1、6.3 二项式定理二项式定理 6.3.1 二项式定理二项式定理 2.组合数公式：组合数公式：1.排列数公式：排列数公式：其中其中m，nN*且且 mn，规定，规定3.组合数性质：组合数性质：复习巩固：复习巩固：!(1)(2)(1)()!mnnAn nnnmnm (1)(2)(1)!()!mnn nnnmnAmmnm 00!11.nC ，(1)mn mnnCC ；11(2).mmmnnnCCC (ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)4_ (ab)n_探究探究 我们知道，我们知道，(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3.(1)观察以上展开式，分析其运
2、算过程，你能发现什么规律观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律?(2)根据你发现的规律，你能写出根据你发现的规律，你能写出(ab)4的展开式吗的展开式吗?(3)进一步地，你能写出进一步地，你能写出(ab)n的展开式吗的展开式吗?02122222C aC abC b；031222333333C aC a bC abC b；a44a3b6a2b24ab3b40413222334444444C aC a bC a bC abC b；011222.nnnkn kknnnnnnnC aC abC abC abC b二项式定理：二项式定理：此公式叫做此公式叫做通项公式通项公式.011222*()
3、.N.nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn 上述公式叫做上述公式叫做二项式定理二项式定理，右边的多项式叫做，右边的多项式叫做(ab)n的的二项展开式，二项展开式，它一共有它一共有 n1 项，项，其中各项的系数其中各项的系数 叫做叫做二项式系数二项式系数.二项展开式中的二项展开式中的 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项，通项，用用 来表示，即通项来表示，即通项为展开式为展开式第第k1项项，即，即 (0,1,2,)knCkn kn kknC ab 1kT 1.kn kkknTC ab 1.系数规律：系数规律：2.指数规律：指数规律：(1)各项的次数均为各项的
4、次数均为n；(2)各项里各项里a的指数由的指数由n降到降到0，b的指数由的指数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：两项和的两项和的n次幂的展开式共有次幂的展开式共有n+1个项个项.4.通项公式通项公式:二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些它在求展开式的某些特定项特定项、特定项系数特定项系数、以及数、式的整除方面有广、以及数、式的整除方面有广泛应用泛应用.定理的特征：定理的特征：012.nnnnnCCCC,1.(0 1 2)kn kkknTC abkn ,二项式定理：二项式定理：011222*(
5、).N.nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn注意：注意：(1)展开式的第展开式的第k+1项项(通项通项)为为 其中其中 叫做叫做二项式二项式系数，系数，它与它与第第k+1项的系数项的系数是两个不同的概念是两个不同的概念.knC1Ckn kkknTab ，(2)它可表示二项展开式中的任意项，只要它可表示二项展开式中的任意项，只要n与与k确确定，该项也随即确定；定，该项也随即确定；1kn kkknTC ab (3)表示的是表示的是第第k+1项项，而，而不是第不是第k项；项；1kn kkknTC ab (4)中中a,b的位置不能颠倒的位置不能颠倒,且它们指数和一
6、定为且它们指数和一定为 n.1kn kkknTC ab (5)二项式定理对任意的数二项式定理对任意的数a,b都成立，若设都成立，若设a1,bx，则有，则有0122(1).nkknnnnnnnxCC xC xC xC x 011222*().N.nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn 61()xx 例例1 求求 的展开式的展开式.解：解：根据二项式定理，可得根据二项式定理，可得61 606151242333424556666666661()()xxxxC xC x xC x xC x xC x xC xxC x 64224661520156.xxxxxx 解：
7、解：51.().pq 写写出出的的展展开开式式505142323234455555555().pqC pC p qC p qC p qC pqC q 课本课本31页练习页练习762(1)(12)41(2)(2)xxxx 求求的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数；求求的的展展开开式式中中的的系系数数.例例2解：解：(1)由通项公式，可得由通项公式，可得33343 17(2)280.TTCxx 7(12)4280.x 的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数是是(2)由通项公式，可得由通项公式，可得6631661(2)()(1)2.kkkkkkkkTCxC xx 321.kk 设设,解解得
