1、 高三上学期数学 11 月期中联考试卷 高三上学期数学 11 月期中联考试卷一、单选题一、单选题1已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为（）ABCD2若复数 z 满足 ，则在复平面内 z 对应的点的坐标是（）ABCD3已知向量 ，则 在 方向上的投影是（）ABCD4设 ，则 （）A3B1C-1D-35已知 是偶函数，当 时，恒成立，设 ，则 、的大小关系为（）ABCD6已知数列 中，则 等于（）ABCD7已知 是定义在 R 上的函数，是 的导函数，满足：，且 ，则不等式 的解集为（）ABCD8在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的沿溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有 505 方摩崖石
2、刻，最引人称颂的是公元 771 年摹刻的大唐中兴颂，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝”，该碑高 3 米，宽 3.2 米，碑身离地有 3.7 米（如图所示），有一身高为 的游客从正面观赏它（该游客头顶 T 到眼睛 C 的距离为 ），设该游客离墙距离为 x 米，视角为 ，为使观赏视角 最大，x 应为（）AB3CD二、多选题二、多选题9已知直线 lm，平面 ，则下列说法中正确的是（）A若 ，则必有 B若 ，则必有 C若 ，则必有 D若 ，则必有 10下列说法中正确的是（）A“”是“”的充分不必要条件B在 中，“”，是“”的充要条件C“a，G，b 成等比数列”是“
3、”的充要条件D“”是“存在一个实数 ，使得 ”的必要不充分条件11已知函数 ，下列结论中错误的是（）A 的最小正周期为 B 的图像关于直线 对称C 在 单调递增D 的最大值为 12已知函数 下列说法正确的是（）A对于 都存在零点B若 恒成立，则正实数 a 的最小值为 C若 图像与直线 分别交于 A，B 两点，则 的最小值为 D存在直线 与 的图像分别交于 A，B 两点，使得 在 A 处的切线与 在 B 处的切线平行三、填空题三、填空题13已知 ，且 ，则 的最小值是 .14曲线 在点 处的切线方程为 .15已知 A，B，C 是半径为 2 的球 O 的球面上的三个点，P 为该球面上的动点，则三棱
4、锥 体积的最大值为 .16已知数列 为 ，则它的第 9 项为 ；写出数列 的通项公式 .四、解答题四、解答题17已知函数（1）求 的单调递增区间；（2）求 的最大值及相应 x 的集合.18已知数列 满足 .（1）证明 是等比数列，并求 的通项公式；（2）求数列 落入区间 的所有项的和.19已知函数 .（1）求函数 的极值；（2）是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最小值为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.20已知 为等比数列，记数列 满足 ，且 .（1）求 和 的通项公式；（2）对任意的正整数 ，设 ，求 的前 项的和 .21如图，有一位于 处的台风预测站，某时刻发现其北偏东 45
5、 且与 相距 海里的 处有一台风中心正以匀速直线移动，20 分钟后又测得该台风中心位于预测站 北偏东 ，且与预测站 相距 海里的 处.已知 ，为锐角.（1）求该台风中心移动的速度 （海里/小时）；（2）在离预测站 的正南方有半径为 5 海里的圆形小岛，其中心 距离 处 20 海里，如果台风中心移动速度和方向均不改变，则该小岛是否会受台风影响？若小岛受影响，则受影响时间是否超过 15 分钟？请说明理由.22已知函数 ，.（1）讨论 在 内的零点个数.（2）若存在 ，使得 成立，证明：.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】由题知 ，得 ，则 ，故答案为：A【分析】由 ，得，从而可求
6、出 m 的取值范围。2【答案】C【解析】【解答】，所以复平面内 z 对应的点的坐标为 ，故答案为：C【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。3【答案】C【解析】【解答】由题得 ，在 方向上的投影是 .故答案为：C【分析】根据题意由投影公式，代入数值计算出结果即可。4【答案】B【解析】【解答】因为 ，所以 ，则 ，所以则 .故答案为：B.【分析】根据题意由对数的运算性质，整理化简即可得出答案。5【答案】A【解析】【解答】当 时，恒成立，则 ，所以 在 为增函数.又因为 是偶函数，所以，即 ，所以 ，即 .故答案为：A.【分析】由函数单调性的定义即可得证
7、出函数的单调性，再由偶函数的性质，代入数值计算出函数的值，由此比较出 a、b、c 的大小即可。6【答案】A【解析】【解答】因为，所以，-得 ，当 时 ，满足上式.所以 ，数列 是以 为首项，为公比的等比数列，.故答案为：A.【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可，再令验证即可得到数列的通项公式，再由等比数列的前 n 项和公式，计算出结果即可。7【答案】D【解析】【解答】令 ，则 ，所以 在 R 上单调递增，不等式 可化为 ，而 ，则 ，即 ，所以 ，即不等式解集为 .故答案为：D【分析】根据题
