1、1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且
2、xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA【知识拓展】1若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1.2ABABAABB.3AUA；AUAU；U(UA)A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集()(2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(3)若x2,10,1，则x0,1.()(4)x|x1t|t1()(5)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(6)若ABAC，则BC.()1(教材改编)若集合
3、AxN|x，a2，则下列结论正确的是()AaA BaA CaA DaA答案D解析由题意知A0,1,2,3，由a2，知aA.2(教材改编)设Ax|x24x50，Bx|x21，则AB等于()A1,1,5 B1,5C1,5 D1答案A解析A1,5，B1,1，AB1,1,53已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB等于()A1,0,1,2 B2，1,0,1C0,1 D1,0答案A解析因为Ax|x2x20x|1x2，又因为集合B为整数集，所以集合AB1,0,1,2，故选A.4(2016天津)已知集合A1,2,3,4，By|y3x2，xA，则AB等于()A1 B4 C1,3 D1,4答案D解析因为
4、集合B中，xA，所以当x1时，y321；当x2时，y3224；当x3时，y3327；当x4时，y34210；即B1,4,7,10又因为A1,2,3,4，所以AB1,4故选D.5已知集合A1,3，m，B3,4，AB1,2,3,4，则m_.答案2解析AB1,3，m3,41,2,3,4，21,3，m，m2.题型一集合的含义例1(1)(2017石家庄调研)已知集合Ax|xZ，且Z，则集合A中的元素个数为()A2 B3 C4 D5(2)若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.答案(1)C(2)0或解析(1)Z，2x的取值有3，1,1,3，又xZ，x值分别为5,3,1，1，故集合A中的元素个数
5、为4.(2)若a0，则A，符合题意；若a0，则由题意得98a0，解得a.综上，a的值为0或.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题(1)(2016临沂模拟)已知Ax|x3k1，kZ，则下列表示正确的是()A1A B11AC3k21A(kZ) D34A(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.答案(1)C(2)2解析(1)kZ，k2Z，3k21A.(2)因为1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，
6、b1，所以ba2.题型二集合的基本关系例2(1)(2016唐山一模)设A，B是全集I1,2,3,4的子集，A1,2，则满足AB的B的个数是()A5 B4 C3 D2(2)已知集合Ax|x22 017x2 0160，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案(1)B(2)2 016，)解析(1)1,2B，I1,2,3,4，满足条件的集合B有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，共4个(2)由x22 017x2 0160，解得1x2 016，故Ax|1x2 016，又Bx|xa，AB，如图所示，可得a2 016.引申探究本例(2)中，若将集合B改为x|xa，其他条件不变，则实数a的取
7、值范围是_答案(，1解析Ax|1x2 016，Bx|xa，AB，如图所示，可得a1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题(1)已知集合AxR|x2x60，BxR|ax10，若BA，则实数a的值为()A.或 B或C.或或0 D或或0(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_答案(1)D(2)(，4解析(1)由题意知A2，3当a0时，B，满足BA；当a0时，ax1
8、0的解为x，由BA，可得3或2，a或a.综上，a的值为或或0.(2)当B时，有m12m1，则m2；当B时，若BA，如图，则解得2m4.综上，m的取值范围为(，4题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2016全国乙卷)设集合Ax|x24x30，则AB等于()A. B.C. D.(2)(2016浙江)已知集合PxR|1x3，QxR|x24，则P(RQ)等于()A2,3 B(2,3C1,2) D(，21，)答案(1)D(2)B解析(1)由Ax|x24x30x|1x0x|x，得ABx|x3，故选D.(2)由已知得Qx|x2或x2RQ(2,2)又P1,3，P(RQ)1,3(2,2)(2,3命
9、题点2利用集合的运算求参数例4(1)设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是()A12Ca1 Da1(2)集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为()A0 B1 C2 D4答案(1)D(2)D解析(1)因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a1.(2)由题意可得a，a24,16，a4.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化(1)(2016山东)设集合Ay|y2x，
10、xR，Bx|x210，则AB等于()A(1,1) B(0,1)C(1，) D(0，)(2)已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1x0，Bx|1x1，AB(1，)，故选C.(2)由x2x120，得(x3)(x4)0，即3x4，所以Ax|3x4又ABB，所以BA.当B时，有m12m1，解得m2.当B时，有解得1m2.综上，m的取值范围为1，)题型四集合的新定义问题例5若对任意的xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M1,0，1,2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为_答案7解析具有伙伴关系的元素组有1；1；2和共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系
