1、1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点：由特殊到特殊的推理(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推
2、理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是
3、ann(nN*)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76C123 D199答案C解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.2下面几种推理过程是演绎推理的是()A在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳数列an的通项公式B由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C两直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则AB180D
4、某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人答案C解析A、D是归纳推理，B是类比推理，C符合三段论模式，故选C.3(2017济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_答案解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交4(教材改编)在等差数列an中，若a100，则
5、有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，bb1nb17n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(naf(b)bf(a)(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数；(2)若x，y为正实数且4，比较f(xy)与f(6)的大小(1)证明设x1，x2R，且x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)f(x)为R上的单调增函数(2)解
6、x，y为正实数，且4，xy(xy)()(13)(132)，当且仅当即时取等号，f(x)在R上是增函数，且xy6，f(xy)f(6)思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误(2)(2016洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数
7、是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)C(2)B解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误(2)A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以
8、C、D都不正确，只有B正确，故选B.10高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014是数列an的第_项；b2
9、k1_.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：()Tf(x)|xS；()对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0x10；Ax|0x1，BR；AZ，BQ.解析(1)an12n，b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，b2 014a5 035.由知b2k1.(2)对于，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x) 所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同构”的
10、，故排除；对于，取f(x)tan(x)(0x1)，所以Ax|0x0，那么这个演绎推理出错在()A大前提 B小前提C推理过程 D没有出错答案A解析推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误故选A.2下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.3正弦函数是奇函数，f(x)sin(
11、x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误4(2016泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：246；810121416；18202224262830，按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为()A29 B30 C31 D32答案C解析由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7，2n1，其前n项和Snn(n2)且S311 023，即第31个等式中最后一个偶数是1 02322 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中5
12、给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是()A0 B1C2 D3答案B解析(ab)nanbn(n1，ab0)，故错误sin()sin sin 不恒成立如30，60，sin 901，sin 30sin 60，故错误由向量的运算公式知正确6把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下第i行，从左往右数第j个数，如a428，若ai
13、j2 009，则i与j的和为_答案107解析由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i63，因为第63行第1个数为296211 923,2 0091 9232(j1)，所以j44，所以ij107.7若P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点分
14、别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_答案1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.8如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为_答案解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1OR1Q1及三棱锥P2OR2Q2的底面面积之比
15、为，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为.9设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).10数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn (nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(
16、2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)*11.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)的对称中心；(2)计算f()f()f()f()f()解(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，由f(x)0，即2x10，解得x.f()()3()231.由题中给出的结论，可知函数f(x)x3x23x的对称中心为(，1)(2)由(1)知函数f(x)x3x23x的对称中心为(，1)，所以f(x)f(x)2，即f(x)f(1x)2.故f()f()2，f()f()2，f()f()2，f()f()2.所以f()f()f()f()f()22 0162 016.
