1、计算机数学基础授课建议福州大学数学与计算机学院 叶东毅 陈昭炯 朱文兴第1页，共66页。先说几句n本书内容简单，定理少；n几乎没有什么数学证明；n习题比较简单；n与计算机科学中的问题关联的例题多一些；n有一些传统高等数学教科书没有的内容；n教师最好有计算机科学的背景知识；n关键是让学生了解一些基础性的知识第2页，共66页。学时安排（82学时）n第一章：数学第一章：数学计算机科学的基础计算机科学的基础 2学时n第二章：一元微分学初步一元微分学初步 26学时n第三章：不定积分与定积分第三章：不定积分与定积分 8学时n第四章：矩阵与线性代数初步第四章：矩阵与线性代数初步 8学时n第五章：第五章：概率
2、论基础概率论基础 10学时n第六章：随机变量的分布与数字特征第六章：随机变量的分布与数字特征 9学时n第七章：第七章：数理逻辑初步数理逻辑初步 9学时n第八章：图论初步第八章：图论初步 10学时第3页，共66页。本书的编写思想（本书的编写思想（1）n面向软件高职的学生；针对培养目标和定位；n“够用、实用”的原则；概念为准；n课程教学时数（82学时）的限制；n不可能也没有必要像标准的大学数学理论教科书那样详细地介绍微积分、线性代数、概率论和离散数学的内容；n有选择地介绍这些理论中最基本的概念和方法。做一个导引性的介绍，除了必要且简单的证明之外，一般不给出定理的数学证明。第4页，共66页。本书的编
3、写思想（本书的编写思想（2）n考虑到软件高职专业的特点，介绍这些数学思想和方法在计算机科学领域中的若干应用，使学生对计算机科学和软件开发的数学基础和这些数学思想和方法可能的应用有一个总体的了解和把握，达到课程学习的目的。第5页，共66页。本书的编写思想（本书的编写思想（3）n在微积分部分，只介绍一元微积分的基本内容，对于多元函数和多元微积分则没有描述；n在线性代数部分，主要介绍矩阵的思想和方法以及求解线性方程组的基本思路；n在概率论部分，着重介绍基本的概率计算方法、随机变量及其数字特征；n在离散数学部分，只介绍集合论、简单数理逻辑和简单的图论方法。第6页，共66页。主要特色n1、专门设置了一章
4、内容（第1章），介绍了离散数学、微积分、线性代数和概率论对于计算机科学的重要性，特别是对于计算机专业学生容易忽视的连续数学理论，如微积分，用实例阐述了它们在计算机科学中的作用，使学生认识到不掌握一定的微积分知识就可能编写出错误的计算机程序。第7页，共66页。主要特色（续）n2、增加了一般高等数学教科书所没有的“递归函数与递归程序设计”、“矩阵乘法顺序与计算量分析”“Bayes智能决策”等与计算机软件开发密切相关的内容。n3、强调所学知识同计算机科学领域中的问题的关联性。特别是在无穷级数、矩阵、随机变量、数理逻辑和图论等章节，给出了不少的应用例子，涉及函数近似计算、数据库系统、计算机网络、计算机
5、图形和图象处理、软件可靠性评估、人工智能等计算机科学的分支领域。第8页，共66页。微积分部分：主要（重点）内容n递归函数与程序设计的关系n极限的概念与计算n两个重要极限的应用n函数连续性与导数n复合函数的求导法则n级数收敛性的判定与幂级数展开n牛顿莱布尼茨基本公式n积分的简单计算（换元积分法、分部积分法）第9页，共66页。线性代数部分：主要（重点）内容n矩阵的概念、与计算机科学的联系n线性方程组的矩阵表示n矩阵的乘积运算与计算顺序n矩阵的逆n矩阵的初等变换第10页，共66页。概率论部分：主要（重点）内容n古典概率问题及计算方法 n条件概率与乘法定理n全概率公式n贝叶斯公式（智能决策）n随机变量
