1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(1)(2016青岛模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案(1)C(2)D解析(1)由f(x)图象可知，x0是函数f(x)的极大值点，x2是f
2、(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求函数的极值例2(2017泉州质检)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0
3、，得exa，即xln a，当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值命题点3已知极值求参数例3(1)(2016广州模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)(2017福州质检)若函数f(x)x2x1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C(2，) D2，)答案(1)7(2)C解析(1)由题意得f(x)3x
4、26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立或当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立当x(，3)时，yx的值域是2，)；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围是(2，)思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)
5、0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值(1)函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0(2)函数y2x的极大值是_答案(1)C(2)3解析(1)f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的极值点(2)y2，令y0，得x1.当x0时
6、，y0；当1x0时，y0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，则当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0aa，则实数a的取值范围是_答案(，)解析由题意知，f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a0)的导函数yf(x)的两个零点为3
7、和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观
8、察得到函数的最值若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案C解析由题意，得f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知，解得a3,0)3利用导数求函数的最值典例(12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的
9、单调递增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.11分综上可知，当0a0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0.令f(x)0
10、，得x1.令f(x)0，得0x0，即a23a180.a6或a0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值答案D解析由题意知x2f(x)，令g(x)x2f(x)，则g(x)且f(x)，因此f(x).令h(x)ex2g(x), 则h(x)ex2g(x)ex，所以当x2时，h(x)0；当0x2时，h(x)0时，f(x)是单调递增的，故f(x)既无极大值也无极小值6(2016宜昌模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax(a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B. C. D1答案D解析由题
11、意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数递增f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是(，)9(2016荆州模拟)已知函数f(x)x3x2xm在0,1上的最小值为，则实数m的值为_答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1.当x(1，1)时，f(x)0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(
12、x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在，e上的最大值解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得10，bR)(1)设a1，b1，求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小解(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).a1，b1，f(x)(x0)令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，)(2)由题意可知，f(x)在x1处取得最小值，即x1是f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即b12a.令g(x)24xln x(x0)，则g(x).令g(x)0，得x.当0x0，g(x)单调递增，当x时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g()1ln 1ln 40，g(a)0，即24aln a2bln a0，故ln a2b.
