1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线 的倾斜角是（）ABCD2圆 的圆心 C 的坐标为（）ABCD3双曲线 的渐近线方程为（）ABCD4，若 ，共面，则实数 为（）A1B2C3D45直线 的截距式方程为（）ABCD6如图，在直三棱柱 中，分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（）A30B45C60D907已知圆 C：，直线 ，则圆 C 上与直线 距离为 的点的个数为（）A1B2C3D48小明同学在一个宽口半径为 1，高度为 1 的抛物面杯子做小球放入实验，要求小球能与杯底接触，他能放入小球的最大半径是（）ABCD1二、多选题二、多选题9已
2、知直线 ，b 和平面 ，若 ，则直线 b 与平面 的位置关系可能是（）ABb 与 相交CD10已知 ，若 ，则 的值可能为（）A-2B-1C1D211圆 与圆 有且仅有两条公切线，实数 的值可以取（）A1B2C3D412如图，已知抛物线 ，从直线 上一点 向抛物线 引两条切线 ，切点分别为 .直线 过线段 的中点 ，则 点到直线 的距离可以为（）A1BCD三、填空题三、填空题13空间两点 ，中点坐标为 .14直线 ，之间距离为 ，则实数 .15在平面直角坐标系 内，点 ，集合 ，任意的点 ，则 的取值范围是 .16如图，在棱长为 的正方体 中，分别为棱 的中点，若点 分别为线段 上的动点，则
3、的最小值为 .四、解答题四、解答题17已知点 ，向量 .（1）若 ，求实数 的值；（2）求向量 在向量上 上的投影向量.18已知直线 ，圆 .（1）（i）当实数 变化时，求直线 经过的定点 的坐标；（ii）若直线 与圆 相切于点 ，求 的长；（2）若直线 与圆 相交于 两点，且 为钝角三角形，求 的取值范围.19如图，三棱锥 中，为正三角形.（1）证明：；（2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.20如图，四棱台中，底面 为正方形，平面 ，且 ，.（1）证明：平面 ；（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.21如图，点 是抛物线 上的动点，过点 的直线 与抛物线交于另一点 .（1）
4、当 的坐标为 时，求点 的坐标；（2）已知点 ，若 为线段 的中点，求 面积的最大值.22如图，已知椭圆的标准方程为 ，斜率为 k 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 AB 两点.（1）若 与 共线.（i）求椭圆的离心率；（ii）设 P 为椭圆上任意一点，且 （，R），当 时，求证：.（2）已知椭圆的面积 ，当 k=1 时，AOB 的面积为 ，求 的最小值.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】直线 的斜率为 1，倾斜角为 故答案为：A【分析】先求出直线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角。2【答案】C【解析】【解答】由题意，圆的标准方程 ，可得圆心坐标为 .故答案
5、为：C【分析】根据圆的标准方程的形式，求圆心坐标。3【答案】D【解析】【解答】由双曲线方程得 ，即 ，此为渐近线方程 故答案为：D【分析】把双曲线的标准方程中的 1 换成 0 即得渐近线方程，化简即可得到所求.4【答案】B【解析】【解答】向量 ，若向量 ，共面，则存在唯一的实数对 ，使 ，即 ，解得 ，实数 的值为 2故答案为：B【分析】直接根据向量 ，共面，使，根据向量线性坐标表示可得，求解可得实数 的值。5【答案】A【解析】【解答】方程化为 ，即 为截距式方程 故答案为：A【分析】根据截距式方程的形式变形，可得答案。6【答案】B【解析】【解答】由题意以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则
6、，所以 ，即异面直线 与 所成角是 45故答案为：B【分析】以 为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角。7【答案】D【解析】【解答】圆 C 的圆心为 ，圆 C 到直线 距离为：，圆 C 的半径为 ，圆 C 上与直线 距离为 的点的个数为 4故答案为：D【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可。8【答案】B【解析】【解答】作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点 在抛物线线，设抛物线方程为 ，则 ，抛物线方程为 ，设球心为 （），球半径为 ，是抛物线上任一点，则 ，小球与杯底接触，则上式在 时取得最小值，当 ，即 时，所以 故答案为：B【分析】作杯子的截面
7、得一抛物线，建立平面直角坐标系，求出抛物线方程为，设球心为 （），球半径为 ，是抛物线上任一点，则，而小球与杯底接触，则上式在 时取得最小值，由此的 a 的范围，从而可得 r 的最大值。9【答案】A,C【解析】【解答】如图，直线 b 与平面 的位置关系有两种，即 或 或 故答案为：AC【分析】根据直线与平面的位置关系，即可得出答案。10【答案】B,D【解析】【解答】，即 ，解得 或 ，所以 或 2，故答案为：BD【分析】根据向量平行，由向量共线定理建立方程组，求解即可得出答案。11【答案】A,B【解析】【解答】因为圆 与圆 有且仅有两条公切线，所以两圆相交，因为 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心