6、的分布（二项分布，正态分布）n随机变量的数字特征（数学期望）n计算机科学中的应用例子第11页，共66页。离散数学部分：主要（重点）内容n命题公式、等值演算n谓词逻辑、命题逻辑n图的概念n赋权图与最短路问题n生成树与最小生成树n程序的简化、网络路由问题第12页，共66页。授课建议：第1章n强调本书中介绍的数学知识不仅仅是为了一般性地建立数学基础、锻炼思维能力，而是同计算机科学密切相关密切相关，而且计算机科学的若干基本理论本身就是本身就是数学的一个分支领域；n着重介绍书中给出的“求和编程问题”，建立程序设计正确性与微积分的关系，同时说明连续数学与离散数学的并重；第13页，共66页。授课建议：第1章
7、（续）n列举一些中学生可能可能了解的有关计算机科学中的数学问题，如：n1、多媒体、图像处理中的边缘分析、分割、变换、压缩等（傅立叶与小波分析等微积分知识）；n2、博弈问题（矩阵方法、离散数学）、游戏软件（逻辑，递归函数、智能推理）；n3、网络分析（图论、概率论、微积分）；第14页，共66页。授课建议：第2章n一、集合、关系与函数部分（回顾新概念）n1、集合的概念与运算规则（多重集New）n2、关系是一种集合；函数关系是一种特殊的关系（一一对应）；n3、递归函数的概念（New）,它的表示方法，以Fibonacci问题为例：不仅有利于计算机程序实现，而且计算更加准确第15页，共66页。授课建议：第
8、2章n二、一元微积分部分：n1、核心和难点是极限的概念。强调几个内容：n极限是一个无穷变化过程的“终极稳定”状态；n尽管这个状态在无穷变化过程的任意时刻都达不到，但是可以做到“任意地接近”；n 围绕“终极稳定”状态 和“任意地接近”，本书列举了若干例子，之后引入极限的概念第16页，共66页。授课建议：第2章n2、极限的概念作为主线，其它微积分的概念均为 极限的特殊情况，而不是独立的概念，这是需要特别强调的这是需要特别强调的。如：n函数的连续性；（函数极限）n函数的导数；（函数相对变化的极限）n函数的定积分；（和式的极限）n函数的不定积分；（导数还是极限）n无穷级数；（数列的极限）第17页，共6
9、6页。授课建议：第2章n3、极限的计算：n 运算法则n 无穷小（大）量的概念n 难点难点：n 2个重要极限运算法则的应用n 特别是定理2.4.4的应用（见例2.4.17）第18页，共66页。授课建议：第2章n4、导数的概念几何意义；n 取极限的方法求函数瞬间变化率n 从局部到点：增量x到x趋向于0的变化过程n5、点明函数连续与函数可导的关系n6、导数计算的难点：n ！复合函数求导（重点，与后续求积分有关，中间变量的取法）、n 隐函数求导、取对数求导；n7、微分（注意在导数不为零时）与近似计算第19页，共66页。授课建议:n8、了解中值定理：常数导数为零（在不定积分章节中使用）n9、级数（部分和
10、数列的极限、级数和）n重点在收敛性的几种判别法；n点明：调和级数的发散，与第1章求和编 程的呼应；n幂级数及其展开，主要强调函数可以有幂级数的表示方式，对如何展开不作深入探讨。n点明：初等函数的近似计算（与第1章呼应）第20页，共66页。授课建议：第3章n1、原函数的概念：求函数导数的逆问题；n 不定积分一族的函数？n2、定积分：从几何问题入手n3、变限积分与原函数：牛顿莱布尼兹微积分基本公式；n点明：原函数族不定积分n4、简单了解积分计算方法：换元分部第21页，共66页。授课建议：第4章n1、基本思路：从一元一次方程ax=b求解入手，阐明线性代数的基本任务；一种平滑的过渡和拓展；n2、消元法
11、系数阵列的对应变化矩阵引入n3、点明：矩阵表示在计算机科学领域中的应用n 书中提供多个例子，可根据情况自行增加 n 例如：图像的表示；第22页，共66页。授课建议：第4章n4、矩阵的运算法则n与实数运算类比，可以看成是一种推广，但是要强调乘法运算的特别与定义的背景,这是一个难点；n 书中提供这方面的例子，如例#n5、乘法结合率与计算顺序分析。这是新增的一个内容，与程序设计相关，一种特色。要讲透。第23页，共66页。授课建议：第4章n5、初等变换：结合二元一次消元法；n 注意强调行变换才能用于解方程组；n 阶梯型矩阵与最简型：间接与直接写出解n6、逆矩阵的概念：类比一元一次方程第24页，共66页