8、意构造函数，对函数求导由导函数的性质即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可得到不等式，结合题意整理即可得到，从求出不等式的解集。8【答案】A【解析】【解答】设 ，由图可知 ，由基本不等式知，当 ，即 时，最大，从而角 最大.故答案为：A【分析】由已知条件设出角的大小，再由两角和的正切公式代入数值，结合基本不等式即可求出的最大值。9【答案】C,D【解析】【解答】对于 A，平面 可能相交，所以 A 不符合题意；对于 B，平面 可能平行或斜交，所以 B 不符合题意；对于 C，因为 且 ，则必有 ，所以 C 符合题意；对于 D，因为 ，则必有 ，所以 D 符合题意.故答案为：CD【分析】根据题意由直
9、线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。10【答案】B,D【解析】【解答】对于 A，当 时，充分性不成立，A 不符合题意；对于 B，由正弦定量 知，推出 ，大边对大角故 ，反之亦然成立，B 符合题意；对于 C，等比数列不能有 0 项，“a，G，b 成等比数列”是“”的充分非必要条件，C 不符合题意；对于 D，若 时，成立，但是不存在一个实数 ，使得 ，故充分性不成立.存在一个实数 ，使得 ，则 ，必要性成立，D 符合题意.故答案为：BD【分析】由特殊值法代入结合不等式的性质和乘法和必要条件的定义，即可判断出选项 A 错误；由三角形的几何性质以及正弦函数的单调性即
10、可判断出选项 B 正确；由等比数列的项的性质即可判断出选项 C 错误；由共线向量的定理结合充分和必要条件的定义即可判断出选项 D 正确，由此即可得出答案。11【答案】A,C,D【解析】【解答】对于 A，所以该选项错误，符合题意；对于 B，所以 的图像关于直线 对称，所以该选项正确，不符合题意；对于 C，令 时，所以 在 和 递减，在 递增.当 时，而 ，故当 时，有增有减，所以该选项错误，符合题意；对于 D，在 和 递减，在 递增，所以该选项错误，符合题意.故答案为：ACD【分析】由周期公式的定义即可判断出选项 A 正确；由图象对称性的性质，代入数值即可判断出选项 B 错误；由二倍角的正余弦公
11、式整理化简函数的解析式，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性由此即可判断出选项 C 正确；根据题意由函数的单调性即可求出函数的最大值，由此判断出选项 D 正确，由此即可得出答案。12【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于 A，因为 ，所以 ，令 ，存在 使得 ，故 在 单调递减，在区间 单调递增，的最小值为 ，当 时，不存在零点，A 不符合题意.对于 B，不等式化为 ，令 ，则 ，所以 在 上递增，故同构可得：，即 的最大值，令 ，则 ，所以 时 ，当 时 ，所以 ，所以 成立，B 符合题意.对于 C，可知 ，令 在 上递增，且 ，当 ，当 ，所以，C 符合题意.对于 D，假设存在 满足
12、题意，可知 ，因为在 在 A 处与 在 B 处的切线平行所以有，即 ，得 ，故存在 m 符合题意，D 符合题意.故答案为：BCD【分析】对函数 h(x)求导，利用函数单调性与导数的关系，求得 h(x)的最小值，因此可得 h(x)不存在零点由此判断出选项 A 错误；利用不等式，构造函数，利用函数的单调性，分离参数可得，结合其导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的最大值，由此即可求得 a 的取值范围，从而判断出选项 B 正确；根据题意设出 A 和 B 点坐的标，由此求得，构造函数，利用函数单调性与导数的关系，即可求得最小值，因此求得的最小值，由此即可判断出选项 C 正确；由 C 选项
13、可知，f(x)在 A 处与 g(x)在 B 处的切线平行，因此可得，化简可得，由此即可求得 m 的值，所以存在 m 符合题意，由此判断出选项 D 正确，从而得出答案。13【答案】【解析】【解答】由题得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.故答案为：.【分析】根据题意整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值。14【答案】y=-ex+e【解析】【解答】，又 ，所以 在 处的切线方程为 ，化简得 y=-ex+e.故答案为：y=-ex+e【分析】根据题意对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，然后由点斜式即可求出直线的方程。15【答案】【解析】【解答】中，因为 ，可知
14、外接圆半径为 1，又因为球半径为 2，可知球心到平面 的距离为 ，所以球面上的任意一点 P 到平面 距离的最大值为 ，此时四棱锥 的体积最大，.故答案为：【分析】由三角形中的几何计算关系，代入数值勾股定理计算出线线垂直，再由点到平面的距离公式结合球的几何意义，即可求出点 P 到平面的最大值，结合四棱锥的体积公式代入数值计算出结果即可。16【答案】46；【解析】【解答】由题意，第 9 项为 ；根据数列的规律得到其递推关系为 ，得到 ，所以 ，令 ，是奇数，所以 ；因为 ，所以 ，令 ，是偶数，所以 ；故 .故答案为：46；.【分析】根据题意，分析数列各项的规律，由此即可得出数列的递推公式，再对
