1、4.2.2 4.2.2 等差数列的等差数列的前前n n项和公式项和公式 高斯(Gauss,1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，近代数学奠基者之一，并享有数学王子之称.他和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家.据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：123100=？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：50505010151509921001 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,n,前100项和的问题。创设情境创设情境 首尾配对相加法 在问题中高斯运用的是“首尾配对”的方法，它使不同数求和问题转化为相同
2、数(即101)的求和，从而简化运算.思考思考:高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？你能从中得出求数列的前n项和的方法吗？50505010151509921001aaaaaa)(51509921001aaaaaa探究新知探究新知设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为可以发现，高斯在计算中利用了思路1（拿出中间项，再首尾配对）原式=(1+101)+(2+100)+(3+99)+(50+52)+51思路2（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+100)+101思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+101+102)-102 思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+100
3、+101 探究新知探究新知探究：你能用高斯的方法求1+2+100+101吗？探究新知探究新知 探究新知探究新知能否设法能否设法避免分类避免分类讨论？讨论？()nnnSn+=+=11232 问题呈现：传说印度泰姬陵的陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(见右图)，奢靡之程度，可见一斑.你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究新知探究新知12321212019121(121)212S获得算法：探究新知探究新知问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形.这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用
4、数学式子表示就是：1+2+3+4+21 21+20+19+18+1对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）探究新知探究新知 倒序相加法说明：这实质上是我们数学中一种求和的重要方法.(1)1 2 3(1)2nnnSnn 123 (1)nSnn探究新知探究新知倒序相加法受此启发，我们得到下面的方法(1)(2)2 1nSnnn将上述两式相加，可得2(1)2(1)3(2)(1)(1)nSnnnnn n123nnSaaaa1()nn aa1213212()()()()nnnnnSaaaaaaaa 已知等差数列an的首项为a1,项数是n,第n项为an求前n项和Sn 121nnnnSaaaa倒序
5、相加法探究新知探究新知思考：那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？1()2nnn aaS 如果等差数列an的首项a1,公差为d,那么该等差数列的前n项和公式为1()2nnn aaS注意：等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1,d,n,an,Sn”五个量，故知三求二知三求二探究新知探究新知1(1)2nn nSnad把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得等差数列的前项和等差数列的前项和n公式：公式：1()=2nnaaSn1()2nnaaan是等差数列的前 项的平均数公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.1()2nnn aaSa1(n-1
6、)dna1an1(1)2nn nSnadna1an典例分析典例分析整理,得解得n=12或n=-5(舍去)所以n=12例例2 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和解：记该数列为an，公差为d，根据等差数列前n项和公式，可得典例分析典例分析1110 910310220 192012202adad2(1)46 3.2nn nSnnn 因此该等差数列的前n项和为146ad 解得1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列an的前n项和Sn.(1)a1=5,an=95,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=-4,a8=-18,n=10;(4
7、)a1=14.5,d=0.7,an=32.巩固练习巩固练习S10=500S50=2550S10=-130S26=604.52.等差数列-1,-3,-5,的前多少项的和是-100？巩固练习巩固练习10S16=72k=163.在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=6,S8=20，求S16.4.在等差数列an中，若S15=5(a2+a6+ak)，求k.1.等差数列前n项和的公式；（两个）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad课堂小结课堂小结3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素知三求二.2.等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法；