12、。第5，6章：概率论部分第5章 学习目标：概率的基本概念和性质n用集合及其关系来表示事件n几类典型的古典概率问题的计算n运用各种概率公式求解实际概率问题第25页，共66页。n随机变量的定义及其类型n分布律及概率密度的定义及意义，并能据此求出随机变量在某一区间的概率n几类典型的随机变量的实际应用背景、分布形式及其数字特征n运用期望及方差的定义和性质求解实际应用问题第26页，共66页。授课建议：第5章n总体原则：n对有些概念不强调严格准确的数学化定义，而应注重概念的实际来源和如何使用，希望学生能感受到概率是一门很贴近实际问题尤其是与计算机学科密切关联的课程而不是过于严肃的数学课。第27页，共66页
13、。授课建议n1、在讲解“概率”的概念时，要配合书中的例子阐明三种实际使用的模型，指出频率的近似只是概率的一种形式，而不必象大多数教科书给出概率的定义三要素。n2、在讲解“古典概型“时，由于所举的例子都是属于古典概型的，可能会造成学生忽视概型的判断问题，可以举一些反例引导学生对所给问题根据概念的条件进行判断是否属于古典概型问题。第28页，共66页。授课建议n3、事件的集合表示很重要，重点是将以往学过的集合概念在事件的意义下重新描述n4、在讲解“独立性“时，强调很多应用问题都是在独立性的前提下讨论，而实际应用中事件的独立性往往不是根据定义而是由实际意义来判断的，因此进一步表明概率课程的实际背景第2
14、9页，共66页。授课建议n本章涉及到许多性质、公式、规则，大多数未加证明，也无需强调其严格的数学证明，重要的是分析其实际的含义，也就是写成数学符号的公式究竟如何与实际意义相关联以及计算时怎么用。许多公式的引入都有一个相对简洁明了的例子，可以先讲解例子然后说明公式，使得学生感觉自然、容易接受，此外，除了记住数学符号表示的公式外，可以让学生用语言或文字的方式描述公式的意义。第30页，共66页。授课建议n1 古典概型的计算问题中很重要的是排列组合数的计算，书中给出了总结性的回顾，授课时可根据学生的了解程度进行增减。n2 加法规则的使用要注意前提条件n3 条件概率与乘法定理放在一起是因为它们密不可分的
15、联系，授课时要说明相互的关系以及使用的条件，尤其是后者以往很多学生会忽略，可举反例说明。第31页，共66页。授课建议n3、独立性规则是计算中常常用到的公式，每个规则的实际含义要说明，强调每一条规则实际上都揭示了独立性的一个侧面，在例子中究竟用了哪一条规则，为什么这么用也要说明n 第32页，共66页。授课建议n全概公式和贝叶斯公式历来是学生掌握比较薄弱的环节，公式的来历要说明，让学生了解这不是什么复杂的公式，无非是前面若干结论的另一种形式。n其次，学生的反应大多在不知道如何分析问题，如何划分空间、如何使用公式，因此讲解例题时注重分析从哪里入手，空间如何划分，如何判断是全概公式还是贝叶斯公式的应用
16、问题。如有必要这部分可以适当增加一些课外的练习第33页，共66页。例题的选择n1 某些例子是为了引出所要说明的内容而给出的较通俗的实例，如概率三种定义的相关例子，条件概率的引入例子等，讲解时宜先于概念。第34页，共66页。例题的选择n2、某些例子反映了公式应用时的不同侧面，如古典概型计算中的四个例子的每一个都代表了一类的实际模型，讲解时不可就题论题，而应广泛举例说明或让学生参与讨论哪些实际问题都可归属该类模型。n 注意参考例题后的加注内容，这是本书特点之一，希望授课时能加以体会，使得学生不只是学会一个例题，而是学会了处理一类问题。第35页，共66页。第6章n1 本章许多例题是与计算机学科的应用