11、集合分别为1，1，2，1,1，1，2，1，2，1,1，2，共7个思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质定义一种新的集合运算：ABx|xA，且xB若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA等于()Ax|3x4 Bx|3x4Cx|3x4 Dx|2x4答案B解析Ax|1x3，Bx|2x4，由题意知BAx|xB，且xAx|3x41集合关
12、系及运算典例(1)已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m等于()A0或 B0或3C1或 D1或3或0(2)设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若BA，则实数a的取值范围是_错解展示解析(1)由ABA得BA，m3或m，故m3或m0或m1.(2)BA，讨论如下：当BA0，4时，解得a1.当BA时，由0得a1，此时B0满足题意，综上，实数a的取值范围是1，1答案(1)D(2)1，1现场纠错解析(1)A1,3，B1，m，ABA，故BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，其中m1不符合题意，所以m0或m3，故选B.(2)因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此知0
13、和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1.综上所述，所求实数a的取值范围是(，11答案(1)B(2)(，11纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况1(2016四川)设集合Ax|2x2，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是()A3 B4 C5 D6答案C解析由题意可知，AZ2，1,0,1,2，则AZ中的元素的个数为5.故选C.2设集合A2,3,4，B2,4,6，若
14、xA且xB，则x等于()A2 B3 C4 D6答案B解析因为xA且xB，所以x3，故选B.3已知集合Ax|1x3，Bx|2mx1m，若AB，则实数m的取值范围是()A，) B0，)C(，0 D0，)答案D解析AB，若2m1m，即m时，B，符合题意；若2m1m，即m时，需满足或解得0m或，即0m.综上，实数m的取值范围为0，)4(2017潍坊调研)已知全集UR，集合A1,2,3,4,5，BxR|x2，则下图中阴影部分所表示的集合为()A0,1 B1 C1,2 D0,1,2答案B解析因为AB2,3,4,5，而图中阴影部分为A去掉AB，所以阴影部分所表示的集合为15若集合A(1,2)，(3,4)，则
15、集合A的真子集的个数是()A16 B8 C4 D3答案D解析集合A中有两个元素，则集合A的真子集的个数是2213.6已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，则()AAB BBACAB DAB答案B解析因为Ax|x2x20x|1x2，Bx|1x1，所以BA.7(2016宁夏银川二中考试)已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是()A(0,1 B1，) C(0,1) D(1，)答案B解析由题意知，Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c)由AB，画出数轴，如图所示，得c1.8(2015浙江)已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，
16、则(RP)Q等于()A0,1) B(0,2 C(1,2) D1,2答案C解析Px|x2或x0，RPx|0x2，(RP)Qx|1x2，故选C.9设集合Qx|2x25x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是()A3 B4 C7 D8答案D解析因为Qx|2x25x0，xNx|0x，xN0,1,2，所以满足PQ的集合P的个数是238，故选D. *10.设集合M，N，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫作集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是()A. B. C. D.答案C解析由已知，可得即0m；即n1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N，所以MN，此时集合MN
17、的“长度”的最小值为，故选C.11已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_答案解析3A，m23或2m2m3.当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，当m时，m23，符合题意，m.12(2017南阳月考)设全集UR，集合Ax|y，By|yex1，则AB_.答案(，1(1，)解析因为Ax|x3或x1，By|y1，所以ABx|x1或x113已知集合Ax|x22xa0，且1A，则实数a的取值范围是_答案(，1解析1x|x22xa0，1x|x22xa0，即12a0，a1.14已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_答案5解析当x0，y0时，xy0；当x0，y1时，xy1；当x0，y2时，xy2；当x1，y0时， xy1；当x1，y1时，xy0；当x1，y2时， xy1；当x2，y0时，xy2；当x2，y1时， xy1；当x2，y2时，xy0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，1，2,1,2，共5个15已知集合Ax|42x16，Ba，b，若AB，则实数ab的取值范围是_答案(，2解析集合Ax|42x16x|222x24x|2x42,4，因为AB，所以a2，b4，所以ab242，即实数ab的取值范围是(，2