15、n 分情况讨论由此分析可得答案。17【答案】（1）解：因为 ，所以 当 ，即 单调递增区间为（2）解：因为 所以当 时，此时 ，解得 所以 时，取最大值【解析】【分析】(1)根据题意由二倍角的正、余弦公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的单调性结合整体思想就可求出 x 的取值范围，由此得到函数的单调区间。(2)由正弦函数的性质即可求出函数的最大值，以及取得最大值时对应的 x 的集合。18【答案】（1）证明：，由等比数列的定义可知，是公比为 2 的等比数列因为首项 ，公比为 2，所以 所以（2）解：令 ，因为 ，所以 n 可取 4，5，6，7，8，9，10 所以，各项的和
16、=【解析】【分析】(1)根据题意已知的数列的递推公式，结合等比数列的定义即可得到数列为等比数列，由此即可得到数列的通项公式。(2)由已知条件即可对对对 n 的取值，再由裂项相消法结合等比数列前 n 项和公式计算出结果即可。19【答案】（1）解：函数 定义域为 ，其中 ，由 ，得 ；由 ，得 .所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，所以，函数 的极小值为 ，无极大值（2）解：当 时，即 时，函数 在 上为增函数，故函数 的最小值为 ，显然 ，故不满足条件；当 时，即 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，故函数 的最小值为 ，令 ，则 ，其导函数 ，可知 在 单调递增，因为 ，有
17、，可得 不符合题意；当 时，即 时，函数 在 上为减函数，故函数 的最小值为 ，由 ，得 满足条件.综上所述：存在 符合题意【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数 f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值结合极值的定义即可得出答案。(2)由 a 的取值范围即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可得到函数的最值，令结合导函数的性质即可得到函数 g(x)的单调性，由此得到函数 f(x)的最小值，验证即可得证出结论。20【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，对任意的 ，则 ，则 ，所以，因为 ，可得 ，因为 ，则 ，所以，（2）解：当 为奇数
18、时，前 项中所有的奇数项的和为当 为偶数时，记 ，两式相减得 ，所以，.故数列 的前 项和 .【解析】【分析】(1)由等比数列通项公式结合对数的运算性质，整理求出 q 的值，从而得到数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，结合 n 的取值范围，分情况讨论由错位相减法，整理化简即可得出答案。21【答案】（1）解：因为 ，为锐角，则 ，解得 ，在三角形 中，由余弦定理得 ，所以，（海里），所以，（海里/小时）（2）解：由余弦定理可得 ，则 为锐角，所以，在三角形 中，由正弦定理 ，得 （海里），所以，（海里），过 作 垂直于 交于 （见题图），则 ，则 ，所以，小岛受台风影响.
19、小岛受台风影响时间记作 小时，.所以小岛受台风影响时间超过 15 分钟.【解析】【分析】(1)根据题意把实际问题转化为数学问题，由任意角的三角函数的公式代入数值计算出三角函数的值，然后由余弦定理代入数值计算出边的大小即可。(2)由已知条件结合有心都凉了以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出 sinB 的值，然后由两角和的正弦公式计算出的值，再把数值代入到正弦公式计算出边的大小，结合三角形中的几何计算，进行比较即可得出答案。22【答案】（1）解：当 时，此时函数 无零点；当 时，令 ，其中 ，则 ，所以，函数 在 单调递减，所以，所以，对任意的 ，则 ，所以，函数 在 上为减函数，因为 ，
20、所以，函数 在 上只有一个零点.综上所述，函数 在 上只有一个零点（2）解：由 得 ，令 ，令 ，则 ，当 时，所以，函数 在 上单调递增，当 时，此时 ，则函数 在 上单调递增，当 时，则函数 在 上单调递减，因为 ，所以，存在 ，使得 ，变形可得 ，当 时，当 时，.所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，其中 ，对于函数 ，所以 在 递减，则 ，故 ，所以 成立.【解析】【分析】(1)根据题意由零点的定义，结合导函数的解析式，由角的取值范围即可得到导函数的正负，利用零点存在性定理即可得出代入数值计算出结论，由此即可得证出结论。(2)由已知条件即可得到不等式，构造函数结合导函数的性质即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可求出 a 的取值范围。
