1、排列13211问题 从甲、乙、丙 名同学中选出 名参加一项活动，其中 名同学参加上午的活动，另 名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？6这 种不同的选法如图所示22第 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的人中去选，3有 种选法；131第 步，确定参加上午活动的同学，从 人中任选 人，211此时，要完成的一件事是“选出 名同学参加活动，名同学参加上午的活动，另 名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：3 26不同的选法种数为根据分步乘法计数原理，2有 种选法一、排列3 26不同的排列方法种数为,ab ac ba bc ca cb所有不同的排列是
2、3,2a b c从 个不同的元素中任意取出 个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？那么问题可叙述为：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，21,2,3,443问题从这 个数字中，每次取出 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？可以分三个步骤来解决这个问题：3有 种方法；因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数。按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数。43显然，从 个数字中，每次取出 个，23第 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 个数字中去取，4有种方法；11,2,3,441第 步，确定百位上的数字，从这个数字中
3、任取 个，24因而共可得到个不同的三位数，如图所示123,124,132,134,142,1432有种方法32第 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的个数字中去取，根据分步乘法计数原理，4 3 224 不同的排法种数为1,2,3,443从这个不同的数字中，每次取出 个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，由此可写出所有的三位数：213,214,231,234,241,243312,314,321,324,341,342412,413,421,423,431,4324 3 224 不同的排列方法种数为,cab cad cba cbd cda cdb,ba
4、c bad bca bcd bda bdc,abc abd acb acd adb adc所有不同的排列是24,3a b c d同样，问题可以归结为：从个不同的元素中任意取出 个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？,dab dac dba dbc dca dcb12问题 和问题都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列1例如，在问题 中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同，根据排列的定义，两个排列相同的充要条
5、件是：.nmmnnm一般地，从 个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出个元素的个排列一123132与虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列2123134又如，在问题 中，与的元素不完全相同，它们是不同的排列；61某省中学生足球赛预选赛每组有支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 场，那么每组共进行多少场比赛？例1.6 530 每组进行的比赛场数为按分步乘法计数原理，51然后从剩下的 支队中选 支为客队61解：可以先从这支队中选 支为主队，)53(11一张餐桌上有 盘不同的菜，甲、乙、丙 名同学每人从中各取 盘菜，共有多少种不同
6、的取法？例2.5 4 360 不同的取法种数为按分步乘法计数原理，31最后从剩下的 盘菜中取 盘给同学丙41然后从剩下的盘菜中取 盘给同学乙，51解：可以先从这盘菜中取 盘给同学甲，5 5 5125 不同的选法种数为3(2)5学校食堂的一个窗口共卖 种菜，甲、乙、丙 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？按分步乘法计数原理，515最后让同学丙从种菜中选 种，同样有 种选法。515再让同学乙从种菜中选 种，也有 种选法；515解：可以先让同学甲从种菜中选 种，有 种选法；1.(10 45(2,2),)a b c d写出：用这个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；从中取出 个字母的所有排列
7、,ca cb cd练习40,41,42,4330,31,32,34,20,21,23,24,(1)10,12,13,14,解：,ba bc bd(2),ab ac ad,da db dc2.41一位老师要给个班轮流做讲座，每个班讲 场，有多少种轮流次序？414第一步：从个班中选出个班，做第一场讲座，有中不同的选法解：分为四步313第二步：再从剩下的个班中选出个班，做第二场讲座，有中不同的选法212第三步：再从剩下的个班中选出个班，做第三场讲座，有中不同的选法11第四步：再将剩下的最后个班做第四场讲座，有中不同的选法4 3 2 124 由乘法原理知：共有中不同的选法3.53(5)311,221(
8、1)533学校乒乓团体比赛采取场 胜制场单打，每支球队派 名运动员参赛，前三场比赛每名运动员各出场 次，其中第位出场的运动员在后场比赛中还将出场 次从名运动员中选 名参加比赛，前 场比赛有几种出场情况？5 4 360 由乘法原理知：共有中不同的选法(1)解：分为三步515第一步：从名运动员中选出名参加第一场比赛，有中不同的选法414第二步：再从剩下名运动员中选出名参加第二场比赛，有中不同的选法313第三步：再从剩下名运动员中选出名参加第二场比赛，有中不同的选法3.53(5)311,221(2)3学校乒乓团体比赛采取场 胜制场单打，每支球队派 名运动员参赛，前三场比赛每名运动员各出场 次，其中第
9、位出场的运动员在后场比赛中还将出场 次甲、乙、丙 名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况6 12 1230由加法原理知：所有出场情况共有种(2)分为三类甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙甲丙乙，乙甲丙甲，乙丙甲乙，乙丙甲丙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙3(3:0)3 2 16 第一类：场决胜负，有种4(3:1)3 2 1 212 第二类：场决胜负，有种5(3:2)3 2 1 2 1 12
