1、二项式定理4(1()3)()2(nabab观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？进一步地，你能写出的展开式吗？2(0,1,2)kkabk而且每一项都是的形式222aabb探究()()a abb ab2()()abab ab根据多项式乘法法则a aa bb ab b 由分步乘法计数原理，就得到展开式的一项。)()(,abab再从另一个中选一项 选 或)()(,abab只要从一个中选一项 选 或22)(abab可以看到，是个相乘，221122(2)abCC的展开式共有项，在合并同类项之前，一、二项式定理222)(2abaabb我们知道，33223(
2、33)abaa babb021222222)(abC aC abC b由上述分析可以得到2ab即共有个21a即只有 个2 kkab下面我们再来分析一下形如的同类项的个数2022)()(0,aabbaC因此，出现的次数相当于从个中取个都取的组合数)2(abb这是由 个中都不选得到的22,kkaba01.0k 当时，122()1ababbC因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数ba由于选定后，的选法也随之确定，02.1k 当时，1)1(,(abaabb这是由 个中选另 个中选得到的2,kkabab21b即只有 个2222()2babbC因此，出现的次数相当于从个中取个 的组合数22,kkabb)
3、2(abb这是由个中都选得到的03.2k 当时，33)(abab可以看到，是个相乘，3()()(abab ab ab31a即只有 个3033()0aabbC因此，出现的次数相当于从个中取个 的组合数33,kkaba)3(abb这是由个中都不选得到的01.0k 当时，思考3()ab请你利用计数原理，写出的展开式)(,)abab只要从第一个中选一项 选 或(,)abab从第二个中选一项 选 或)()(,abab再从第三个中选一项 选 或就得到展开式的一项。在合并同类项之前，11132322()2abCCC的展开式共有项，3(03,1,2)kkabk而且每一项都是的形式2 kkab下面我们再来分析一
4、下形如的同类项的个数0312223333333()abC aC a bC abC b由上述分析可以得到23ab即共有个23a b即只有个2133()1a babbC因此，出现的次数相当于从个中取个 的组合数3(1()ababb这是由个中只有个选得到的32,kkaba b02.1k 当时，2233()2ababbC因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数03.2k 当时，3(2()ababb这是由个中有个选得到的32,kkabab31b即只有 个2333()3babbC因此，出现的次数相当于从个中取个 的组合数33,kkabb)3(abb这是由个中都选得到的04.3k 当时，011()Nnnnk
5、n kknnnnnnabC aC abnC abC b,()0 1,n kkabkn其中每一项都是的形式将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式,n对于任意正整数我们有如下猜想：因此，由分步乘法计数原理可知，)(abab而且每个中的 或 都选定后，才能得到展开式的一项。)()(nabnababab由于是 个相乘，每个在相乘时有两种选择，选或在合并同类项之前，(2)nnab的展开式共有项，ba由于 选定后，的选法也随之确定，)(kabb另外 个中选 得到的。(,)(nkaba由个中选0,1,2,()n kkk knab对于每个对应的项是()n knkknababC这样，的展开式中，共有个，)(
6、n kkknabnabkbC因此，出现的次数相当于从 个中取 个的组合数0122(1)nkknnnnnnnxCC xC xC xC x011()Nnnnkn kknnnnnnabC aC abnC abC b11kn kkknTkC ab即通项为展开式的第项：1kT用表示kn kknC ab式中的叫做二项展开式的通项，0,1,(2,),knCkn其中各项的系数叫做二项式系数()nab右边的多项式叫做的二项展开式，二项式定理上公式叫做1,abx在二项式定理中，若设则得到公式：请你说说二项展开式有什么规律？01.1n展开式共有项012.(0,1,2,)kn kkknTC abkn通项03.0knC
7、kn二项式系数中的 由 逐渐增大到04.0an的幂指数由 逐渐减小到05.0bn的幂指数由 逐渐增大到6x066C x6161()()xxxx解：根据二项式定理，6()1xx求的展开式例1.1516C x x2426C x x3336C x x4246C x x666C x556C xx46x215x215x2046x6x72(1)4)(1x求的展开式的第项的系数例2.4280展开式的第项的系数是335 8 x 33372Cx37 333 1741(2)TCx解：展开式的第项是3280 x621()2.(22)xxx求的展开式中的系数例2516(1)2192xC 的系数为：1k 解之得：32k
