1、A组 20152019年山东中考题组,考点一 三角形的相关概念及边角性质,1.(2019临沂,6,3分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FCAB,若AB=4,CF=3,则BD的长是 ( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2,答案 B CFAB, A=FCE,ADE=F, 在ADE和CFE中, ADECFE(AAS), AD=CF=3, AB=4, DB=AB-AD=4-3=1.,思路分析 根据平行线的性质,得出A=FCE,ADE=F,根据全等三角形的判定,得出ADE CFE,根据全等三角形的性质,得出AD=CF,根据AB=4,CF=3,即可求DB的长.,2.(2019
2、枣庄,3,3分)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30角的三角板的一条直角边和含45角 的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则的度数是 ( ) A.45 B.60 C.75 D.85,答案 C 如图, ACD=90,F=45, CGF=DGB=45, =D+DGB=30+45=75.,3.(2015青岛,4,3分)如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E,DE=1,则 BC= ( ) A. B.2 C.3 D. +2,答案 C DEAB,B=30,BD=2DE=2, DCAC,DEAB,AD是BAC的平分线, DC=DE=1, BC=BD+DC
3、=2+1=3.故选C.,思路分析 根据“在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可求得 BD的长,再根据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可得到DE=DC,从而可求出BC的长.0,4.(2018聊城,10,3分)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在ABC外的A处,折痕为DE.如果 A=,CEA=,BDA=,那么下列式子中正确的是 ( ) A.=2+ B.=+2 C.=+ D.=180-,答案 A 设DA交AC于点F,经过折叠,A=A=,由三角形的外角定理,AFC=CEA+A=+, BDF=A+AFD=+,即=2+,故选A.,审题技巧 在求与
4、三角形有关的角度问题时,常常要用到三角形的内角和等于180,或三角形的外角等于 与它不相邻的两个内角的和.,考点二 全等三角形,1.(2018临沂,11,3分)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是 ( ) A. B.2 C.2 D.,答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+ DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2.,思路分析 通过证明ACD与CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,即可计算DE的
5、长.,2.(2016泰安,18,3分)如图,在PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若MKN =44,则P的度数为 ( ) A.44 B.66 C.88 D.92,思路分析 通过题中所给的条件AM=BK,BN=AK,以及由PA=PB,可得A=B,得到AKMBNK,所以 对应角相等,再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,便可求出A与MKN相等,最后由三 角形的内角和等于180,求出P的度数.,答案 D PA=PB,A=B.又BK=AM,BN=AK,AKMBNK(SAS),AMK=BKN, MKN+BKN=A+AMK,A=MKN,MKN
6、=44,A=44,P=180-2A=180-244=92. 故选D.,3.(2019滨州,11,3分)如图,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD=40,连接AC,BD 交于点M,连接OM.下列结论:AC=BD;AMB=40;OM平分BOC;MO平分BMC.其中正确的个 数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案 B AOB=COD=40, AOB+AOD=COD+AOD, 即AOC=BOD, 在AOC和BOD中, AOCBOD(SAS), OAC=OBD,OCA=ODB,AC=BD,正确; 由三角形外角的性质得AMB+OAC=AOB+OBD, AMB=A
7、OB=40,正确; 作OGMC于G,OHMB于H,如图所示,则OGC=OHD=90, 在OCG和ODH中, OCGODH(AAS), OG=OH,MO平分BMC,正确; 由条件推不出OM平分BOC, 错误,正确的个数为3. 故选B.,思路分析 由SAS证明AOCBOD得出OCA=ODB,AC=BD,正确; 由全等三角形的性质得出OAC=OBD,由三角形的外角性质得AMB+OAC=AOB+OBD,得出 AMB=AOB=40,正确; 作OGMC于G,OHMB于H,则OGC=OHD=90,由AAS证明OCGODH(AAS),得出OG=OH,可 得MO平分BMC,正确,由条件推不出,即可得出结论.,4
8、.(2019威海,15,3分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,过点C作CEBC,交AD于点E,连接BE,BEC=DEC, 若AB=6,则CD= .,答案 3,解析 如图,延长BC、AD交于F,BEC=DEC ,CEBC,EC=EC,ECFECB,FC=BC,又AB DC,根据平行线分线段成比例定理可得FD=DA,DC是FAB的中位线,由三角形中位线定理可得DC= AB= 6=3.,5.(2019临沂,19,3分)如图,在ABC中,ACB=120,BC=4,D为AB的中点,DCBC,则ABC的面积是 .,答案 8,解析 DCBC, BCD=90, ACB=120, ACD=30, 延长CD到
9、H使DH=CD, D为AB的中点, AD=BD, 在ADH与BDC中, ADHBDC(SAS), AH=BC=4,H=BCD=90, ACH=30,CH= AH=4 , CD=2 , SABC=2SBCD=2 42 =8 .,6.(2018菏泽,17,6分)如图,ABCD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.,解析 DF=AE. 证明:ABCD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCFABE(SAS), DF=AE.,思路分析 由已知条件易证DCFABE(SAS),可得DF=AE.,7.(2017临沂,25,11分)数学课上,
