1、考点1 圆的有关概念与性质,A组 20152019年江苏中考题组,1.(2019镇江,15,3分)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径, = .若C=110,则ABC的度 数为 ( ) A.55 B.60 C.65 D.70,答案 A 连接AC,四边形ABCD是半圆的内接四边形,DAB=180-DCB=70. = , CAB= DAB=35, AB是直径,ACB=90, ABC=90-CAB=55,故选A.,2.(2016无锡,6,3分)如图,AB是O的直径,AC切O于点A,BC交O于点D,若C=70,则AOD的度数为 ( ) A.70 B.35 C.20 D.40,答案 D 因
2、为AB是O的直径,AC是O的切线,所以ACAB.又因为C=70,所以B=20,所以AOD= 40,故选D.,3.(2017南京,6,2分)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为 ( ) A. B.(4,3) C. D.(5,3),答案 A 如图,过C作直线CEAB于E,设所求圆的圆心为D,半径为r,连接AD.,思路分析 本题求过三点的圆的圆心坐标,先根据圆的对称性确定圆心的横坐标,再根据勾股定理求出半 径,进而求出圆心的坐标.,4.(2018无锡,8,3分)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点 F,给出下列说法:(1
3、)AC与BD的交点是圆O的圆心;(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O相切,其中正 确说法的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 如图,连接DG、AG,作GHAD于H,如图, 易证DCGABG, AG=DG, GH垂直平分AD, 点O在GH上, ADBC, GHBC, BC与圆O相切. OG=ODOH,点O不是GH的中点, 圆心O不是AC与BD的交点; 由DAE=90,知DE为直径, AF与DE的交点是圆O的圆心. (1)错误,(2)(3)正确. 故选C.,思路分析 连接DG、AG,作GHAD于H,先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可判断点O在GH上,再
4、根据 GHBC可判定BC与圆O相切;接着利用OG=ODOH可判断圆心O不是AC与BD的交点;由DAE=90,知 DE为直径,可判断AF与DE的交点是圆O的圆心.,5.(2019宿迁,15,3分)直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为 .,答案 2,解析 直角三角形的斜边长为 =13,所以它的内切圆的半径为 =2.,规律总结 三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角;直 角三角形的内切圆的半径为 (其中a、b为直角边,c为斜边).,6.(2019盐城,13,3分)如图,点A、B、C、D、E在O上,且 为50,则E+C= .,答案 155,解
5、析 连接EA, 为50,BEA=25,四边形DCAE为O的内接四边形,DEA+C=180, DEB+C=180-25=155,故答案为155.,7.(2019扬州,15,3分)如图,AC是O的内接正六边形的一边,点B在 上,且BC是O的内接正十边形的一 边,若AB是O的内接正n边形的一边,则n= .,答案 15,解析 圆内接正多边形的中心为圆心.连接BO,AC是O的内接正六边形的一边,AOC=3606=60, BC是O的内接正十边形的一边,BOC=36010=36,AOB=AOC-BOC=60-36=24,n=36 024=15.,8.(2019苏州,17,3分)如图,扇形OAB中,AOB=9
6、0.P为 上的一点,过点P作PCOA,垂足为C,PC与AB交于 点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为 .,答案 5,解析 连接OP,设该扇形的半径为r. AOB=90,OA=OB, OAB=45. PCOA, PCA=90. CA=CD=1. 在RtPOC中,PCO=90, OP2-OC2=PC2, 即r2-(r-1)2=32. 解得r=5.,9.(2019泰州,16,3分)如图,O的半径为5,点P在O上,点A在O内,且AP=3,过点A作AP的垂线交O于 点B、C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为 .,答案 y=,解析 连接PO并延长交O于D,连接BD, 则C=D,PBD
7、=90, PABC,PAC=90, PAC=PBD, PACPBD, = , O的半径为5,AP=3,PB=x,PC=y, = ,y= .,解题关键 本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键.,10.(2018连云港,14,3分)如图,AB是O的弦,点C在过点B的切线上,且OCOA,OC交AB于点P,已知OAB= 22,则OCB= .,答案 44,解析 连接OB, BC是O的切线, OBBC, OBA+CBP=90, OCOA, A+APO=90, OA=OB,OAB=22, OAB=OBA=22,APO=68,APO=CPB, APO=CBP=68, CPB