8、由636(1)2kkkkC x 6161(2)()kkkkTCxx解：51.)(pq写出的展开式练习54322345510105pp qp qp qpqq5514232323445555555()pqpC p qC p qC p qC pqC q解：6)2.(233ab求的展开式的第 项422 160a b24236(2)(3)TCab解：33)3(.112nxrx写出的展开式的第项23(1)2nrrrnrC x3131()()2rn rrrnTCxx解：115066501010104.6.1.()ACBCCxCCD的展开式的第项的系数是D选5510C x 510 55610(1)TC x解：
9、4)5.(1(2(3(4(5(xxxxxx在的展开式中，含的项的系数是415x含的项的系数是4444441234515xxxxxx 得：5x解：从个因式中选出一个因式，取出其常数，从其他四个因式中都选出追问(1(2(3(4)(5()xxxxx在的展开式中，常数项是1(2)(3)(4)(5)120 常数项是5解：从这个因式中选出的都是常数，(1(2(3(4()5()xxxxxx在的展开式中，含 的项的系数是274x含的项的系数是274x5x解：从个因式中选出一个因式，取出，从其他四个因式中都选出其常数追问追问2(1(2(3(4()5()xxxxxx在的展开式中，含的项的系数是5x解：从个因式中选
10、出两个因式，取出，从其他三个因式中都选出其常数(1)(3)(4)(5)xx (1)(2)(4)(5)x (1)(2)(3)(5)x (1)(2)(3)(4)x 得：(2)(3)(4)(5)x (1)(2)(3)x x 得：(1)(2)(4)xx (1)(3)(4)xx (2)(3)(4)xx (1)(2)(5)x x (1)(3)(5)xx (2)(3)(5)xx (1)(4)(5)x x (2)(4)(5)xx (3)(4)(5)x x 2225x 2225x含的项的系数是5(1(2(3(4()5()xxxxxx在的展开式中，含的项的系数是51x含的项的系数是5x解：从个因式中都选出追问追问
11、3(1(2(3(4()5()xxxxxx在的展开式中，含的项的系数是3mx含的：设项的系数是解85m 解之得：(1(2(3(4()()5xxxxx若的展开式中，所有项的系数和为10()f所有项的系数和为则其)()(1(2)(3(4(5f xxxxxx解：令追问543215225274120 xxmxxx)()(1(2(3(4(5f xxxxxx则5432(1)115 11225 1274 1 1200fm 由385x含的项的系数是45432453210123),(xxxxxxxxxxxa xa xa xa xa则若回顾与展望韦达定理412345xxxxax 121 3141 523234253
12、43545x xx xx xx xx xx xx xx xxaxx x12312412251 341 35145234235245345x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx xxaxxx 12341235124151 3452345x x x xx x x xx x x xx xax xx x x x012345x xx xax 二、二项式系数的性质012,(),nnknnnnnabCCCCC的展开式的二项式系数11121111143135661015410201551161探究()nab将的展开式是二项式系数填入下表观察下图，你能发现哪些规律？0
13、1.每一行的系数具有对称性02.1每一行的首末两端都是04.每一行都是先增，再减03.1nn第行共有项,n对于确定的我们还可以画出它的图象。()rnCf rr可看成以 为自变量的函数)(nab对于的展开式的二项式系数我们还可以从函数的角度分析它们。0,1,2,.n其定义域是7的图象是 个离散点6)0 1(,),2,3,4,5(,6rfCrr 函数6n 例如，当时，r()f r8的图象是 个离散点9的图象是个离散点7)0,4()(1,2,3,5,6 7 rrfCr函数7n 当时，8)0,1,(),2 3,(,4,5 6,7,8rrfCr函数8n 当时，rr()f r()f r2nr 直线是图象的