10、张老师出示了问题:如图1,AC、BD是四边形ABCD的对角线,若ACB= ACD=ABD=ADB=60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系? 经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得ABEADC,从而容 易证明ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而容易证明,ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB
11、=ACD=ABD=ADB =45”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并 给出证明;,(2)小华提出:如图5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB =”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用 证明.,解析 (1)BC+CD= AC. 证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90,AD=AB. ABC+ADC=180.又ABE+ABC=180, ADC=AB
12、E.ADCABE. AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90. CE= AC,BC+CD= AC.,(2)BC+CD=2ACcos . (证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=, BAD=180-2,BCD=2,AD=AB. BAD+BCD=180,ABC+ADC=180. 又ABE+ABC=180, ADC=ABE,ADCABE,AC=AE. 过点A作AFCE,则EC=2CF. 在RtACF中,CF=ACcos .EC=2ACcos ,BC+CD=2ACcos .),一题多解 (1)BC+CD= AC. 证明:ACB=ACD=ABD=AD
13、B=45, BAD=90,BCD=90. ABC+ADC=180. 将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF, 使AB与AD重合. DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC. ADF+ADC=180. C、D、F三点在同一条直线上. CF= AC.BC+CD= AC.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 三角形的相关概念及边角性质,1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( ),答案 A 三角形具有稳定性.故选A.,2.(2018湖南长沙,4,3分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A.4 cm,5 cm,9 cm B.8 cm,8 cm,1
14、5 cm C.5 cm,5 cm,10 cm D.6 cm,7 cm,14 cm,答案 B 三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.A选项,4+5=9,不符合三角形三边关系;C选 项5+5=10,不符合三角形三边关系;D选项,6+7=1315,15-8=78, 符合三角形三边关系,故B正确.,3.(2018浙江杭州,5,3分)若线段AM,AN分别是ABC的BC边上的高线和中线,则 ( ) A.AMAN B.AMAN C.AMAN D.AMAN,答案 D AM和AN可以看成是直线外一定点与直线上两定点的距离,由垂线段最短,知AMAN(当AB=AC 时,AM=AN).,4.(2018宿迁
15、,6,3分)若实数m、n满足等式|m-2|+ =0,且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长,则 ABC的周长是( ) A.12 B.10 C.8 D.6,答案 B |m-2|+ =0, m-2=0,n-4=0, 解得m=2,n=4, 当腰长为2时,三边长为2,2,4,不符合三边关系定理; 当腰长为4时,三边长为2,4,4,符合三边关系定理,此时周长为2+4+4=10. 故选B.,5.(2019北京,10,2分)如图,已知ABC,通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位小 数),答案 2.6,解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB2.6 cm,CD2 cm,所以可求得A
16、BC的面积约为2.6 cm2.,6.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4. BC=BD+CD=9.,BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC边的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,考点二
17、 全等三角形,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=DB,不符合全等三角形的判定定 理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2018贵州黔三州,7,4分)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全 等的是 ( ) A.甲和乙 B.乙和丙
18、C.甲和丙 D.只有丙,答案 B 由边角边判断条件知乙三角形与左侧ABC全等,由角角边判断条件知丙三角形与左侧ABC 全等.,3.(2018南京,5,2分)如图,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD 的长为 ( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c,答案 D ABCD,CEAD,BFAD, AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90, A=C,又AB=CD, ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b. EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c, 故选D.,思路分析 证明ABFCDE,