8、=ABC=68, OCB=180-68-68=44. 故答案为44.,11.(2017扬州,15,3分)如图,已知O是ABC的外接圆,连接AO,若B=40,则OAC= .,答案 50,解析 连接OC,B=40,AOC=80, OA=OC,OAC=OCA=50.,12.(2016常州,16,3分)如图,在O的内接四边形ABCD中,A=70,OBC=60,则ODC= .,答案 50,解析 由条件,得BOD=2A=140,BCD=180-A=110,因为OBC=60,所以ODC=360-110-60- 140=50.,13.(2016扬州,16,3分)如图,O是ABC的外接圆,直径AD=4,ABC=
9、DAC,则AC长为 .,答案 2,解析 连接DC.ABC=ADC,ABC=DAC, ADC=DAC,AC=DC, AD为O直径,ACD=90, ACD为等腰直角三角形, AD=4,AC=4sin 45=2 .,14.(2016南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122,C是 上一点,则ACB= .,答案 119,解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.AOB=122,D=61,ACB+D= 180,ACB=119.,15.(2015南京,15,2分)如图,在O的内接五边形ABCDE中,CAD=35,则B+E= .,答案 215,解析 连接AO,CO,DO,则C
10、OD=2CAD=70,又因为B= (AOD+COD),E= (AOC+COD), 所以B+E= (AOD+COD+AOC+COD)= (360+70)=215.,评析 本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系.,16.(2019南京,22,7分)如图,O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC.,OMAB,ONCD, AM= AB,CN= CD. AB=CD,AM=CN. 在RtOAM和RtOCN中,OMA=ONC=90, 根据勾股定理,得OM= ,ON= .,又OA=OC,AM=CN, OM=ON. 又OP=OP, RtOPMRtOPN. PM=PN. PM+AM=PN+
11、CN,即PA=PC. (7分),17.(2019苏州,26,10分)如图,AB为O的直径,C为O上一点,D是 的中点.BC与AD,OD分别交于点E,F. (1)求证:DOAC; (2)求证:DEDA=DC2; (3)若tanCAD= ,求sinCDA的值.,解析 (1)证明:D是 的中点, = , CAD=BAD, CAB=2BAD. 在O中,DOB=2BAD, CAB=DOB, DOAC. (2)证明: = , CAD=BCD. 又ADC=CDE, ACDCED. = ,DEDA=DC2.,(3)解法一:作CGAD于G. AB为O的直径,C为O上一点, ACB=90. tanCAD= , =
12、 . 设CE=k(k0),则AC=2k, 则AE= = = k. ACDCED, = = = . 设DE=x(x0),则CD=2x,AD=4x.,AD=AE+DE, 4x= k+x, 解得x= k. CD=2x= k. CGAD,CGA=CGD=90, 则ACE=CGA. 又CAE=GAC, ACEAGC. = , 即 = ,GC= k.,在RtCDG中,sinCDG= = = , 即sinCDA= . 解法二:连接BD. AB为O的直径,C为O上一点, ACB=90. DOAC,OFB=ACB=90,BFD=90. CAD=CBD(同弧所对的圆周角相等),tanCBD=tanCAD= , =
13、 . 设DF=k(k0),则BF=2k. 设OB=OD=r,则OF=OD-DF=r-k. 在RtBOF中,有OF2+BF2=OB2, 即(r-k)2+(2k)2=r2,化简得r= k. OF=OD-DF=r-k= k. sinCBA= = = . CDA=CBA(同弧所对的圆周角相等), sinCDA=sinCBA= .,18.(2017苏州,27,10分)如图,已知ABC内接于O,AB是直径,点D在O上,ODBC,过点D作DEAB,垂足 为E,连接CD交OE于点F. (1)求证:DOEABC; (2)求证:ODF=BDE; (3)连接OC,设DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若
14、 = ,求sin A的值.,解析 (1)证明:AB是O的直径, ACB=90. DEAB,DEO=90, DEO=ACB. ODBC,DOE=ABC. DOEABC. (2)证明:DOEABC,ODE=A. A和BDC是 所对的圆周角, A=BDC, ODE=BDC. ODF=BDE. (3)DOEABC, = = , 即SABC=4SDOE=4S1. OA=OB,SBOC= SABC, 即SBOC=2S1. = ,S2=SBOC+SDOE+SDBE=2S1+S1+SDBE, SDBE= S1. BE= OE,即OE= OB= OD. sin A=sinODE= = .,解题关键 本题主要考查
15、相似三角形的性质和判定,圆周角定理,平行线的性质,能综合运用知识进行推理 是解此题的关键.,19.(2016苏州,26,10分)如图,AB是O的直径,D、E为O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得 CD=BD,连接AC交O于点F,连接AE、DE、DF. (1)证明:E=C; (2)若E=55,求BDF的度数; (3)设DE交AB于点G,若DF=4,cos B= ,E是 的中点,求EGED的值.,解析 (1)证明:连接AD. AB是O的直径, ADB=90,即ADBC, CD=BD, AD垂直平分BC, AB=AC,B=C. 又B=E,E=C. (2)四边形AEDF是O的内接四边形,