14、对称轴2.增减性与最大值11knknCnkCk即mn mnnCC即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。1.对称性(1)()(1)(1)!knn nnk nkCkk11knnkCkr()f r由上面的分析，可以得到二项式系数的以下性质110224nnnnnCC当 是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值023nnnC当 是偶数时，中间的一项取得最大值；0122knnkCk由对称性知，当时，随 的增加而减小。01111,2knnknkCkk当即时，随 的增加而增大；rr()f r()f r()2nnab的展开式的各二项式系数的和等于0122nnnnnnCCCC1x 令得0122(1)nn
15、kknnnnnnxCC xC xC xC x3.各二项式系数的和1123223nknnnnnnnCCCkCnC1x 令得0122()(1)kknnnnnnnnf xxCC xC xC xC x令拓展与延申1123211()(123)nnkknnnnnnfxnxCC xC xkC xnC x则123012111111123knnnnnnknnnnnnCCCkCnCnCnCnCnCnC11kknnkCnC另证：01211111()nnnnnn CCCC12nnx把等式的两边对求导，得211111nnnxxxxxx回顾与展望1212(1)11 23(1)nnnnxnxxxnxx1121(1)1(1)
16、nnniinxnxixx即11121111(1)11()(1)1nniiiinnnniinxnxxaib xbxxaixbxa()nab求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和例3.024135nnnnnnCCCCCC11ab 令得135nnnCCC偶数项的二项式系数的和为024nnnCCC奇数项的二项式系数的和为011()nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC b证明：024135()()0nnnnnnCCCCCC即：0123(1 1)(1)(1)nkknnnnnnnnCCCCCC (1)2n有项01.n为偶数时1351nnnnnCCCC偶数项的
17、二项式系数的和为024nnnnnCCCC奇数项的二项式系数的和为()2n有项02.n为奇数时0241nnnnnCCCC奇数项的二项式系数的和为1()2n有项135nnnnnCCCC偶数项的二项式系数的和为1351111111111012012111111.(1)()(2)()nnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCC填空1351111 11011111111(1)221024CCCC解：012(2)2nnnnnnCCCC练习0121111112nnnnnnCCCC0120121111112122nnnnnnnnnnnnCCCCCCCC02412.N,2nnnnnnnnCCCC已知是偶数，证明
18、：n证明：是偶数0241351nnnnnnnnnnCCCCCCCC0242()2nnnnnnCCCC012312nnnnnnnnnCCCCCC02412nnnnnnCCCC567831.(1)(1)(1)(1)(1).74.121.74.121xxxxxABCD在的展开式中，含的项的系数是6.3习题1215678335 3336 3337 3338 335678(1)(1)(1)(1)1()1()1()1()xxxxxCxCxCxCx 解：在的展开式中，含的项是333335678()CCCCx 333333335678C xC xC xC x 434885CCC43347785CCCC4333
19、466785CCCCC33335678343334556785CCCCCCCCCC159 8 7 64 3 2 1C 1265D选4495CC21.(2)(1)15.7.6.5.4nxxnABCD的展开式中的系数为，则(1)152 1n n6n 解之得：222(1)15nnnnxxCC解：的展开式中的系数为B选5332.()()()xy xyx y的展开式中的系数是330 x y展开式中的系数为0233355()CCx y3332323255()()x yx C xyy C xy的展开式中的项是505142323234455555555()()()()()()()()xy xyxy C xC
20、xyC xyC xyC xyCy解：933.(1)()ab用二项式定理展开3398726543333453227839368412612684369aababa bababa baba bb93333091827236345439999933333545636727889999999()abC aC abC abC abC abC abC abC abC a bCb解：723.(2)()2xx用二项式定理展开7531135722222222172135701682241281283282xxxxxxxx707162523437777434525667777772(2)()2222()()()(