19、得出AF=CE=a,BF=DE=b,从而推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.,解后反思 本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型.,4.(2018浙江金华、丽水,12,4分)如图,ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得ADC BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 .,答案 CA=CB(或CE=CD,答案不唯一),解析 已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定ASA或AAS.故答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等.,5.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,B=E.求证:ACDF.,证明
20、 BF=EC, BF+CF=EC+CF, BC=EF, 在ABC与DEF中, ABCDEF(SAS), ACB=EFD, ACDF.,6.(2018云南,16,6分)如图,已知AC平分BAD,AB=AD. 求证:ABCADC.,证明 AC平分BAD, BAC=DAC. (2分) 在ABC和ADC中, ABCADC(SAS). (6分),7.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于 点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全 等
21、三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD, ABHDCG,AH=DG,AG=DH. (5分),归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理. 当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或 一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.,8.(2018广西桂林,21,8分)如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF. (1)求证:ABCDEF; (2)若A=55,B
22、=88,求F的度数.,解析 (1)证明:AD=CF,AD+CD=CF+CD,即AC=DF,则在ABC和DEF中, ABC DEF(SSS). (2)在ABC中,A=55,B=88,A+B+ACB=180,ACB=180-A-B=37,又ABC DEF, F=ACB=37.,思路分析 (1)利用SSS定理即可证明ABCDEF; (2)由三角形内角和定理求出ACB的度数,再利用全等三角形对应角相等可求得F的度数.,C组 教师专用题组,考点一 三角形的相关概念及边角性质,1. (2018广西柳州,6,3分)如图,图中直角三角形共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 图中的3个
23、三角形都含有一个内角是直角,故图中有3个直角三角形.,2.(2018贵州毕节,5,3分)已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,答案 C 设这个三角形的第三边长为a,由“两边之差第三边两边之和”可得8-2a8+2,即6a10,故 选C.,3.(2018广西南宁,6,3分)如图,ACD是ABC的外角,CE平分ACD,若A=60,B=40,则ECD等于 ( ) A.40 B.45 C.50 D.55,答案 C 由题意知ACD=A+B=60+40=100,因为CE平分ACD,所以ACE=ECD= ACD= 100=50.,思路分析
24、由外角的性质可以求得ACD=100,再由CE平分ACD可得ECD=50.,4.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是ABC的中线,则该线 段是 ( ) A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG,答案 B 连接三角形一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出,线 段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线段BE是ABC的中线,故 选B.,5.(2018湖北黄石,7,3分)如图,ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是BAC、ABC的平分线,BAC= 50,
25、ABC=60,则EAD+ACD= ( ) A.75 B.80 C.85 D.90,答案 A 根据三角形内角和定理,得ACD=180-(BAC+ABC)=70,CAD=90-ACD=20.AE 是BAC的平分线,CAE= BAC=25.EAD=CAE-CAD=25-20=5.EAD+ACD=5+7 0=75.,6.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60, C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180
26、-(25+25 )=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,7.(2016四川内江,26,12分)问题引入: (1)如图,在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点,若A=,则BOC= (用表示);如图 ,CBO= ABC,BCO= ACB,A=,则BOC= (用表示); 拓展研究: (2)如图,CBO= DBC,BCO= ECB,A=,猜想BOC= (用表示),并说明理由; (3)BO、CO分别是ABC的外角DBC、ECB的n等分线,它们交于点O,CBO= DBC,BCO= ECB,A=,请猜想BOC= .,解析 (1)90+ ;120+ .