16、 E=180-AFD, 又CFD=180-AFD, CFD=E=55, 又E=C=55, BDF=C+CFD=110.,思路分析 (1)连接AD,则ADB=90,结合已知可得AD垂直平分BC,从而可得B=C,进而得E=C. (2)由圆内接四边形的对角互补,结合(1)可知C=CFD=55,从而可得BDF的度数. (3)结合(1)(2)及已知条件可得AEGDEA,从而得EGED的值.,考点2 与圆有关的位置关系 1.(2019苏州,5,3分)如图,AB为O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与O交于点C.延长BO与O交于点D, 连接AD.若ABO=36,则ADC的度数为 ( ) A.54 B.3
17、6 C.32 D.27,答案 D AB为O的切线,BAO=90, AOB=90-36=54. OD=OA,OAD=ODA. AOB=DAO+ADO=54, ADO=27,即ADC=27.故选D.,2.(2016连云港,8,3分)如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格 点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中 恰好有3个在圆内,则r的取值范围为 ( ) A.2 r B. r3 C. r5 D.5r,答案 B 如图,连接P1A,P2A,P8A. 根据勾股定理得P1A=5,P2A=3 ,P3A= , P4A=5,P5A= ,P6A= ,P7A=5,P8
18、A=2 . P8AP3A=P6AP2AP1A=P4A=P7AP5A, 除点A外恰好有三个格点在圆内, 这三个格点为P3、P6、P8, r3 .,解题关键 本题主要考查点与圆的位置关系及无理数的大小比较.根据8个格点到A点的距离判断出除A点 外的三个在圆内的格点是解本题的关键.属于中档题.,3.(2015南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与O相切于E、F、G三点,过点D 作O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 ( ) A. B. C. D.2,答案 A 在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线长定理得AE
19、= AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中,DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3 -x)2+42,解得x= ,则DM=3+ = .故选A.,4.(2019南京,14,2分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,点C、D在O上.若P=102,则A+C= .,答案 219,解析 连接AB, PA、PB是O的切线, PA=PB, P=102, PAB=PBA= (180-102)=39, DAB+C=180, PAD+C=PAB+DAB+C=39+180=219.,5.(2019常州,17,2分)如图,半径为 的O与边长为8的
20、等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则 tanOCB= .,答案,解析 设O与BC边的切点为D. 连接OB,OD. O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切, OBC=OBA= ABC=30,ODB=90, tanOBC= , BD= = =3, CD=BC-BD=8-3=5, tanOCB= = .,6.(2015镇江,10,2分)如图,AB是O的直径,OA=1,AC是O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD= -1,则ACD= .,答案 112.5,解析 连接OC,因为DC是O的切线,所以OCCD.因为OC=OB=OA=1,OD=OB+BD= ,所以DC= =1,所
21、以OC=CD,所以COD=45,所以ACO= COD=22.5,所以ACD=22.5+90=112.5.,7.(2017连云港,14,3分)如图,线段AB与O相切于点B,线段AO与O相交于点C,AB=12,AC=8,则O的半径 长为 .,答案 5,解析 连接OB, AB切O于B, OBAB,ABO=90, 设O的半径长为r, 由勾股定理得r2+122=(8+r)2, 解得r=5.,思路分析 连接OB,根据切线的性质得ABO=90,在RtABO中,由勾股定理即可求出O的半径长.,解题关键 本题考查了切线的性质和勾股定理的应用,解题关键是得到直角三角形ABO.,8.(2018南京,16,2分)如图