21、)()()()22222222()()()()()()()222xxxxxxCCCCxxxxxxCCCCxxxx554.(1)(1)(1)xx化简：555555505242445550524244553235342354515515(1)(1)(1)11()1()11()1(1)1(1()(1()CxxxCCxCxCCxxCCxCxxCCxCx 解：05242445552121()21()CCxCx 222010 xx11114422224.(2)(23)(23)xxxx化简：41133111144222211110422244222244411132241111111042224222244
22、342241132243224(23)(23)(2)(2)(3)(3)()2)(2(2)(3)(2)3(2)(3)(2)(3)()()33)xxxxCxCxxCxCxCxxCCxxCxxCxxxxCx解：1111042224422224442(2)2(2)(3)2(3)CxCxxCx2232432 162xx155.(1)(1 2)4x求的展开式的前项33640 x 2420 x30 x 10151151TC解：1142151(2)TCx 31234151(2)TCx 21323151(2)TCx 32 105.(2)(23)8ab求的展开式的第 项9142 099 520 a b 73 32
23、 7810(2)(3)TCab解：1235.(3)()3xx求的展开式的中间一项6667123()()3xTCx解：924155.(4)()x yy x求的展开式的中间两项787815()()TCx yy x解：231126435 xy 878915()()TCx yy x231126435 x y105116.(1)(1)2xx求的二项展开式中含的项的系数5638x 638其系数为55561011()2TCx 解：310316.(2)(2)2xx求的二项展开式中的常数项3 1011031(2)()2kkkkTCxx解：3060k由10 230 610(1)2kkkkCx 5k 得550061
24、0(1)2TCx 常数项为252 5510(1)C 211 3 5(21)7.(1)()(2)!nnnxxn 证明：的展开式中常数项是2212(1)(1)kknkknTCx证明：(2)!(1)!nnn n 220nk由kn得1 2 3 4 5(21)(2)(1)!nnnn n 12(1)nnnnTC 展开式中常数项为1 3 5(21)2 4 6(2)(1)!nnnn n 1 3 5(21)2!(1)!nnnnn n 1 3 5(21)(2)!nnn 21 3 5(21)7.(2)(1)(2)!nnnxxn 的展开式的中间一项是1 3 5(21)(2)!nnxn 12nnnnTC x其中间项为(
25、2)21n展开式共有项1 2 3 4 5(21)(2)!nnnxn n 1 3 5(21)2 4 6(2)!nnnxn n 1 3 5(21)2!nnnnxn n 8.(1)48nx已知的展开式中第项与第 项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数377nnnnCCC解：371010120CC这两个二项式系数分别是37n 10n 解之得：29.(1)(1)1nnn用二项式定理证明：能被整除1122221(1)(1)11 1nnnnnnnnnnnnC nC nCnCn 证明：1122222nnnnnnnnC nC nCnn2213242(1)nnnnnnnn nC nC nC2(1)1nnn 能被
26、整除109.(2)9911000用二项式定理证明：能被整除1010(2)991(100 1)1 109911000 能被整除101928378291010101010100100100100100100 1 1CCCCC 10192837821010101010010010010010010 100CCCC171152133118101010101000(1010101010 1)CCCC11221110.222(1)2(1)1nnnnnnnnnCCC 求证：0112211(2 1)222(1)2(1)nnnnnnnnnnnnnCCCCC 证明：112211222(1)2(1)1nnnnnnn
27、nnCCC 1212)()1.(1)()nnaaabbb乘积展开后，共有项；2n由乘法原理知:共有种不同的选法1inbCn第二个因子来自于第二个因式中的某一个，有种不同的选法1inaCn第一个因子来自于第一个因式中的某一个，有种不同的选法解：展开式中的每一项含有两个因子复习参考题1.(2)7362()学生可从本年级开设的 门选修课中任意选择 门，并从种课外活动小组中选择种，不同的选法种数是解：分为两步：3773C从 门选修课中任意选择 门，有种不同的选法第一步：2662C从种课外活动小组中选择种，有种不同的选法第二步：3276525C C 由乘法原理知:共有种不同的选法1.(3)6()安排名歌