27、在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点, CBO= ABC,BCO= ACB. A=,BOC=180-(CBO+BCO) =180- (ABC+ACB) =180- (180-A) =180- (180-) =180-90+ =90+ . CBO= ABC,BCO= ACB,A=,BOC=180- (ABC+ACB) =180- (180-A) =180- (180-) =180-60+ =120+ . (2)120- . 理由:CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180- 360-(ABC+ACB),=180- 360-(180-A) =
28、180- (180+) =180-60- =120- . (3) . CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180- 360-(ABC+ACB) =180- 360-(180-A),=180- (180+) = 180- = .,考点二 全等三角形,1.(2018贵州安顺,5,3分)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪 个条件仍不能判定ABEACD ( ) A.B=C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD,答案 D 由题可知,AB=AC,A为公共角, 选项A,添加B=C,利用ASA即可
29、证明ABEACD; 选项B,添加AD=AE,利用SAS即可证明ABEACD; 选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,利用SAS即可证明ABEACD; 选项D,添加BE=CD,因为SSA不能证明两三角形全等,故此选项不能作为添加的条件.故选D.,易错警示 开放性的题目因不能正确地确定判定方法及找出合适的对应边(角)而出错.常常误认为 “SSA”也是一个判定定理.,2.(2016淄博,11,4分)如图,直线l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,ACB=90, AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1.l2与l3的距离为3.则 的值为 ( ) A. B
30、. C. D.,答案 A 如图,作BFl3,AEl3交l2于点G. ACB=90,BCF+ACE=90. BCF+CBF=90,ACE=CBF. 又BFC=CEA=90,BC=CA,ACECBF. CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7. AB= =5 . l2l3, = = .DG= .,BD=BG-DG=7- = . = = .故选A.,解题关键 添加辅助线构造全等三角形是解题关键.,3.(2018浙江衢州,13,4分)如图,在ABC和DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,ABDE,请添加一个 条件,使ABCDEF,这个添加的条件可以是 (只需写一个,不添
31、加辅助线).,答案 ACDF(AB=DE或A=D,答案不唯一),解析 已知ABDE,BF=CE,这样可以看作已知一角和一边对应相等,根据判定方法写出添加条件即可.答 案不唯一.,解题关键 本题考查了全等三角形的判定,解题的关键是了解全等三角形的判定方法.,4.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE.,证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF, BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS),AF=DE.,5.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证
32、明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE, (1分) 在ABC和ADE中, (3分) ABCADE(ASA), (5分) BC=DE. (6分) (其他证法参照此标准给分),6.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并 使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN
33、,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,方法归纳 证明三角形全等的一般思路: 1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.
34、2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条邻边:找角的另一条邻 边,利用SAS求解,找边的另一邻角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解. 3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,7.(2018广西柳州,20,6分)如图,AE和BD相交于点C,A=E,AC=EC,求证:ABCEDC.,证明 在ABC和EDC中, ABCEDC(ASA).,思路分析 根据已知条件和图形中的对顶角相等,利用ASA判定两个三角形全等即可.,8.(2018四川乐山,19,9分)如图,已知1=2,3=4,求证:BC=BD
35、.,证明 在ABC和ABD中, 3=4,3+ABC=4+ABD, ABC=ABD, (3分) 又1=2,AB=AB, ABCABD. (7分) BC=BD. (9分),9.(2016湖北孝感,18,8分)如图,BDAC于点D,CEAB于点E,AD=AE. 求证:BE=CD.,证明 BDAC于点D,CEAB于点E, ADB=AEC=90. 在ABD和ACE中, ABDACE(ASA). AB=AC.又AD=AE,AB-AE=AC-AD,即BE=CD.,10.(2016湖北宜昌,18,7分)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的 空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙
36、上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下, 如图,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,ODCD,垂足为D.已知AB=20米.请根据 上述信息求标语CD的长度.,解析 ABDC,ABO=CDO. 又DOCD,CDO=90, ABO=90,即BOAB. 相邻两平行线间的距离相等,BO=DO. 在BOA与DOC中, BOADOC.CD=AB=20米. 故标语CD的长度为20米.,一、选择题(共3分),20分钟 20分,1.(2018泰安泰山学院附中二模,8)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根,则该 三角形的周长可以是 ( ) A.5 B.
