1、讲课老师：关老师学习目标简单理解枚举法简单理解枚举法.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题思考：从6个人中选出三个人参加数学竞赛，则参加比赛人员组成的方式共有几种呢？我们来看一看小林同学怎么做的：先给6名同学分别标上序：1，2，3，4，5，6然后开始：123,345,356,134,156.哎呀,数乱了。这还不简单，一个一个数不就好了。小林同学的问题出现在那？数的时候，毫无规律可言，东一个西一个的数，很容易出现漏数，或者重复。那么我们如何做到不重复，不漏数呢，首先
2、来介绍一下枚举法枚举法，也叫做列举法，就是在计数问题中，把所有可能出现的情况一个一个列出来，在数出总数的方法。我刚才也是一个一个数的啊，怎么就数乱了呢。想要把数数好，最重要的就是按照一定顺序比如从小到大，从左往右等等。在数之前，想好一个明确的顺序，数的时候严格按照顺序来数，就不会出错啦。例：扔两枚骰子，点数之和为7与点数之和为8，哪种情况的可能性更大？按顺序枚举的重要思想：分布，按照一定顺序从6个人中选出三个人参加数学竞赛，则参加比赛人员组成的方式共有几种呢？从小到大枚举栗子1：小林要穿裙子出门，红色有两条，白色有三条，一共有几种选择？2+3=5条共有5种选择栗子2：小林去上学，公交车有三种路
3、线，骑车有两种路线，步行有一种路线，问小林到学校共有几种路线？3+2+1=6 共有6种路线去学校观察以上两个栗子，有什么共同点？在两个栗子里，完成事情的办法，都可以分为不同的类别。比如小林去学校有公交车、骑车、和步行这三类不同的方法。然后只要弄清楚每一类中有多少种方法可以完成这件事，再把他们加起来，就能得到完成这件事的总方法数了，这个就是分类加法计数原理。比如小林要穿裙子就可以分为红裙子和白裙子两类红裙子有两种白裙子有三种那么完成这件事就有N=2+3=5种不同的方法 微练习1已知某校高二(19)班有54人，高二(20)班有56人，现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛，则共有_种不同的选法解析：
4、若这个人来自(19)班，则有54种不同的选法；若来自(20)班，则有56种不同的选法，所以共有110种不同的选法答案：1102某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3班，则此人的走法共有_种解析：因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地根据分类加法计数原理可得此人的走法共有437(种)答案：7栗子1：小林去商场买一套衣服，四种上衣，三种裤子，要买上衣裤子各一件，一共有多少种选择呢？小林买衣服这件事很明显可以分为两步：买一件衣服，再买一条裤子。两件都买齐，这件事情就完成了。买衣服这一步有四种选择。无论之
5、前买了哪种上衣裤子都有三种选择。共有12种相信很多同学都发现了简便的算法第一步买衣服有四种选择。无论第一步选哪件上衣，选裤子都有三种选择所以选择数直接用4乘3就可以算出并不需要一个一个去数，用乘法直接可以算出结果。栗子2：5幅不同的画，从中分别选出3幅分别挂在1、2、3号3个展厅，共有几种选择。第一步5种选择第二步不能与第一步重复4种选择第三步不能与前两步重复3种选择一共5x4x3=60种选择第一：两个栗子的最终任务都可以拆分成几步来完成，并且少一步事情都不算完。比如小林只买了上衣没买裤子的话，肯定不行。第二：每一步的选择不影响下一步的方法数 无论第一步选择哪个上衣，对第二步都没有影响。第一：
6、两个栗子的最终任务都可以拆分成几步来完成，并且少一步事情都不算完。第二：每一步的选择不影响下一步的方法数 如果一件事同时满足以下两条：总的情况数=每一步的方法数都乘起来N=m1m2m3.mn(m1:第一步方法数，.mn：第n步方法数）这就是分布乘法计数原理（注：两个条件缺一不可）在(1,2),(3,4,5)这两组数中，从每组中各选出一个相加，求和为奇数有多少种情况？3不满足第二个条件：每一步的选择不影响下一步的方法数 不能用乘法小牛试刀 小林、小王、小刘三人报名兴趣小组，每人选择参加一个，有多少种不同的情况？64 微思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步？提示：区分“完成一件事”是分类还是分
7、步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步1分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题区别在于：(1)分类加法计数原理针对的是“_”问题，其中各种方法_，用其中任何一种方法都可以做完这件事；(2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法_，只有每一个步骤都完成才算做完这件事分类相互独立相互依存2用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：(1)要完成的“一件事”是什么；(2)需要分类还是需要分步分类要做到“_”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“_”，即完成
8、了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数不重不漏步骤完整小牛试刀（判断正误）判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“”，错误的画“”1从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题()2分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情()3分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题()4从甲地经丙地到乙地是分步问题()题型一分类加法计数原理的应用例1(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在
9、所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析对(1)，分成四类；对(2)，分成八类，然后利用分类加法计数原理求解解析(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722(种)(2)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)1.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分
10、成n类.(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事.(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.2.用分类加法计数原理解题应注意以下问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事.(2)分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉.(3)若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，n类的并集为全集.3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤(1)分类，即将完成这件事情的方法分成若干类.(2)计数，求出每一类中的方法数.(3)结论，将各类的方法数相加得出结果.题型二分步乘法计数原理的简单应用例2从2，1,0,1,
11、2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？分析解答本题需分三步完成，然后利用分步乘法计数原理求解解析第一步选系数a(a不能为0)，有5种选法第二步选系数b，有5种选法第三步选系数c，有4种选法根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 组 成 抛 物 线 的 条 数 为554100(种)1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可.(2)完成每一步都有若干种方法.(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.2.利用分步乘法计数原理应注意(1)要按事件发生的过程合
12、理分步，即分步是有先后顺序的.(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.(3)若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成.3.利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步，将完成这件事的过程分成若干步.(2)计数，求出每一步中的方法数.(3)结论，将每一步中的方法数相乘得最终结果.题型三两个计数原理的综合应用例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不
13、同的选法？分析对(1)，分为三类，利用分类加法计数原理；对(2)，分为三步，利用分步乘法计数原理；对(3)，分为三类，但每类中又需要分步完成，利用分类加法和分步乘法两个计数原理解析(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法根据分类加法计数原理，共有52714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210(种)不同的选法第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有57
14、35(种)不同的选法第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714(种)不同的选法，所以有10351459(种)不同的选法1.利用两个计数原理的解题策略(1)首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情.(2)其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步，是先分类
15、后分步，还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.典例1如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？解析第一类：有一条线路第二类：有32条线路第三类：有22条线路根据分类加法计数原理，从A到B接通时共有1322211(种)不同线路解析分0个相同、1个相同、2个相同讨论(1)若0个相同，则信息为1001，共1个(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000，共4个(3)若2个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息为0101；若位置一与三相同，则信息为0011；若位置一与四相同，则信息为0000；若位置二与三相同，则信息为1111；若位置二与四相同，则信息为1100；若位置三与四相同，则信息为1010.共有6个故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为14611(个)答案B素养提升利用分类加法计数原理解题时的注意点(1)切实理解“完成一件事”的含义，根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案，分类的关键在于做到“不重不漏”(3)确定题目中是否有特殊条件限制小结注意分类和分步的区别