28、手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是66解：类比为个歌手坐张座位分为两步：14414C 第一步：从第二张座位至第五张座位这张座位中选出张安排给甲，有种不同的选法555120A 第二步：将剩下的个人全排列，按顺序对应安排到相应的座位有种不同的排法4 120480由乘法原理知:共有种不同的选法1.(4)541()个人分张无座足球票，每人至多分 张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是15515C 解：从人中选出人，安排该人看网上直播，剩下的四人，一人一张无座足球票，有种不同的选法1.(5)531()名同学去听同时举行的 个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其
29、中的个讲座，不同选择的种数是553 3 3 3 33243 个同学共有种不同的选法3解：每一名同学都有种不同的选法1.(6)()正十二边形的对角线的条数是(3)(4)2n nn n解：正边形的对角线的条数为2121254C 得到所有对角线的条数为12(123)542正十二边形的对角线的条数为12然后再减去条边，12另解：从个顶点中任取两点连成线段，得到所有的边和对角线12 9542所求对角线的条数为又每一条对角线的两个端点不分先后1212 9个顶点可得到条对角线19另解：每个顶点与其不相邻的顶点相连，得到条对角线21.(7)()(1)nx的展开式中，系数最大的项是第项系数就是其二项式系数121
30、nnnnnTC x即第项系数最大的项是中间项21n解：展开式中，共有项01112122222222,nnnnnnnnnnnnCCCCCCCn项n项中间项8(321.()8x的展开式中，系数最大的项是第项则1k 解：设第项的系数最大8191883232kkkkkkCC8171883232kkkkkkCC即23!(8)!(1)!(9)!kkkk 8！8！32!(8)!(1)!(7)!kkkk 8！8！即239kk3281kk131855k解之得4系数最大的项是第项Nk又3k(0,1,2,9)k 9(231.()9x的展开式中，系数最大的项是第项则1k 解：设第项的系数最大91101992323kk
31、kkkkCC9181992323kkkkkkCC即9932!(9)!(1)!(10)!kkkk！9923!(9)!(1)!(8)!kkkk！即3210kk2391kk56k解之得67系数最大的项是第项或第项(0,1,2,9)k()2.5(3)12一个集合有 个元素这个集合的含有 个元素的子集有多少个？这个集合的子集共有多少个？35(1)10C 解：3252012345555555(2)CCCCCC113.(1)21,()nnCn已知那么6n 解之得：(1)42n n21(1)2 1nn1211nnnCC解：3.(2)426()某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、
32、英语、体育、艺术堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是解：分为三步：4 2 24192 由乘法原理知：共有种不同的排法414第一步：从上午节课中选出节安排数学，有种不同的选法212第二步：从下午节课中选出节安排体育，有种不同的选法44424A 第三步：将语文、政治、英语、艺术全排列，分别对应安排到剩下的节课共有种不同的排法3.(3)242()某人设计的电脑开机密码由 个英文字母后接个数字组成，且个英文字母不相同，该密码可能的个数是226262A第一步：从个英文字母中选出个进行排列，共有种不同的排法解：分为五步：10110第二步：从个数字中选出个作为第一个数字，共有种不
33、同的选法10110第三步：从个数字中选出个作为第二个数字，共有种不同的选法10110第四步：从个数字中选出个作为第三个数字，共有种不同的选法10110第五步：从个数字中选出个作为第四个数字，共有种不同的选法2426106 500 000A 由乘法原理知：共有种不同的排法3.(4)()以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是481258C得到三棱锥有个84解：从正方体的个顶点中选出个顶点，得到三棱锥或平面66其中平面 有个表面，个对角面12共个平面3.(5)(1 2()nx在的展开式中，各项系数的和是(1)(1 2)(1)nnf 则所有项系数和为()(1 2)nf xx解:令4.(1)n平面内有 条