37、7 C.5或7 D.10,答案 B 解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,根据题意,等腰三角形的腰长只能是3,底边长是1,该三角形的周 长为3+3+1=7.,二、填空题(共3分),2.(2019枣庄一模,15)如图,直线AB,CD分别经过线段MN两端点,BMN=100,MNC=70,则AB,CD相交所 成的锐角大小是 .,答案 30,解析 延长BA,DC交于F, BMN=100,MNC=70, F=100-70=30.,三、解答题(共14分),3.(2019曹县一模,17)如图,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2. 求证:EDC=C.,证明 ADE=1+DCE=2+BDE,且1=
38、2, DCE=BDE,又A=B,AE=BE, BDEACE(AAS), DE=EC, EDC=C.,思路分析 由三角形的外角的性质可得DCE=BDE,由“AAS”可证BDEACE,可得DE=EC,由等 腰三角形的性质可得结论.,4.(2018淄博沂源期中,19)如图,已知AD是ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使AED AFD,需添加一个条件是 ,并给予证明.,解析 本题答案不唯一.如:AE=AF或EDA=FDA或AED=AFD. 证明:当AE=AF时, AD是ABC的角平分线,EAD=FAD. 在AED和AFD中, AEDAFD(SAS).,易错警示 本题容易添加条件DE=DF
39、,误用“SSA”.,一、选择题(每小题3分,共9分),25分钟 20分,1.(2018泰安新泰一模,11)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE= 2,则BCE的面积等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4,答案 C 如图,过点E作EFBC于F,BE平分ABC,EDAB,EF=DE=2,SBCE= BCEF= 52=5.,思路分析 作EFBC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式即可求解.,2.(2018临沂模拟,12)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BCD=45,AD=2,BC=3,将腰CD以
40、D为中 心逆时针旋转90至ED,连接AE,则ADE的面积是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.不能确定,答案 A 如图,过点E作EFAD交AD延长线于F,过点D作DGBC于G. 将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED, DE=DC,DEDC,CDG=EDF,CDGEDF, AD=2,BC=3,BCD=45, CG=1,DG=CG=DF=EF=1,ADE的面积是 21=1.,3.(2018济南历城一模,10)如图,ABC的面积为8 cm2,BP平分ABC,APBP于P,连接PC,则PBC的面积 为 ( ) A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2,答案 C 延长AP交BC
41、于E,如图所示: BP平分ABC,ABP=EBP, APBP,APB=EPB=90, 在ABP和EBP中, ABPEBP(ASA),AP=EP,SABP=SEBP,SACP=SECP, SPBC= SABC= 8=4(cm2).,思路分析 延长AP交BC于E,构造全等三角形,再利用等底同高的三角形的面积相等把PBC的面积转化 为ABC的面积的一半.,二、解答题(共11分),4.(2017潍坊模拟,24)【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即 “HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形
42、进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B进行分类,可分 为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. 【深入探究】 第一种情况:当B是直角时,ABCDEF. (1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据 ,可以知道RtABCRtDEF.00,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF. (2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF.,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等. (3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,
43、B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作出DEF,使 DEF和ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹),(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论: 在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若 ,则ABCDEF.,解析 (1)HL. (2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足. ABC、DEF都是钝角, G、H分别在AB、DE的延长线上. CGAG,FHDH, CGA=FHD=90. CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH. 在BCG和EFH中, CGB=FHE
44、,CBG=FEH,BC=EF, BCGEFH. CG=FH. 又AC=DF, RtACGRtDFH.,A=D. 在ABC和DEF中, ABC=DEF,A=D,AC=DF, ABCDEF. 图,(3)如图,DEF就是所求作的三角形. 图 (4)本题答案不唯一,下列解法供参考. BA.,思路分析 (1)直接利用HL得出RtABCRtDEF;(2)作CGAB,交AB的延长线于G,作FHDE,交DE的 延长线于H.首先得出CBGFEH(AAS),则CG=FH,进而得出RtACGRtDFH,再证出ABC DEF;(3)利用已知图形再作一个钝角三角形即可得出答案;(4)利用(3)中方法可得出当BA时,ABC DEF.,(2018泰安中考样题,22)如图,已知ABC中,AB=AC,把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE,连接BD,
