1、2复习回顾本节将研究两类重要的概率模型-二项分布和超几何分布.(1)P(AB)=P(A)+P(B)(当A与B互斥时);(3)P(AB)=P(A)P(B)(当A与B相互独立时).前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢？(2)P(B|A)=;()()P ABP A3(1)同一个伯努利试验重复做n次;一、伯努利试验一、伯努利试验 在实际问题中,有许多随机试验与掷硬币具有相同的特征,它们只包含两个可能结果只包含两个可能结果.例如,检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶,医学检
2、验结果为阳性或阴性等.n重伯努利试验具有如下共同特征：重伯努利试验具有如下共同特征：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验伯努利试验(Bernoulli trials).将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验重伯努利试验.(2)各次试验的结果相互独立.“重复”意味着各次试验的条件相同,试验成功的概率也相同.思考下面3个问题,问题中的伯努利试验是什么?定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?各次实验是否独立?关注的随机变量是什么？(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,求恰有4次正面向上的概率?(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续
3、射击3次,求恰有2次中靶的概率?(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件,求恰有5件次品的概率?随机试验伯努利试验事件AP(A)重复试验的次数n各次试验是否独立关注的随机变量X(1)(2)(3)掷硬币正面朝上0.510是正面朝上的次数射击中靶0.83是中靶的次数有放回抽产品抽到次品0.0520是抽到次品的件数用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3),则X的分布列为二、二项分布二、二项分布探究:某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的？P(X=1)P(X=0)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)3123()0.2P A A A
4、=30.80.22=30.820.2=0.83123123123()()()P A A AP A A AP A A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A0033(0.8)(0.2)C1123(0.8)(0.2)C2213(0.8)(0.2)C3303(0.8)(0.2)C于是,中靶次数X的分布列为P(X=k)=0.8k0.23-k,(k=0,1,2,3).3kC6共6个.(2)中靶次数X的分布列为 思考:如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.(1)表示中靶次数X等于2的结果有：1234123412341
5、234,.A A A AA A A AA A A AA A A A12341234,A A A AA A A A00444(0)0.80.20.2P XC，11334(1)0.80.24 0.8 0.2P XC，222224(2)0.80.26 0.80.2P XC，33134(3)0.80.24 0.80.2P XC，44044(4)0.80.20.8.P XC即P(X=k)=0.8k0.24-k,(k=0,1,2,3,4).4kC二、二项分布二、二项分布中靶次数X的分布列为7 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution),记
6、作XB(n,p).=(1-p)+pn=1.一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为思考:对比二项分布与二项式定理,你能看出它们之间的联系吗？00()(1)nnkkn knkkP XkC pp由二项式定理,易得knC 如果把p看成是b,1-p看成是a,则 pk(1-p)n-k就是二项式(1-p)+pn的展开式的通项,故称为二项分布.knC二、二项分布二、二项分布8 8注意事项：注意事项：(1)一般含有“恰好”“恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型.(2)判断一个随机变量X是否服从二项分布,关键有两点：一是对立性,即一
7、次试验中,事件A的发生与否两者必居其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution),记作XB(n,p).一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为knC二、二项分布二、二项分布9例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求：(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6内等价于4X6,于是(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6内的概率.解:设A=“正面朝上”,则P(A)=0.5.用X表示
8、事件A发生的次数,则XB(10,0.5).(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是P(X=5)=0.55(1-0.5)5510C=0.510510C252=102463.256P(4X6)=0.510+0.510+0.510 410C510C610C672=102421.322.鸡接种一种疫苗后,有80%不会染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求：(1)没有鸡感染病毒的概率;(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.解：解：5(5 0.2).XXB设设 只只接接种种疫疫苗苗的的鸡鸡中中感感染染病病毒毒的的只只数数为为,则则，(1)没没有有鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为5(0)0.80.3276
9、8.P X(2)1恰恰好好有有 只只鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为145(1)0.2 0.80.4096.P XC11(1)同一个伯努利试验重复做n次;n重伯努利试验具有如下共同特征：重伯努利试验具有如下共同特征：伯努利试验伯努利试验-只包含两个可能结果的试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验重伯努利试验.(2)各次试验的结果相互独立.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0pp1,所以采用5局3胜制对甲更有利.p1=0.62+0.61(1-0
10、.6)10.612C=0.62+0.620.412Cp2=0.63+0.630.4+0.630.42=0.68256.23C24C14=0.68256.p1=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用X表示5局比赛中甲获胜的局数,则XB(5,0.6).甲最终获胜的概率为因为p2p1,所以采用5局3胜制对甲更有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.例3 甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？解法2：采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X表示3局比赛中甲获胜的局数,则X
11、B(3,0.6).甲最终获胜的概率为=0.648.p1=P(X=2)+P(X=3)=0.620.4+0.6323C33C=0.630.42+0.640.41+0.6535C45C55C思考思考 为什么假定赛满为什么假定赛满3局或局或5局，不影响甲最终获胜的概率局，不影响甲最终获胜的概率?采用采用3局局2胜制赛满胜制赛满3局时，若前局时，若前2局获胜，那第局获胜，那第3局的胜负并不影局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用响甲获胜；同样，采用5局局3胜制赛满胜制赛满5局，若前局，若前3局获胜，那后局获胜，那后2局局的胜负并不影响甲获胜，若前的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜局胜3局，那第局，那第5局的胜
12、负也不影响局的胜负也不影响甲获胜甲获胜.所以赛满所以赛满3局或局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率局，均不会不影响甲最终获胜的概率.1515 一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则XB(n,p).3.判断下列表述正确与否,并说明理由:解:(1)正确.每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即XB(12,0.25).(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数XB(
13、12,0.25);(2)错误.每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不是二项分布.(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中次品数YB(6,0.1).三、二项分布的均值与方差三、二项分布的均值与方差探究:假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么？从简单开始,先考察n较小的情况.(1)当n=1时,X服从两点分布,分布列为 P(X=0)=1-p,P(X=1)=p.均值和方差分别为 E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)当n=2时,X的分布列为P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2
14、)=p2.E(X)=0(1-p)2+12p(1-p)+2p2=2p.D(X)=02(1-p)2+122p(1-p)+22p2-(2p)2=2p(1-p).均值和方差分别为一般地,可以证明：下面对均值进行证明下面对均值进行证明.0()(1)nkkn knkE XkC pp 证明：证明：1111101(1)(1)nnkkn knkppCpp ,()XB n pX由由,可可得得 的的概概率率分分布布列列为为()(1).kkn knP XkC pp 111(1)nkkn knknCpp 1111(1)nkkn knknpCpp ().E Xnp 181.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝
15、上”出现的次数.(1)求X的分布列;(2)E(X)=_,D(X)=_.解：解：(4 0.5).XXB由由题题意意知知,服服从从二二项项分分布布,即即，(1)X的的分分布布列列为为44()0.50 1 2 3 4.kP XkCk,(2)()4 0.52E X ，()4 0.5(10.5)1.D X 19 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为二点分布是特殊的二项分布.一、一、二项分布二项分布二、二、二项分布的均值与方差二项分布的均值与方差knC