8、得2516(1)2192.xC 的的系系数数是是 解：解：62.(23)3.ab 求求的的展展开开式式的的第第 项项由通项公式，可得由通项公式，可得2424232 16(2)(3)2160.TTCaba b 642(23)32160.aba b 的的展展开开式式的的第第 项项是是课本课本P31 解：解：3313.()1.2nxrx写写出出的的展展开开式式的的第第项项由通项公式，可得由通项公式，可得233131(1)()().22nrrrn rrrrnnrTCxC xx 23331(1)()1.22nrrnrnrxrC xx 的的展展开开式式的的第第项项是是课本课本P31 解：解：1066551
9、01010104.(1)6.()()()()xA CBCC CDC 的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数是是()()由通项公式，可得由通项公式，可得5555561010(1).TC xC x 10510(1)6.xC 的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数是是课本课本P31 解：解：45.(1)(2)(3)(4)(5).xxxxxx 在在的的展展开开式式中中,含含 的的项项的的系系数数是是_ _ _ _ 含含x4的项是由的项是由5个括号中任意个括号中任意4个括号各取出个括号各取出1个个x，剩余，剩余1个括号取出个括号取出常数相乘得到的，故含常数相乘得到的，故含x4的项的系数是的项的系
10、数是(1)(2)(3)(4)(5)15.课本课本P31解：解：rrrrxxT)1(C991 91(1)()xx 的的展展开开式式的的通通项项是是rrrx299C)1(9233.rr 设设,解解得得12(2)()13410 xa 由由于于的的展展开开式式共共有有项项,所所以以倒倒数数第第 项项是是展展开开式式的的第第项项,即即99129121910CaxTT 93312Cax.22093ax(2)展开式中的倒数第展开式中的倒数第4项为项为_.12)(ax 巩固训练巩固训练1 (1)的展开式中含有的展开式中含有x3的系数是的系数是_.9)1(xx 3339(1)84.xC 展展开开式式中中有有含含
11、项项的的系系数数为为巩固训练巩固训练2 求求 展开式中的常数项展开式中的常数项.102)13(xx 解：解：2 101101C(3)()rrrrTxx 展展开开式式的的通通项项为为520102213C.rrrx 52008.2rr 设设,解解得得 的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为102)13(xx 82910C3405.T 巩固训练巩固训练3 求求 的展开式里有多少项有理项？的展开式里有多少项有理项？1003()xy 解：解：10031100C()()rrrrTxy 5032100Crrrxy 对于一切有理项，对于一切有理项，、必为整数，必为整数，2r3r则则 r 必是必是6的倍数的倍
12、数.1000 r又又,1260，r)1(6096 n由由.17 n得得故故 展开式中的有理项有展开式中的有理项有17个个.1003)(yx 思考：思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？巩固训练巩固训练4 已知已知 的展开式中第的展开式中第5项的系数与第项的系数与第3项的系数之比是项的系数之比是14：3，求展开式中的常数项，求展开式中的常数项.nxx)1(2 解：解：121C()()rn rrrnTxx ,22rrnrnxC 42CC14 3nn 由由题题意意得得:，(2)(3)14,4 33nn 即即25500105().nnnn 整整理理得得,
13、解解得得或或舍舍10202.2rrr 令令,得得故展开式中常数项是故展开式中常数项是2103CT .45 3巩固训练巩固训练5 求求(x2)10(x21)的展开式中的展开式中x10的系数的系数.变式变式 若若(a+x)(1+x)4的展开式中的展开式中x的奇次幂项的系数之和为的奇次幂项的系数之和为32，则，则a=_.解：设解：设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则，则 a1+a3+a5=32，令令x=1，得，得(a+1)24=a0+a1+a2+a3+a4+a5 x=1，得，得 0=a0a1+a2a3+a4a5 得得a1+a3+a5=8(a+1)=32，解得解得 a=3.1.二项式定理：二项式定理：011222*().N.nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn 1.kn kkknTC ab 小结：小结：2.通项公式：通项公式：3.二项式系数：二项式系数：012.knnnnnnCCCCC ,