8、为 ，半径 ，所以 即 ，解得 ，故答案为：AB【分析】由题意可知两圆相交，根据两圆的位置关系列出不等式，求解可得答案。12【答案】B,C,D【解析】【解答】设 ，设 ，过 点的切线方程是 ，由 得，切线方程为 ，即 ，同理过 点的切线方程是 ，两条切线都过 点，所以 ，由此可知过 两点的直线方程是 ，由 得 ，设 中点为 ，则 ，点 在直线 上，所以 ，点 到直线 的距离为 故答案为：BCD【分析】设 ，设，利用切点写出切线方程，由切线都过点 P(P 点坐标代入）得切点弦直线方程，此直线方程与抛物线方程联立消元应用事达定理得出中点坐标，由中点坐标求得参数 m，由点到直线距离公式求得距离，得距
9、离的取值范围，可得答案.13【答案】【解析】【解答】，中点坐标为 故答案为：【分析】根据中点坐标公式，即可求得答案。14【答案】4 或-16【解析】【解答】把 变形为 ，则 解得：a=4 或-16故答案为：4 或-16【分析】将直线的方程变形为 2x+4y-6=0，再利用平行线间的距离公式可求得结果.15【答案】【解析】【解答】原点到直线 的距离 ，所以直线上点 到原点的距离为 ，所以 点在以 为圆心，为半径的圆上，所以 的取值范围是 故答案为：【分析】根据点到直线的公式可求得 d=2，进而得 点在以 为圆心，为半径的圆上，可得 的取值范围。16【答案】1【解析】【解答】如图所示，当 点运动时
10、，位于 中点时，最小；若 ，则 ，即 ，当 三点共线时，最小，即 最小，此时 故答案为：1【分析】当 点运动时，位于 中点时，最小，当 三点共线时，最小，即 最小，可得答案。17【答案】（1）解：，即 ，得 ；（2）解：，向量 在 上的投影为 ，与 同向单位向量为 ，则向量 在向量上 上的投影向量为 .【解析】【分析】（1）由 即，求解可得实数 的值；（2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得向量 在向量上 上的投影向量.18【答案】（1）解：（i）由直线 ：，令 ，则 ，即点 ；（ii），所以 ；（2）解：设圆心 到直线 的距离为 ，因为 为钝角三角形，所以 为钝角，故 ，所
11、以 ，所以 .【解析】【分析】（1）（i）将含有 a 的式子提公因式，然后令其他部分等于 0，可求得点 P 的坐标；（ii）直接用切线长公式即可求出 的长；（2）为钝角三角形，可分析出圆心 到直线 的距离的范围，列出不等式可求解。19【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、，为正三角形，为 的中点，所以，又 ，平面 ，平面 ，.（2）解：由（1）知 是二面角 的平面角，作 交 延长线于点 ，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，平面 ，平面 ，又 ，平面 ，设 ，则在 中，则 ，所以，所以二面角 的余弦值为 .【解析】【分析】（1）取 的中点 ，连接、，证明出平面 ，即可得出；（2）设 ，由（
12、1）知 是二面角 的平面角，作 交 延长线于点，证明出平面 ，计算出 AE、PA 的值，即可求得的值，即可得解。20【答案】（1）证明：延长侧棱交于点 ，连结 交 于点 ，连结 ，由条件可知 ，分别为 与 的中点，又 平面 ，平面 ，平面（2）解：如图，建立空间直角坐标系 ，则 ，设 ，则 ，则 ，设平面 的一个法向量 ，即 令 ，则 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，解得：，或 ，或 或 .【解析】【分析】（1）由中位线证明 ，再根据线面平行的判定定理即可证明 平面 ；（2）利用向量法求出线面角，解出 P 点坐标即可求解。21【答案】（1）解：因点 在抛物线 上，故有 ，所以 ，从而抛物线
13、的方程为 .直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，联立 ，可得 ，解得 （舍去），或 ，所以，点 的坐标为 .（2）解：设点 的坐标为 ，由 为线段 的中点，得点 的坐标为 ，又点 在抛物线 上，所以 ，即 .的面积 .所以，当 ，即 或 时，的面积取得最大值，最大值为 2.【解析】【分析】（1）求出抛物线的方程，可求得直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，即可求得点 B 的坐标；（2）设点 的坐标为 ，可得出点 B ，将点 B 的坐标代入抛物线的方程可得出，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得 面积的最大值.22【答案】（1）解：设 ，直线方程为 ，联立直线与椭圆方程得 ，因 与 共线，则 ，得 ，（i）（ii）设 ，由 得 代入椭圆方程得 整理得 （*）由（i）得 （1），（2）（3）将（1）（2）（3）代入（*）得 ，令 则（iii）即（2）解：到直线 的距离 ，设 ，原式 ，即 的最小值为 .【解析】【分析】（1）设出直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，利用向量共线化简可得 （i）根据离心率的公式可求出椭圆的离心率；（ii）设 ，根据向量关系，用 A，B 坐标表示，代入椭圆方程，化简可得，令 换元后，利用均值不等式及函数单调性求解即可；（2）利用 求出 S，直接计算 ，利用 换元后，配方求最值即可。
