1、4.2.2 等差数列的前n项和公式高二数学选择性必修第二册第四章数列 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，奢靡之程度，可见一斑。如右图所示，这个图案有n层。创设情境 兴趣导入问题问题1 1：如果右图中的圆宝石有：如果右图中的圆宝石有100100层，那么从第层，那么从第1 1层到第层到第100100层层一共用了多少个圆宝石呢？一共用了多少个圆宝石呢？据说，据说，200多年前，多年前，高斯高斯的
2、算术老师提出了下面的问题：的算术老师提出了下面的问题：问题1：计算创设情境 兴趣导入？1009998321你知道高斯怎么算的吗？你知道高斯怎么算的吗？10099983211+2+3+50+51+98+99+100=观察归纳观察归纳动脑思考 探究新知）（1001）（992）（983）（51505050对对101101505011002100）（101101101101101101动脑思考 探究新知1011005251502110099985150321配对配对问题2：偶数项偶数项奇数项奇数项问题1：问题3：n321思路思路2 2（拿出中间项，再首尾配对拿出中间项，再首尾配对）原式=(1+101)
3、+(2+100)+(3+99)+(50+52)+51 51思路思路1 1（拿出末项，再首尾配对拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+100)+101101思路思路3 3（先凑成偶数项，再配对先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+100+102)-102102 思路思路4 4（先凑成偶数项，再配对先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+100+101 123 nnn-1n-21 借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形.ss动脑思考 探究新知n+1n+1n+1n+1n-12记记:S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+3
4、+2 +1)1(2 nnS2)1(nnS这种方法不需分奇、偶数项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：对齐相加（其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）动脑思考 探究新知 S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+3 +2 +1这实质上是我们数学中一种求和的重要方法这其实是求一个具体的等差数列前n项和.倒序相加法倒序相加法那么，对于一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 性质：如果数列an 是等差数列，p，q，s，tN*，且，则 倒序相加法倒序相加法nnaaaa121121aaaaSnnnnS左右两边左右
5、两边分别相加分别相加naa 11-2naa 21aan1aan 1211212aaaaaaaaSnnnnnnnnnaaaaaaaa1111n n个个naan112()nnSn aa1()2nnn aaS即动脑思考 探究新知1()2nnn aaS等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式项数项数首项首项末项末项动脑思考 探究新知呢？表示变式：能否用nSnda,12)(1nnaanSdnaan)1(12111dnaan2)1(21dnnnadnnna2)1(1等差数列的通项公式等差数列的通项公式等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式dnnnaSn2)1(1首项首项项数项数公差公差动脑思考 探究
6、新知11(2)2nn nSnadSn 动脑思考 探究新知1(1)2nnn aaS等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式已知 ，求 已知 ，求 a1，d，na1，an，nSn nan1()2nnn aaS公式记忆公式记忆 类比梯形面积公式记忆 等差数列前n项和公式a1a1ana1(n-1)dna1an将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形1(1)2nn nSnad公式记忆公式记忆 类比梯形面积公式记忆 等差数列前n项和公式例例1 1：解：.,95,510101Saaan求中，在等差数列2)(1nnaanS5002)955(1010 S变式变式1 1：.,2-d,100501Saan求中，在等
7、差数列解：dnnnaSn2)1(125502-249501005050S应用公式 强化练习变式变式2 2：吗？等差数列的首项和公差由这些条件能确定这个项的和，若为前中，在等差数列,20,684SSnSann动脑筋动脑筋？12S?nS方方程程思思想想解：由题意知 dnnnaSn2)1(12028866411dada解方程组，得21431da24212)1(432nnnnnSn42.,4017153Saaan求中，已知在等差数列变式变式3 3：整体思想整体思想化归思想化归思想解:40162142111153dadadaaa2081dadaS216171711721717117）（aaS 34021
8、7153aa340)8(171da1(1)2nn nSnad2)(1naaSnndnaan11应用公式 强化练习 nnSdnaa,15例例2 2：中国男子短跑运动员，中国男子短跑运动员，苏炳添，他于苏炳添，他于 2011年合肥赛跑出年合肥赛跑出10.15秒的成绩，秒的成绩，2013年北京赛跑出年北京赛跑出10.07秒的成绩，秒的成绩，2015年尤金赛跑出年尤金赛跑出9.99秒的成绩，秒的成绩，2018年马德里赛跑出年马德里赛跑出9.91秒的成绩，秒的成绩，2021年东京奥运会半决赛中跑出振奋人心年东京奥运会半决赛中跑出振奋人心9.83秒的好成绩，刷新亚洲记录秒的好成绩，刷新亚洲记录 如果把苏炳
9、添百米冲刺所用时间看成是等差数列，如果把苏炳添百米冲刺所用时间看成是等差数列，那么这五次比赛中苏炳添总共用时是多少秒？那么这五次比赛中苏炳添总共用时是多少秒？na差数列米冲刺所用时间构成等解：依题意得，每次百95.492)83.915.10(55S秒。添总共用时是答：这五次比赛中苏炳95.495,83.9,15.1051naa变式：变式：医护人员医护人员20202020年年积极致力于研究人体内积极致力于研究人体内的新冠病毒，已知一个患病初期的人人体内的的新冠病毒，已知一个患病初期的人人体内的新冠数排列成等差数列，且已知第一排的病毒新冠数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是数是2 2个，后面每
10、一排比前一排多个，后面每一排比前一排多3 3个，一共有个，一共有7878排，问这个患者人体内的病毒数有多少个呢？排，问这个患者人体内的病毒数有多少个呢？na等差数列体内的病毒数排列构成解：依题意得，患者人916532777827878S个。病毒数有答：这个患者人体内的916578,3,21ndaan=a1+(n-1)d对于Sn、an、a1、n、d 五个量，“知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1核心素养：倒序相加法 掌握与应用知识打包 存放备用（一种方法一种方法）（两个公式）（两个公式）（三个条件）（三个条件）逻辑推理、数学建模、数学运算。课本课本2222页练习题页练习题1.21.2题题课本课本2424页习题页习题4.24.2第第1 1题题作业反馈作业反馈
