1、1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华(1)判断直线与圆
2、锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又
3、N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点题型二弦长问题例2(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积(2)当2|AM|AN|时，证明：k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的
4、倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增，又f()15260，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以kb0)的左，
5、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|
6、PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_答案(1)D(2)x2y80解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.(
7、2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015浙江)如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，则|AB|.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，
8、所以S(t)|AB|d .当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实
9、数m的值为_答案0或8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合1(2016泰安模拟)斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是()A2，) B(2，)C(1，) D(，)答案B解析要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于，所以|，e 2，即e(2，)，故选B.2直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，
10、则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4答案C解析易知直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点(，0)，|AB|为焦点弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N(，)，|AB|x1x2p4.AB中点到直线x0的距离为.3(2016青岛模拟)已知抛物线y22px(p0)与直线axy40相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)如果抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|等于()A5 B6 C3 D7答案D解析把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y22px与直线方程axy40，得p2，a2，由消去y，得x25x40，则xAxB5.由抛物线定义得|FA|FB|xAxBp7，
11、故选D.4(2017天津质检)直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D0答案A解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.答案D解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以()240，2，e .6过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案D解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)
12、，准线方程为x1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A，B到直线x1的距离之和为x1x22.设直线方程为xmy1，代入抛物线y24x，则y24(my1)，即y24my40，x1x2m(y1y2)24m22.x1x224m244.A，B到直线x2的距离之和为x1x22265.满足题意的直线不存在7过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若使得|AB|的直线l恰有三条，则_.答案4解析使得|AB|的直线l恰有三条根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y2，故|AB|4.双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过双曲线的焦点一定
13、有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|4时，有三条直线满足题意4.8已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.9过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.10
14、已知F是抛物线C：y24x的焦点，直线l：yk(x1)与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，则k1k2_.答案0解析由y24x，得抛物线焦点F(1,0)，联立得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.k1k20.11(2016郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程解(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(ab0)，则所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|0.y1y2，y1y2.|AB|.将代入上式得|AB| ，|m|1，SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立(SAOB)max1.