22、,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得 矩形ABCD的边AB与O相切,切点为E,边CD与O相交于点F,则CF的长为 .,答案 4,评析 本题主要考查圆的切线的性质,解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、 垂径定理等知识点.,9.(2019宿迁,24,10分)在RtABC中,C=90. (1)如图1,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证: 1=2; (2)在图2中作M,使它满足以下条件:圆心在边AB上;经过点B;与边AC相切.(尺规作图,只保留作图 痕迹,不要求
23、写出作法),解析 (1)证明:如图,连接OF, AC是O的切线,OFAC, C=90,OFBC,1=OFB, OF=OB,OFB=2,1=2. (2)如图所示,M即为所求. (i)作ABC的平分线交AC于F点.,(ii)作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆,M即为所求. 证明:M在BF的垂直平分线上, MF=MB,MBF=MFB, 又BF平分ABC, MBF=CBF, CBF=MFB,MFBC, C=90,FMAC, M与边AC相切.,10.(2019泰州,24,10分)如图,四边形ABCD内接于O,AC为O的直径,D为 的中点,过点D作DEAC,交 BC的延长线于点E. (1)判断
24、DE与O的位置关系,并说明理由; (2)若O的半径为5,AB=8,求CE的长.,解析 (1)DE与O相切. 理由:连接OD, AC为O的直径,ADC=90, D为 的中点, = , AD=CD,ACD=45, OC=OD,ODC=45, DEAC,CDE=DCA=45, ODE=90,DE与O相切. (2)O的半径为5,AC=10,AD=CD=5 , AC为O的直径,ABC=90, AB=8,BC=6, BAD=DCE,ABD=CDE=45, ABDCDE, = , = , CE= .,解题关键 本题考查了直线与圆的位置关系,等腰直角三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性 质等知识.正
25、确地识别图形、连接半径是解题关键.,11.(2017南京,24,8分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C.连接 PO,交O于点D. (1)求证:PO平分APC; (2)连接DB.若C=30,求证:DBAC.,证明 (1)如图,连接OB. PA、PB是O的切线, OAAP,OBBP. 又OA=OB,PO平分APC. (4分) (2)OAAP,OBBP, CAP=OBP=90.,C=30, APC=90-C=90-30=60, PO平分APC, OPC= APC= 60=30, POB=90-OPC=90-30=60. 又OD=OB, ODB是等边三角形
26、, OBD=60, DBP=OBP-OBD=90-60=30, DBP=C, DBAC. (8分),12.(2016南京,26,8分)如图,O是ABC内一点,O与BC相交于F、G两点,且与AB、AC分别相切于点D、E, DEBC.连接DF、EG. (1)求证:AB=AC; (2)已知AB=10,BC=12.求四边形DFGE是矩形时O的半径.,解析 (1)证明:O与AB、AC分别相切于点D、E, AD=AE,ADE=AED. DEBC, B=ADE,C=AED. B=C,AB=AC. (4分) (2)如图,连接AO,交DE于点M,延长AO交BC于点N,连接OE、DG.设O的半径为r.,四边形DF
27、GE是矩形,DFG=90. DG是O的直径. O与AB、AC分别相切于点D、E, ODAB,OEAC. 又OD=OE,AN平分BAC. 由(1)知AB=AC,ANBC,BN= BC=6. 在RtABN中,AN= = =8. ODAB,ANBC, ADO=ANB=90, 又OAD=BAN, AODABN. = ,即 = .,AD= r.BD=AB-AD=10- r. ODAB,GDB=ANB=90. 又B=B,GBDABN. = , 即 = .r= . 四边形DFGE是矩形时O的半径为 . (8分),方法总结 解决含有切线的解答题时,首先要想到的是作辅助线,由此获得更多的条件,一般作辅助线的方
28、法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形,然后利用勾股定理、相似三角形的性质等进行证明或计算.,13.(2017盐城,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分 BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,F与y轴相交于另一点G. (1)求证:BC是F的切线; (2)若点A、D的坐标分别为(0,-1)、(2,0),求F的半径; (3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.,解析 (1)证明:连接EF, AE平分BAC, FAE=CAE, FA=FE,FAE=FEA, FEA=EAC, F
29、EAC, FEB=C=90, 又EF为半径,BC是F的切线. (2)连接FD, 设F的半径为r, 在RtFOD中,FD2=FO2+OD2, 即r2=(r-1)2+22, 解得r= , 即F的半径为 . (3)AG=AD+2CD. 证明:作FRAD于R, 则FRC=90, 又FEC=C=90, 四边形RCEF是矩形,EF=RC=RD+CD, FRAD,AF=FD, AR=RD, EF=RD+CD= AD+CD, AG=2FE=AD+2CD.,B组 20152019年全国中考题组,考点1 圆的有关概念与性质,1.(2017甘肃兰州,4,4分)如图,在O中, = ,点D在O上,CDB=25,则AOB