34、直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？21(1)2nCn n解：4.(2)n空间有 个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？21(1)2nCn n解：54)5(.(1)(1 21 3)3xxx求的展开式中按 的升幂排列的第 项541223344551223344555554444)()(1 2481632)(1 392781)(1 21 3C xC xC xC xC xC xCxxxxCC x解：221122345451 92341TC xC xC xC x 第三项2225412040 xxx226x 181(9)5.(2)3xx的展开式求的
35、常数项181181(9)()3kkkkTCxx解：31802k由31836 32183kkkCx12k 解之得：121818 564C常数项为5.(3)(19)1011nxn已知的展开式中第 项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求8910,nnnCCC解：成等差数列20(8)90(8)(9)nnn即：98102nnnCCC即：!2(9)!9!(8)!8!(10)!10!nnnnnn即：1112(9)9(8)(9)10 9nnn即：2373220nn即：1423nn解之得：或21045.(4)(11)()xxxx求的展开式中的系数135其系数为1012233441010101010101202
36、(11(1)()(1)C xC xC xC xxxxxCxx解：4135x4(210 12045)x4324101010()CCCx444332210101021()xC xxC xCxx 展开式中含的项为2525)5.(5)(xxyx y求的展开式中的系数52x y按以下三步，可以得到展开式中含有的项5222x yxxx y y 解：22552,10 xC 第一步：从个因式中选出个因式，每个因式取有种不同的选法1331,3xC 第二步：从剩下的个因式中选出个因式，每个因式取有种不同的选法2,1y第三步：把剩下的个因式，都取有种不同的选法10 330 由乘法原理知：共有种不同的选法5230 x
37、 y展开式中的系数为5225()()xxyxxy是个因式相乘)()npqn p qabca b c 的展开式中的系数为pqn p qa b c 按以下三步，可得到展开式中含的项,pnnpaC第一步：从个因式中选出个因式，每个因式取有种不同的取法,qn pnpqbC第二步：从剩下的个因式中选出个因式，每个因式取有种不同的取法,1npqc第三步：最后把剩下的个因式，都取有种取法pqnn pC C由乘法原理知：共有种不同的选法qpqnnnpqppCacCb 展开式中的系数为拓广与引申000,Npnqnpqnpqn其中，、)()(nabcabcn 是个因式相乘pqnn pC C2555.(6)(1)x
38、xx 求的展开式中的系数221 1xxx 51 5055133211555453(1)(1)(1)xC CC CC C 展开式中的系数为255pqp qpC Cx2555()1pqpqp qpTC Cxx 由Npq、05pq05p25pq05pq解之得：13pq或21pq或5055133211555453(1)(1)(1)xC CC CC C 展开式中的系数为51 21xx x x 5xx x x x x 解：另解：555555)6.5598(5(565919)用二项式定理证明能被 整除提示：55559(5)91556证明：555598能被 整除551542535455555555555656
39、56569CCCC541532525455555556(565656)1 9CCC 541532525455555556(565656)8CCC54153252545555558 7(565656)1CCC 7.(1)mn平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？22mmC第一步：从条平行直线当中选出条，作为平行四边形的一组对边共有种不同的选法22(1)(1)4nmmn mnC C据乘法原理知：共可得到个平行四边形22nnC第二步：从条平行直线当中选出条，作为平行四边形的另一组对边共有种不同的选法解：分为两步7.(2)mnl空间有三组平行平面，第一组
40、有个，第二组有 个，第三组有 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？解：分为两步22mmC第一步：从个平行平面当中选出个，作为平行六面体的一组底面共有种不同的选法22nnC第二步：从个平行平面当中选出个，作为平行六面体的一组平行侧面共有种不同的选法22llC第三步：从个平行平面当中选出个，作为平行六面体的另一组平行侧面共有种不同的选法222(1)(1)(1)8nmlmnl mnlC C C据乘法原理知：共可得到个平行六面体8.5()1某种产品的加工需要经过道工序如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？1441C第一步：从能够放到最后的道工序中选出道工序