10、第二类：场决胜负，有种mnA用符号表示344 3 224A 已经算得nmmnnm我们把从 个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的排列数，3443A求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，表示为233 26A 已经算得2332A求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，表示为二、排列数2nA因此，所有不同填法的种数就是排列数2nA可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数()mnnmAmn从 个不同元素中取出个元素的排列数是多少？反之，任何一种排列总可以由这种填法得到2n从 个不同元素中取出 个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；假定有排好
11、顺序的两个空位，如图所示2)2(1nnAn个空位的填法种数为根据分步乘法计数原理，22(11()1nn第 步，填第个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选 个，有种选法。111nn第 步，填第 个位置的元素，可以从这 个不同元素中任选 个，有种选法；完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：探究3(1)(2)nAn nn有2()(11)()mn nnnm根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为mnA因此，所有不同填法的种数就是排列数3,3nA同理，求排列数可以按依次填 个空位来考虑，nm从 个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列。m假定有排好顺序的个空位，mn
12、Am一般地，求排列数可以按依次填 个空位来考虑：()111mnmmnm第步，从剩下的个元素中任选 个填在第位，有种选法。3(213()2)nn第 步，从剩下的个元素中任选 个填在第 位，有种选法；)2(112(1nn第步，从剩下的个元素中任选 个填在第位，有种选法；111nn第 步，从 个不同元素中任选 个填在第 位，有 种选法；m填空可以分为个步骤完成：如图所示，,N,.m nmn这里，并且这个公式叫做排列数公式(1)(2)(1)mnAn nnnm1nn正整数 到 的连乘积，叫做 的阶乘，1nn即：将 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 到的连乘积，(1)(1)3 2 1nnAn nn
13、 nn我们把 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排列。388 7 6336A 255 420A 0!1规定!nnAnn于是，个元素的全排列数公式可以写成!(1)(1)3 2 1nn nn !n用表示734427776244(1)(2)(3)(4)AAAAAA例3.计算：7207634767642427!4!AAAAAA思考观察这两个式子，从中你发现了什么？21084021037(1)7 6 5A 解：7 6 5 77447!(3)4!AA47(2)7 6 5 4A 6！4262(4)6 5 4 3 2 1AA !()!nnm!()!mnnAnmnnn mn mAA(1)(2)
14、(1)()2 1()(1)2 1n nnnmnmnm nm (1)(2)(1)mnAn nnnm0 910用这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例4.12999 9 8648AA 所求的三位数的个数为19A有种取法；11 991第 步，确定百位上的数字，可以从这个数字中取出 个，1:0,解法由于三位数的百位上的数字不能是所以可以分两步完成：根据分步乘法计数原理，29A有种取法292第步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的 个数字中取出 个，29A有种取法3229999 8 79 89 8648AAA 30第 类，十位上的数字是 的三位数，29A有种取法；92可以从剩下的 个数字中取
15、出 个放在百位和十位，20第类，个位上的数字是 的三位数，39A有种取法；1 993可以从这 个数字中取出 个，10第 类，每一位数字都不是 的三位数，2解法：符合条件的三位数可以分成三类：92可以从剩下的 个数字中取出 个放在百位和个位，根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为就得到没有重复数字的三位数的个数3210910 9 8 9 8648AA 即所求三位数的个数为10它们的差就是用这个数组成的没有重复数字的三位数的个数，290,A其中 在百位上的排列数为3100 9103,3A从这个数字中解选取 个的排列数法：为0然后减去其中百位是 的排列数（不是三位数的个数），3103解法 是一种间
16、接法，先求出从个数中取出 个数的排列数，20解法是以 是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；103按分步乘法计数原理完成从个数中取出 个数组成没有重复数字的三位数这件事；10解法 根据百位数字不能是 的要求，对于这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法32321210999992AAAAAA结论：748541212815146121.(1)(2)(3)15(4)AAAAAA计算：40 32011880练习06412(1)12 11 10 9A 解：88(2)8 7 6 5 4 3 2 1A 541514(3)1515 14 13 12 11 15(14 13 12 11)AA71261212 11 10 9 8 7 6(4)12 11 10 9 8 7AA 11mnnA18767187672.(1)(2)87mmnnAnAAAAA证明：77A(1)!(1)(1)!nnnm!(1)()!mnnAnm876777876777(2)8788AAAAAA431.8一个火车站有 股岔道，如果每股道只能停放 列火车，现要停放列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？481 680A 解：拓广与探索4()个不同元素的错位排有种9拓广与探索5()个不同元素的错位排有种44谢谢谢谢观看观看