30、= ( ) A.45 B.50 C.55 D.60,答案 B 连接OC,CDB=25, COB=50,又 = , AOB=COB=50,故选B.,2.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD互 余的角是 ( ) A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD,答案 D AB是O的直径, ADB=90, BAD+B=90, 易知ACD=B, BAD+ACD=90,故选D.,3.(2015山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是O上的三个点,若AOC=100,则ABC等于 ( ) A.50 B.80 C.100 D.130,答案 D
31、如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD.AOC=100,ADC= AOC=50.ADC+ ABC=180,ABC=180-50=130.故选D.,4.(2015广西南宁,11,3分)如图,AB是O的直径,AB=8,点M在O上,MAB=20,N是 的中点,P是直径AB 上一动点.若MN=1,则PMN周长的最小值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 B PMN的周长为PM、PN、MN的和,其中MN=1,所以只要PM、PN的和最小即可.如图,取N关于 AB的对称点C,连接MC交AB于P,此时PM、PN的和最小,PM、PN的和就是MC的长度.连接OM、ON、OC. MAB=20,MO
32、B=40.N为 的中点,NOB=20.直径ABCN,COB=20.MOC=60 .OM=OC,MOC为等边三角形.AB=8,MC=OM=4.PMN的周长的最小值为1+4=5.故选B.,5.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半 径为 ,AB=4,则BC的长是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC, D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2,OB= ,OD= =1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D
33、与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90, DOC=90,CD= OC= ,CBD=45,BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得CE= = 2 ,所以BC=BE+CE=3 ,故选B.,方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关 系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.,6.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则 AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=9
34、0,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30, 因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,7.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH=1,OHD=8 0,求BDE的大小.,图1 图2,解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BC
35、DF, F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB, PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且 = =1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1, AB= ,CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2AB
36、D,180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.,解后反思 本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判 定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化 思想.,考点2 与圆有关的位置关系,1.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,BC与O交于点D,连接OD.若C= 50,则AOD的度数为 ( ) A.40 B.50 C.80 D.100,答案 C AC是O的切线,AB是O的直径,ABAC,CAB=90. C=50,B=180-90-50=40.