41、放到最后，有种不同的选法144496C A 由乘法原理知：共有种不同的加工顺序解：分为两步：4444A第二步：再将剩下的道工序全排列，按顺序安排到前道工序有种不同的排法8.5(22)某种产品的加工需要经过道工序如果其中某道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？解：分为两步：2332A第一步：从能够放到最前和最后的道工序中选出道工序排列，按顺序放到最前和最后，有种不同的选法333A第二步：再将剩下的道工序全排列，按顺序安排到中间有种不同的排法233336A A 由乘法原理知：共有种不同的加工顺序8.5(32)某种产品的加工需要经过道工序如果其中某道工序必须相邻，那么有多少种加
42、工顺序？()解：捆绑法 分为两步：22A第一步：将必须相邻的两道工序全排列，有种不同的排法然后捆绑在一起443A第二步：再将捆绑在一起的工序和剩下的道工序全排列，有种不同的排法242448A A 由乘法原理知：共有种不同的加工顺序8.5(42)某种产品的加工需要经过道工序如果其中某道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？()ABCDEAB解：插空法 记这五道工序分别为、其中不能相邻的两道工序为、334CDEA第一步：将、全排列，有种不同的排法得到个不同的空，分为两步：2442ABA第二步：从这个不同的空中选出个空，再将、全排列，按序对应到这两个空，有种不同的选法323472A A 由乘法原理知：
43、共有种不同的加工顺序34n+229.(1(1(1)xxxx在的展开式中，含项的系数是多少？2(611)6n nn323223nnCCC32235523nCCCC3222344523nCCCCC322223334523nCCCCCC22223452nCCCC解：3333nCC23333:nxCC所求展开式中的系数为3333(1)xxC二项式展开式中含的系数为3333(1)nnxxC二项式展开式中含的系数为33(1)(1)1(1)nxxx2(611)6n nn34n+2(1(10)(1xxxx另解：当时33(1)(1)nxxx10.km kmknn knmCCCC你能构造一个实际背景，对等式的意义
44、作出解释吗？()nmkmk解：构造法：构造一个问题：从 名学生中选出名组成代表队，其中 名作为主力队员，名作为替补队员可以用怎样的方法选代表队？2.mknmnmmkmkC C方法先从 名学生中选出名学生，然后从选出的名学生中选出 名主力队员剩下的名学生作为替补队员。根据乘法原理，有种不同的选法1.km knn knknkmkC C方法先直接从 名学生中选出 名主力队员，然后在剩下的名学生中选出名替补队员。根据乘法原理，有种不同的选法mkkm knmnn kC CC C综上知：拓广与探究杨辉三角的性质与应用0122nnnnnnCCCC各行的和122232425262111114411551161
45、515611721217118562856288119368484369111045 120 210210120 4510111123361010203535701261262522nnC中间的一项最大01n当 是偶数时，1122nnnnCC中间的两项最大02n当 是奇数时，1112111211112111111rrnnnnrnnrrnnnnnnnnCCnCCCCCCCCC第 行第行111rrnnnrCCC111rrrnnnCCC!()!rnnCr nr又!()!nr nr(1)!()!()!nrnrr nr111(1)!(1)!(1)!()!(1)!rrnnnnCCrnrr nr 证明：组合
46、数的性质6121715656288136841268436911045 120210210120 4510125212670351123581321345511211111334116514106111015715202181115352891891 1 2 3 5 8 13 21 34 斐波那契数列，111111316411010111520611735217118562856288119368412684369111045 120210210120 451011121mmmmmmmmnnCCCCC12345621252126703551511121mmmmmmmmnnCCCCC12mmmmmmmnCCCC证明：1211mmmmnmmmCCCC2312mmmmnmmmCCCC3413mmmmnmmmCCCC4514mmmmnmmmCCCC1mmnnCC11mnC谢谢谢谢观看观看