17、问题有关，这也是本书选择例题的特点选择例题的特点之一，例如密码问题、资源配置问题、故障诊断问题、图象传输问题等，希望授课时能对相关应用问题的背景进行介绍，这样既能激发学生的学习兴趣，又可拓宽知识面。n2 本章的习题数量适中，考虑到学时的因素、学生的程度可按需加减。第36页，共66页。授课建议：第6章n本章的重点在于计算问题，也就是掌握了相应的分布模型后怎么计算相应的概率和数字特征，n掌握随机变量的定义，三个例子分别说明了三类情况；要特别说明随机变量与普通变量的区别。n 第37页，共66页。授课建议n在讲解典型的离散型和连续型随机变量的分布时，一定要举例说明它们的实际模型，这是以往某些传统教科书
18、不太重视而本书教学中希望强调的，注意本书中在定义了每一种分布类型后都有一个段落描述该分布的实际背景，希望能激发学生的学习热情，使得学习内容易被掌握，达到学以致用。第38页，共66页。授课建议n离散型随机变量的分布中，二项分布是重点，由于教学时数所限只举了一个例题，该例与上一章的例题有关联，为了表明一个实际问题可能用到相对综合的知识，此外在例题的后注中列举了许多同类型的应用问题，要加以说明，同时可考虑增加一些练习；n泊松分布在以往的教科书中介绍不多通常不举例，学生常常对实际问题中那些类型属于泊松分布感到疑惑，同时考虑到该分布在计算机网络排队论中的重要性，因此增加了两个与计算机有关的例子。第39页
19、，共66页。授课建议n连续型随机变量的分布中，关于实际模型介绍的段落一定要重视，例题中涉及的计算机知识背景可以先说明，这是本书的特色之一。其中以正态分布为重点，其实际模型应用之广应加以强调。n此外，尽管“中心极限定理”是一个理论化的结果，但对处理实际问题十分重要，所以书中提到此结论，当然，正态分布的计算问题是关键，用规则的方式总结出计算步骤是为了易于掌握。第40页，共66页。授课建议n随机变量的分布函数主要是掌握定义及与前面的关联。随机变量函数的分布作为可选内容可酌情考虑，其中有关图象处理的例子是概率论在计算机学科中一个很好的应用实例。n数学期望和方差一节不论是定义还是性质重点仍然是如何应用，
20、以历史上著名的打赌例子为引便于解释概念，此外，本节中的例题5具有一定的典型意义，可深化说明。第41页，共66页。授课建议n随机变量函数的数学期望一节作为可选节，其中某些例题（如例11，例13）很有现实意义，可考虑加以适当选择。n第42页，共66页。第7、8章：离散数学部分概述n离散数学部分的参考书：n耿素云，曲婉玲：离散数学，高等教育出版社，1998n本书的离散数学部分包含数理逻辑和图论两个方面的内容。第43页，共66页。第7、8章：离散数学部分概述n数理逻辑和图论是计算机软件和计算机应用专业的专业基础知识之一n其研究对象是离散的结构及其相互关系的学科，在数据结构、人工智能、数据库原理和编译原
21、理等领域中有广泛的应用。n通过离散数学的学习，为将来专业课的学习和将来所从事的软硬件开发打下基础。第44页，共66页。第7章、数理逻辑初步n重点n命题和联结词的基本概念，命题公式的类型（永真式、永假式和可满足式）和真值表方法，命题公式的等值演算，命题逻辑基本推理。n难点 命题逻辑基本推理，谓词逻辑的基本概念和基本推理。第45页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步n命题逻辑中的命题公式和初等数学中的数学表达式可以做类比 1)命题变元对应变量 命题变元是逻辑变量，其所有可能的取值只有0或1（真或假），而数学表达式变量往往是连续变量。第46页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步 2)5个
