题意得A(4,0),B(4,3). 当t=1 s时,CP=2,P点的坐标为(2,3). (1分) 设经过O,P,A三点的抛物线的解析式为y=ax(x-4)(a0), 将P(2,3)代入解析式中,得2(2-4)a=3. a=- ,y=- x(x-4)=- x2+3x. (4分) 解法二:依题意得A(4,0),B(4,3). 当t=1 s时,CP=2,P(2,3). (1分) 设经过O,P,A三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0
15、), 将O(0,0),P(2,3),A(4,0)代入解析式中, 得 解得,抛物线的解析式为y=- x2+3x. (4分) (2)当t=2 s时,CP=4,OQ=2, AQ=OA-OQ=4-2=2,点P与点B重合, (5分) 在RtQPA中,tanQPA= = . (7分),(3)如图所示,依题意有CP=2t,OQ=t, BP=2t-4,AQ=4-t. CBOA, BMPAMQ. (8分) = ,即 = , 又BM=2AM,2t-4=2(4-t),t=3. (10分) (4)当0t2时,S=SCPQ= 2t3=3t; (11分) 当2t4时, 设线段AB与线段PQ相交于点D,过点Q作QNCP于点N,则BDPNQP. = . 又NQ=CO=3,BP=CP-CB=2t-4, 且NP=CP-CN=CP-OQ=2t-t=t, = , BD= . (12分) S=S四边形CQDB=SCQP-SBDP= 2t3- (2t-4) = =-3t+24- ; (13分) 当t4时,设线段AB与线段CQ相交于点M,过点Q作QNCP于点N,则CBMCNQ, = . 又CB=OA=4,CN=OQ=t,NQ=3, = .BM= . S=SCBM= BCBM= 4 = .,S= (14分),
