1、学习目标XUE XI MU BIAO1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE设等差数列an的首项为a1，公差为d，则andn(a1d)(nN*)，anam d(m，nN*)，知识点一等差数列通项公式的变形及推广其中，的几何意义是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上.可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.可用来由等差数列任两项求公差.(nm)1.若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有知识点二等差数列的性质数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公
2、差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为 的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为 的等差数列(p，q为常数)2dpdqd2.下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman .特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman .3.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.4.等差数列an的公差为d，则d0an为 数列；d0，所以d1，故所求的四个数为2,0,2,4.反思感悟等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，
3、即可确定此等差数列的通项公式.(2)当已知数列有3项时，可设为ad，a，ad，此时公差为d.若有5项、7项、时，可同理设出.(3)当已知数列有4项时，可设为a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.若有6项、8项、时，可同理设出.解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.核心素养之数学运算HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN数列问题如何选择运算方法典例在等差数列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一设数列an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a10
4、10.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.素养提升(1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算.前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养.3随堂演练PART THREE解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d
5、等于A.3 B.6 C.4 D.312345123452.在等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.3.在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则a1a13的值为A.20 B.30 C.40 D.5012345解析a3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.a1a132a740.123454.由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为
6、3d的等差数列解析因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列a1a3，a2a4，a3a5，是公差为2d的等差数列.123455.在等差数列an中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1a8 .10解析由5是a3和a6的等差中项，可得a3a62510，则由等差数列的性质可得a1a8a3a610.1.知识清单：(1)等差数列通项公式的变形运用.(2)等差数列的性质.(3)等差数列中项的设法.2.方法归纳：解方程组法.3.常见误区：(1)对等差数列的性质不理解而致错.(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART
7、FOUR1.已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为A.12 B.8 C.6 D.4基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.2.已知数列an，bn为等差数列，且公差分别为d12，d21，则数列2an3bn的公差为A.7 B.5C.3 D.112345678910 11 12 13 14 15 16解析由于an，bn为等差数列，故数列2an3bn的公差d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(b
8、n1bn)2d13d21.解析设等差数列an的公差为d，因为a15，am3，3.若等差数列an的首项a15，am3，则am2等于12345678910 11 12 13 14 15 164.(多选)若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是A.|an|B.an1anC.panq(p，q为常数)D.2ann12345678910 11 12 13 14 15 16解析数列1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立.若an是等差数列，利用等差数列的定义，an1an为常数列，故是等差数列，B成立.若an的公差为d，则(pan1q)(panq)p(an1an)pd为常数，故p
9、anq是等差数列，C成立.(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1，故2ann是等差数列，D成立.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知等差数列an中，a2a5a89，那么关于x的方程x2(a4a6)x100A.无实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.不能确定有无实根12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为a4a6a2a82a5，a2a5a83a59，所以a53，则方程为x26x100，因为6241040，所以方程无实根.6.已知数列an是等差数列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477，则a15 ，
10、若ak15，则k .12345678910 11 12 13 14 15 161121又a4a5a13a1411a977，a97.aka9(k9)d15，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 167.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 .21解析设这三个数为ad，a，ad，这三个数为1,3,7或7,3，1.它们的积为21.12345678910 11 12 13 14 15 168.若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为 .解析a，b，c成等差数列，2b
11、ac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.1或212345678910 11 12 13 14 15 169.在等差数列an中.(1)已知a2a3a23a2448，求a13；解根据已知条件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解由a2a3a4a534，得2(a2a5)34，即a2a517，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三
12、个数之积为40.求这四个数.解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，又四个数成递减等差数列，所以d0 B.d0 D.a1da1an，由等差数列的公差为d知，anan1d，所以a1an1a1ana1ana1an10a1(anan1)0a1d0 B.a2a1010，则(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5a100，a20.得3a3d7(2a3d)，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16解析设x2xm0，x2xn0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x41(且14m0,14n0).设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解由题意，知an3n2(nN*)，bk4k1(kN*)，16.已知两个等差数列an：5,8,11，与bk：3,7,11，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？而nN*，kN*，所以设k3r(rN*)，得n4r1.所以共有25个相同数值的项.