22、联结词“”、“”、“”、“”、“”对应数学表达式中的运算符，联结词是逻辑变量的运算符。3)命题公式的可能的值只有两个：0或1，而数学表达式的可能的值可以有无穷多个，如pq。第47页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步 4)真值表是列出：在命题变元的所有可能取值下，命题公式的取值。在列真值表时，命题变元按字典序排列，所有命题变元的取值按二进制数是递增的。第48页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步 例：第49页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步n5）命题公式的等值演算相当于数学表达式的恒等运算。例如，(pq)pq 第50页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步n讲授谓词逻
23、辑的4个推理规则时，可以用具体的例子来说明以便于理解。1）全称量词消去规则 x P(x)a D P(a)第51页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步 例：xP(x)：这个班级的每个同学都长着黑头发，aD：a是这个班级的一个同学则显然有结论 P(a)：a长着黑头发。第52页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步 2）存在量词消去规则 x P(x）P(c)例：x P(x)：这个班级有一个同学戴眼镜（假设同学c戴眼镜），则显然有结论P(c)。第53页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步3）全称量词引入规则 P(x）x P(x)例：P(x)：对这个班级的任意一个同学x，x戴眼镜则显然有
24、结论 x P(x)：这个班级的所有同学都戴眼镜 第54页，共66页。授课建议：第7章 数理逻辑初步 4）存在量词引入规则 P(c）xP(x)例：P(c)：这个班级的同学c戴眼镜则显然有结论 x P(x)：这个班级的有一个同学戴眼镜。第55页，共66页。第8章 图论初步 n重点 1）图的基本概念 *无向图和有向图、多重图和简单图以及完全 图 *无向图和有向图中的路和回路，欧拉通路和欧拉回路、哈密尔顿通路和哈密尔顿回路 *图的连通性，树，最小生成树。第56页，共66页。第8章 图论初步 2）图的基本结论和方法 *握手定理及其应用 *无向图的相邻矩阵表示法，有向图的邻接矩阵表示法以及无向图和有向图的
25、关联矩阵表示法 *树的基本性质，最小生成树的Kruskal避圈法 第57页，共66页。第8章 图论初步n难点 根树的概念及其应用 第58页，共66页。授课建议：第8章 图论初步n在概念和理论的教学过程中宜多画图、举例说明n由图的一个矩阵表示所画的一个图形式可以不同，学生可能产生怀疑，但其实是同构的。第59页，共66页。授课建议：第8章 图论初步n例1无向图的相邻矩阵 所对应的图可以是：第60页，共66页。授课建议：第8章 图论初步n例2有向图的邻接矩阵 其对应的有向图可以是 第61页，共66页。授课建议：第8章 图论初步n点明：图的矩阵表示法在编写程序判断一个图是否是连通图等问题中有直接的应用第62页，共66页。授课建议：第8章 图论初步n在讲授树的如下5个等价命题时，最好用图说明，使结论易于理解：1.G是树。2.G连通且不含回路。3.G无环，且G中每对顶点之间有而且只有唯 一的一条初级通路。4.G连通，且m=n-1。5.G不含回路，且m=n-1。第63页，共66页。授课建议：第8章 图论初步第64页，共66页。考核要求n基本概念的掌握；n简单的计算；n了解在计算机科学领域的一些可能的应用第65页，共66页。谢 谢！第66页，共66页。
