1、第2课时导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一导数的几何意义1割线斜率与切线斜率设函数yf(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0) .2导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的
2、切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二导函数的定义从求函数f(x)在xx0处导数的过程可以看出，当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数这样，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数记作f(x)或y，即f(x)y .特别提醒：区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是函数f(x)在某区
3、间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数1函数在某点处的导数f(x0)是一个常数()2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()3函数f(x)0没有导数()4直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点()一、求切线方程例1已知曲线C：yf(x)x3x.(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_二、求切点坐标例2过曲线yx2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点(1)平行于直线y4x5；
4、(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角反思感悟求切点坐标的一般步骤(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标跟踪训练2已知曲线f(x)x21在xx0处的切线与曲线g(x)1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值三、利用图象理解导数的几何意义例3已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2) B0<f(2)<f(3)f(2)<f(3)C0<f(3)<
5、f(3)f(2)<f(2) D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢跟踪训练3若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()过某点的曲线的切线典例求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程素养提升(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点(2)过点
6、(x1，y1)与曲线yf(x)相切的直线方程的求法步骤设切点(x0，f(x0)建立方程f(x0).解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法体现了直观想象和数学运算的数学核心素养1已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)等于()A4 B4 C2 D22(多选)下面说法不正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处
7、的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在3曲线f(x)在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A45 B60 C135 D1204已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_5已知直线y4xa(a<0)和曲线yx32x23相切，则切点坐标为_，实数a的值为_ 0="" 2="" 4="" 8="" 16="">0，f(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(
8、)5(多选)下列各点中，在曲线yx32x上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1,1)6已知函数yf(x)在点(2,1)处的切线与直线3xy20平行，则y|x2_.7已知f(x)x2ax，f(1)4，曲线f(x)在x1处的切线在y轴上的截距为1，则实数a的值为_8设f(x)存在导函数，且满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_9在抛物线yx2上哪一点处的切线平行于直线4xy10？哪一点处的切线垂直于这条直线？10已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2，求直线l
9、2的方程11若曲线yx上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A(，1) B(1,1)C(，1) D(1，)12 已知函数yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a_，b_.13 若点P是抛物线yx2上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_14 若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为_15 已知函数f(x)x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为_16点P在曲线f(x)x21上，且曲线在点P处的切线与曲线y2x21相切，求点P的坐标参考答案例1解因为3x23xx1(x)2，所以f(x) 3x23xx
10、1(x)23x21.(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为kf(1)31214.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为y24(x1)，即4xy20.(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为kf(x)tan ，所以tan 3x211.又0，)，所以.跟踪训练1答案3解析y|x2 (4x)4，ky|x24.曲线yx21在点P(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.例2解f(x) 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)切线与直线y4x5平行，2x04，x02，y04，即P(2,4)是满足条件的点(2)切线与直线2x6y50垂直，2x01，得x0，y0，即P
11、是满足条件的点(3)切线与x轴成135的倾斜角，其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点跟踪训练2解对于曲线f(x)x21，k1 2x0.对于曲线g(x)1x3，k2 3x.由题意得2x03x，解得x00或x0.经检验，均符合题意例3答案C解析kABf(3)f(2)，f(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2)处的切线的斜率，f(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3)处的切线的斜率，根据图象可知0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)跟踪训练3答案A解析依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大
12、，观察四个选项的图象，只有A满足1.解设切点为(x0，xx01)，则切线的斜率为k 2x01.又k，2x01.解得x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10.当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.1.答案D解析由导数的几何意义知f(1)2.2.答案ABD解析根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误3.答案C解析f(x) 9 9 ，所以f(3)1.又切线的倾斜角的范围为0<180，所以所求倾斜角为
13、135. 5="" 4x.="" 5.="" b="" 0.="" c="" 8.="" a="" 2x.="" 2.="" a.="" d="">0，f(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负5.答案BC解析设切点坐标为(x0，y0)，则 3x2tan 1，所以x01，当x01时，y01.当x01
14、时，y01.6.答案3解析因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y|x23.7.答案2解析由导数的几何意义，得切线的斜率为kf(1)4.又切线在y轴上的截距为1，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y4x1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f(1)1a3，即a2.8.答案1解析 f(1)1.9.解y (2xx)2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4xy10，则2x04，解得x02，所以y0x4，即P(2,4)，经检验，符合题意设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4xy10，则2x1，解得x1，所以y1x，即Q，经检验，符合题意故抛物线yx2在点(2,
15、4)处的切线平行于直线4xy10，在点处的切线垂直于直线4xy10.10.解因为y 2x1，所以y|x13，所以直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3，设直线l2过曲线yx2x2上的点P(x0，xx02)，则直线l2的方程为y(xx02)(2x01)(xx0)因为l1l2，所以2x01，x0，所以直线l2的方程为3x9y220.11.答案C解析yx上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k 1<1.即k<1.12.答案12解析由题意知ab3，又y|x1 2a2，a1，b2.13.答案解析由题意可得，当点P到直线yx2的距离最小时，点P为抛物线yx2的一条切线的切点，且该切线平行于
16、直线yx2，设yf(x)x2，由导数的几何意义知yf(x) 2x1，解得x，所以P，故点P到直线yx2的最小距离为d.14.答案4解析y 2x1，在点P处的切线斜率为2(2)15.因为点P的横坐标是2，所以点P的纵坐标是6c，故直线OP的斜率为，根据题意有5，解得c4.15.答案y0或3xy20解析设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为kf(x0) 3x，切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.因为切线过点P，所以2x2x0，解得x00或x01，从而切线方程为y0或3xy20.16.解设P(x0，y0)，则y0x1，f(x0)2x0，所以过点P的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0x1x，而此直线与曲线y2x21相切，所以切线与曲线y2x21只有一个公共点，由得2x22x0x2x0，则4x8(2x)0，解得x0，则y0，所以点P的坐标为或. </f(3)f(2)<f(2)<f(3)>