37、AOD=2B=240=80,故选C.,2.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等 于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=O- DA+OAD=80.,3.(2015浙江宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的O与BC边相切于点E,则O的 半径为 .,答案,解析 连接EO,并延
38、长交AD于点H,连接AO. 四边形ABCD是矩形,O与BC边相切于点E, EHBC,ADBC,EHAD.根据垂径定理,得AH=DH. AB=8,AD=12,AH=6,HE=8. 设O的半径为r,则AO=r,OH=8-r. 在RtOAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r= . O的半径为 .,4.(2019杭州,23,12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于O,ODBC于点D,连接OA. (1)若BAC=60, 求证:OD= OA; 当OA=1时,求ABC面积的最大值; (2)点E在线段OA上,OE=OD.连接DE,设ABC=mOED,ACB=nOED(m,n是正数).若ABCAC
39、B,求 证:m-n+2=0.,解析 (1)证明:连接OB,OC. 因为OB=OC,ODBC, 所以BOD= BOC= 2BAC=60, 所以OBD=30, 所以OD= OB= OA. 作AFBC,垂足为点F, 所以AFADAO+OD= ,等号当点A,O,D在同一直线上时取到. 由知,BC=2BD= ,所以ABC的面积= BCAF = , 即ABC面积的最大值是 . (2)证明:设OED=ODE=,COD=BOD=. 因为ABC是锐角三角形, 所以ABC+ACB+BAC=180, 即(m+n)+=180.(*) 又因为ABCACB, 所以EOD=AOC+DOC=2m+. 因为OED+ODE+EO
40、D=180, 所以2(m+1)+=180.(*) 由(*) (*),得m+n=2(m+1), 即m-n+2=0.,5.(2018湖北武汉,21,8分)如图,PA是O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E,且 PA=PB. (1)求证:PB是O的切线; (2)若APC=3BPC,求 的值.,解析 (1)证法一:连接OP,OB. 在OAP和OBP中, OAPOBP, OAP=OBP, PA是O的切线, OBP=OAP=90, PB是O的切线. 证法二:连接OB. PA是O的切线, PAO=90. OA=OB,PA=PB,OAB=OBA,PAB=PBA. PBO=P
41、AO=90, PB是O的切线. (2)连接BC,设OP交AB于点F, AC是O的直径,ABC=90. PA,PB是O的切线, PO垂直平分AB,PO平分APB, BCPO, OPC=PCB. APC=3BPC, OPC=BPC,PCB=BPC, BC=BP. 设OF=t,则BC=BP=2t,由PBFPOB,得PB2=PFPO, 即(2t)2=PF(PF+t). 解得PF= t(取正值). PFECBE, = = .,解题技巧 对于含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的条 件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,构造直角三角形(或垂直),然后利用切线
42、性质及直角三 角形的边角关系、勾股定理进行证明或计算.,6.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交 CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求O的半径.,解析 (1)证明:BD是O的切线, OBD=90. CEOA,ACE=90. OBA+EBD=A+AEC=90. OA=OB,A=OBA, EBD=AEC. 又AEC=BED, BED=EBD,DB=DE. (2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6.,过点D作DMAB于点M, DE=DB, BM= BE=3, 在RtBMD中,
43、由勾股定理得,DM=4. 易证OBE=BDM, 又BEO=DMB, RtOBERtBDM, = , OB= .,C组 教师专用题组 考点1 圆的有关概念与性质,1.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若AOF =40,则F的度数是 ( ) A.20 B.35 C.40 D.55,答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,BOF=180-AOF=140, EOF=EOB= (360-140)=110. OE=OF,F=OEF= (180-EOF)=35,故选B.,2.(2019贵州贵阳,6,3分)如
44、图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90,答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD= =120,BC=CD,CBD= (180-120)=30,故 选A.,思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果.,答案 D 由题意可知 = = ,COM=COD.选项A的说法正确.连接ON,则OM=ON,又OM= MN,OMN是等边三角形.MON=60, = = ,AOB=COM=DON=20.选项B的说法 正确.连接CN,由圆周角定理可得MNC= MOC,DCN= DON,COM=DON,MNC=
